高考数二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第五讲 导数的简单应用 文（以真题和模拟题为例 含解析）

"《创新方案》届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第五讲导数的简单应用（以年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(·郑州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．1 B．－1C．－e－1 D．－e解析：选C依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，由此解得f′(e)＝－eq\f(1,e)＝－e－1.2．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图像在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：选A依题意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3，∴f(1)＋f′(1)＝4.3．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9 B．6C．－9 D．－6解析：选Dy′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.4．(·西宁模拟)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，b＝0；m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.5．若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上的实根个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B令f(x)＝x3－ax2＋1，而在区间(0,2)上函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)<0恒成立，所以函数f(x)在(0,2)上是减函数，又f(0)＝1>0，f(2)＝9－4a所以方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．6．若f(x)＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋blnx在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)解析：选C由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋eq\f(b,x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．7．已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－eq\f(81,22) B.eq\f(1,3)C．2 D．5解析：选C依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a>0，－2＋3＝－eq\f(2b,3a)，－2×3＝eq\f(c,3a)，b＝－eq\f(3a,2)，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－eq\f(81,2)a＝－81，a＝2.8．已知函数f(x)＝eq\f(1,4)x4－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋eq\f(11,3)≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9)))解析：选Af′(x)＝x3－4x，x∈[0，＋∞)，令f′(x)＝x(x－2)(x＋2)＝0，则f(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝eq\f(1,4)×24－2×22＋3m＝3m－4.要使f(x)＋eq\f(11,3)≥0恒成立，应满足3m－4＋eq\f(11,3)≥0，解得m≥eq\f(1,9).9．当a>0时，函数f(x)＝(x2－2ax)ex的图像大致是()解析：选B由f(x)＝0且a>0得函数有两个零点0,2a，排除A和C；又因为f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，有Δ＝(2－2a)2＋8a>0恒成立，所10．(·杭州模拟)若函数f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是()A．对任意m<－eq\f(1,e2)，都存在x∈R，使得f(x)<mB．对任意m>－eq\f(1,e2)，都存在x∈R，使得f(x)<mC．对任意m<－eq\f(1,e2)，方程f(x)＝m只有一个实根D．对任意m>－eq\f(1,e2)，方程f(x)＝m总有两个实根解析：选B因为f′(x)＝[(x＋1)ex]′＝(x＋1)ex＋ex＝(x＋2)ex，故函数在区间(－∞，－2)，(－2，＋∞)上分别为减函数与增函数，故f(x)min＝f(－2)＝－eq\f(1,e2)，故当m>－eq\f(1,e2)时，总存在x使得f(x)<m.二、填空题11．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4的单调递减区间恰为[－1,4]，则实数a的值为________．解析：∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)的单调递减区间恰为[－1,4]，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝－1×4＝－4.答案：－412．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝eq\f(2－0,1－0)＝2.答案：213．(·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex－ae－x，若f′(x)≥2eq\r(3)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：据题意有f′(x)＝ex＋ae－x≥2eq\r(3)，分离变量得a≥(2eq\r(3)－ex)ex＝－(ex－eq\r(3))2＋3，由于(2eq\r(3)－ex)ex＝－(ex－eq\r(3))2＋3≤3，故若使不等式恒成立，只需a≥3即可．答案：[3，＋∞)14．函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x－1的图像与x轴的交点个数是________．解析：f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝eq\f(2,3)>0知函数f(x)的图像与x轴的交点个数为3.答案：315．(·武汉模拟)已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系内的图像如图所示．(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为__________________(用“<”连接)．解析：(1)由图像可得f′(x)＝x，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋c1.又f(1)＝eq\f(1,2)＋c1＝1，解得c1＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)，故f(－1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.(2)因为g′(x)＝x2，所以g(x)＝eq\f(1,3)x3＋c2，则h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)x2＋c1－eq\f(1,3)x3－c2，所以h(0)＝c1－c2<h(1)＝eq\f(1,6)＋c1－c2<h(－1)＝eq\f(5,6)＋c1－c2，故h(0)<h(1)<h(－1)．答案：(1)1(2)h(0)<h(1)<h(－1)16．(·四川高考改编)设函数f(x)＝eq\r(ex＋x－a)(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是________．解析：由题意得eq\r(ex＋x－a)＝x，x∈[0,1]①.化简得ex＋x－x