高考数一轮复习 第三章 第三节 三角函数的图象与性质突破热点题型 文

第三节三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义域和值域[例1](1)求函数y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定义域；(2)求函数y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值与最小值．[自主解答](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＞0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜2x＜2kπ＋π，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x＜－eq\f(π,2)或0＜x＜eq\f(π,2).∴函数y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≤x＜－\f(π,2)))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(或0＜x＜\f(π,2))))).(2)令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴当t＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(5,4)，t＝－eq\f(\r(2),2)时，ymin＝eq\f(1－\r(2),2).∴函数y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值为eq\f(5,4)，最小值为eq\f(1－\r(2),2).【方法规律】1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．(·陕西高考)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))，b＝(eq\r(3)sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2)))·(eq\r(3)sinx，cos2x)＝eq\r(3)cosxsinx－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝coseq\f(π,6)sin2x－sineq\f(π,6)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).由正弦函数的性质，当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，f(x)取得最大值1.当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0时，f(0)＝－eq\f(1,2)，当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，即x＝eq\f(π,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(1,2)，故f(x)的最小值为－eq\f(1,2).因此，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为1，最小值为－eq\f(1,2).考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性[例2](1)(·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(·福建高考)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象的一条对称轴是()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)(3)(·江西高考)函数y＝sin2x＋2eq\r(3)sin2x的最小正周期T为________．[自主解答](1)f(x)是奇函数时，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx，为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝eq\f(π,2)”的必要不充分条件．(2)法一：(图象特征)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，则x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，则x＝－eq\f(π,4).法二：(验证法)x＝eq\f(π,4)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝0，不合题意，排除A；x＝eq\f(π,2)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，不合题意，排除B；x＝－eq\f(π,2)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，不合题意，排除D；而x＝－eq\f(π,4)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1，符合题意，C项正确，故选C.(3)∵y＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\r(3)，∴最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.[答案](1)B(2)C(3)π【互动探究】本例(2)中函数f(x)的对称中心是什么？解：令x－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，则x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.故函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，0))(k∈Z)．【方法规律】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．1．函数y＝2sin(3x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的一条对称轴为x＝eq\f(π,12)，则φ＝________.解析：由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即3×eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．又|φ|＜eq\f(π,2)，所以k＝0，故φ＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)2．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．答案：kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)高频考点考点三三角函数的单调性1．三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题．2．高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．[例3](1)(·新课标全国卷)已知ω>0，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0,2](2)(·安徽高考)已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π.①求ω的值；②讨论f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．[自主解答](1)由eq\f(π,2)＜x＜π，得eq\f(π,2)ω＋eq\f(π,4)＜ωx＋eq\f(π,4)＜πω＋eq\f(π,4)，由题意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)，πω＋\f(π,4)))⊆eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)且eq\f(2π,ω)≥2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,2)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，,πω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，))且0＜ω≤2，故eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4).(2)①f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sinωx·cosωx＋2eq\r(2)cos2ωx＝eq\r(2)(sin2ωx＋cos2ωx)＋eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\r(2).因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\r(2).若0≤x≤eq\f(π,2)，则eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).当eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,8)时，f(x)单调递增；当eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)≤x≤eq\f(π,2)时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上单调递减．[答案](1)A三角函数单调性问题的常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．1．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)解析：选C∵y＝sinωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)时，y＝sinωx是增函数；当eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)时，y＝sinωx是减函数．由y＝sinωx(ω＞0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减知，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，故ω＝eq\f(3,2).2．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的单调区间．解：把函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))变为y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).由kπ－eq\f(π,2)<2x－eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,6)<2x<kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)<x<eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，k∈Z.故函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)