高考数一轮复习 第十章 第六节 几何概型突破热点题型 文

第六节几何概型高频考点考点一与长度有关的几何概型1．与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下几个命题角度：(1)与线段长度有关的几何概型；(2)与曲线长度有关的几何概型；(3)与时间有关的几何概型；(4)与不等式有关的几何概型．[例1](1)(·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．(2)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________．[自主解答](1)由3a－1<0，得a<eq\f(1,3)，而0～1的长度为1，故所求概率为eq\f(1,3).(2)当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型概率公式得所求概率为eq\f(1,3).[答案](1)eq\f(1,3)(2)eq\f(1,3)【互动探究】本例(2)中，若将“cosx的值介于0到eq\f(1,2)”改为“cosx的值介于0到eq\f(\r(3),2)”，则概率如何？解：当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，由0≤cosx≤eq\f(\r(3),2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,2)，根据几何概型概率公式得所求概率为eq\f(2,3).与长度有关的几何概型的常见类型及解题策略(1)与线段长度有关的几何概型．利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可．(2)与曲线长度有关的几何概型．利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可．(3)与时间有关的几何概型．利用几何概型公式，求时间段之比即可．(4)与不等式有关的几何概型．利用几何概型公式，求两实数之间距离之比即可．1．(·湖北高考)在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.答案：32．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3－x)>0))))，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是________．解析：由题意得A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则x∈A∩B的概率为P＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)考点二与面积有关的几何概型[例2](1)(·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)－1C．2－eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)(2)(·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)[自主解答](1)依题意知，有信号的区域面积为eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)，矩形面积为2，故无信号的概率P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).(2)设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，))要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2.))如图所示，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))所表示的图形面积为16，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2))所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12，由几何概型的概率公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).[答案](1)A(2)C【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(·邛崃模拟)已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是()A．2－eq\f(π,3)B．1－eq\f(π,6)C．2－eq\f(π,2)D．1－eq\f(π,12)解析：选B如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内，△ABC为等腰三角形，假设AB＝AC＝5，易知AD＝4，△ABC的面积是12，由于三角形内角和等于π，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2π，故空白区域的面积是12－2π，所求的概率为eq\f(12－2π,12)＝1－eq\f(π,6).2．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝eq\f(SA,SU)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)考点三与角度有关的几何概型[例3]如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．[自主解答]因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).【互动探究】若本例中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．解：依题意知BC＝BD＋DC＝1＋eq\r(3)，P(BM<1)＝eq\f(1,1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2).【方法规律】与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．提醒：有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查．1.如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)2．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过eq\r(2)R的概率是________．解析：连接圆心O与M点，作弦MN使∠MON＝90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN>eq\r(2)R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为eq\f(180°,360°)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而