第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法（解析版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第14讲等腰三角形常用作辅助线的方法【人教版】·模块一作平行线·模块二作垂线·模块三倍长中线法·模块四截长补短法·模块五课后作业模块一模块一作平行线【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25【答案】C【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等边三角形，即可得出DE=1【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，∴∠Q=∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，在△PFD中和△QCD中，∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD，∴DE=1∵AC=2，∴DE=1，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE=12【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∵AC=6，∴DE=3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．【变式1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【答案】见详解【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE，∵BD=CE，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴∆EMD≅∆CME，∴MD=ME．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．模块二模块二作垂线【例1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．【答案】见解析.【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.【例2】如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，则点B的坐标为【答案】（4，1）【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，∠AOC=∠CDB∠OAC=∠DCB∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴点B坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【例3】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.【答案】详见解析【分析】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，易证ΔABC≌ΔBDG，再证ΔBFE≌GFD即可得答案.【详解】如图，过点D作DG⊥CF的延长线于点G，∵∠ABC+∠DBG=90°，∠BDG+∠DGB=90°，∴∠ABC=∠BDG，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，∴ΔABC≌ΔBDG，∴BC=DG，又∵BC=BE，∴BE=DG，又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，∴ΔBFE≌△GFD，∴EF=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.【变式1】如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.【答案】详见解析【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建RtΔDFE与RtΔCGA【详解】如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥AB的延长线于点F，则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴ΔDBF≌ΔCBG，∴DF=CG，.又∵DE=AC，∴RtΔDFE≌Rt∴∠BAC=∠BED.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.【变式2】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．【答案】证明见解析【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明ΔBDG≅ΔCDH，得到BG=CH，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明ΔBGF≅ΔCHA，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如图，分别过点B、C作BG⊥AD，CH⊥AD，垂足为G、H，则∠BGD=∠CHD=90°.∵BD=CD，∠BDG=∠CDH，∴ΔBDG≅ΔCDH，∴BG=CH.∵AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵∠BFG=∠EFA，∴∠BFG=∠CAH，又∵∠BGF=∠CHA=90°，∴ΔBGF≅ΔCHA，∴BF=AC.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.模块三模块三倍长中线法【例1】如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为____________．【答案】2.4【分析】延长AD到点G，使DG=AD，首先证明△BDG≌△CDASAS，然后得到∠G=∠CAD，BG=AC，然后根据等腰三角形的性质得到BG=BE=AC=4【详解】如解图，延长AD到点G，使DG=AD，∵AD为BC边的中线，∴BD=CD∵∠BDG=∠CDA，DG=AD∴△BDG≌△CDA∴∠G=∠CAD，BG=AC∵∠AEF=∠FAE∴∠G=∠BEG∴BG=BE=AC=4∵∠AEF=∠FAE，EF=1.6∴AF=EF=1.6∴CF=AC-AF=2.4．故答案为：2.4．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．【例2】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．【答案】1＜x＜3【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4，延长AD至E，使AD＝DE，在△BDE与△CDA中，∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE＝2x，BE＝AC＝4，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，∴1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若∠ABE=∠D．(1)猜想BD=________BE；(2)完成（1）的证明过程．【答案】(1)2(2)证明见详解【分析】（1）根据题意可进行求解；（2）延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，易证△ABE≌△CFE，则有∠ABE=∠F，由题意易得∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，然后可证△BCF≌△BCD，则BD=（1）解：BD=2BE；延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示：∵BE是AC的中线，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．故答案为2；（2）证明：延长BE至F，使得EF=BE，连接CF，如图所示：∵BE是AC的中线，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【变式1】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．【答案】见解析【分析】延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可．【详解】证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF在△ADC和△FDB中，BD=CD∠BDF=∠ADC∴△ADC≌△FDB（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．【变式2】如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：【答案】证明见解析【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AP∴∠1=∠M在△ADE和△MCE中{∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME∵AD+BC=AB∴MC＋BC=AB∴BM=AB在△BAE和△BME中{∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE⊥BE【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．模块四模块四截长补短法【例1】如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，若AC+CD=AB，求∠C的度数．【答案】∠C=90°【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证明△ADC≌△ADE，再证明DE=BE，设∠B=x，再得到∠BAC=∠B=∠EDB=x，证明∠C=2x,然后利用内角和定理求解即可．【详解】解：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AD平分∠BAC，∠EAD=∠CAD．∵AE=AC,AD=AD，∴△ADC≌△ADE，∴CD=DE,∠AED=∠C,∵AC+CD=AB，AE+BE=AB，∴CD=BE，∴DE=BE，∴∠B=∠EDB．∵AC=BC，∴∠BAC=∠B．设∠BAC=∠B=∠EDB=x，则∠AED=∠B+∠EDB=2x=∠C．∵在△ABC中，x+x+2x=180°，解得x=45°，∴∠C=90°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【例2】如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCD=150°，CB=CD，M、N分别为AB、AD上的动点，且∠MCN=75°．求证：MN=BM+DN．【答案】见解析【分析】延长AB至点E，使得BE=DN，连接CE，根据同角的补角相等得∠CBE=∠CDN，根据SAS证明ΔCBE≅ΔCDN，则∠BCE=∠DCN，进而证明∠ECM=∠MCN=75°，根据SAS证明ΔECM≅ΔNCM，得到MN=ME，则MN=BM+BE=BM+DN．【详解】证明：延长AB至点E，使得BE=DN，连接CE，∵四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CBE=∠CDN，在ΔCBE和ΔCDN中，CB=CD∠CBE=∠CDN∴ΔCBE≅ΔCDN(SAS)，∴∠BCE=∠DCN，CN=CE，∵∠BCD=150°，∠MCN=75°，∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°，∴∠MCN=∠MCE，在ΔECM和ΔNCM中，MC=MC∠MCN=∠MCE∴ΔECM≅ΔNCM(SAS)，∴MN=ME=BM+BE=BM+DN．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．【变式1】如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD=__________（用含α的式子表示）．【答案】120°-α/-α+120°【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得△BEC≅△ADC，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有∠BCE=60°-α，即可求解．【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠DAC=α，BE=AD，∴△BEC≅△ADC，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=180°-60°-α=120°-α．故答案为：120°-α【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式2】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．【答案】CN=MN+BM，见解析【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.【详解】解：CN=MN+BM．证明：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．∴∠MBD=∠ABD=∠ECD=90在△MBD和△ECD中，BD=CD，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND与△END中，ND=ND，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.模块五模块五课后作业1．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝12CD．其中正确的是___【答案】①③④⑤【分析】由角平分线的定义，可得∠CDP+∠DCP=12∠CDO+12∠DCO=45°，进而即可判断①；先证△ACP≌△DCP，可得△APD是等腰直角三角形，进而得△PAC≌△PDB，即可判断③；过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，可得△AMN≌△BMP，再证明△APN≌△PDC，从而得PM＝12CD，即可判断⑤；由S【详解】解：∵AC⊥BD，点P是△OCD角平分线的交点，∴∠DOC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，∠CDP=12∠CDO，∠DCP=12∠∴∠CDP+∠DCP=12∠CDO+12∠DCO∴∠CPD＝180°-（∠CDP+∠DCP）=135°，故①正确；∵CP，DP分别平分∠DCO，∠CDO，∴∠DCP=∠ACP，∠CDP=∠BDP，∵AC＝CD，PC=PC，∴△ACP≌△DCP，∴AP=DP，∠CAP=∠CDP=∠BDP，∠APC=∠DPC=135°，∴∠DPA=360°-135°-135°=90°，∴△APD是等腰直角三角形，又∵AC=BD，∠CAP=∠BDP，AP=DP，∴△PAC≌△PDB，故③正确；∴∠DPB=∠APC=135°，PB=PC，∴∠BPC=360°-135°-135°=90°，∴△BPC是等腰直角三角形，找不到证明BA=BP的条件，故②错误；过点A作AN∥BP交PM的延长线于点N，∵∠N=∠BPM，∠PAN+∠APB=180°，∵点M是AB的中点，即AM=BM，又∵∠AMN=∠BMP，∴△AMN≌△BMP，∴MN=PM=12PN，AN=PB=PC，∵∠DPA=∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=180°，又∵∠PAN+∠APB=180°，∴∠PAN=∠DPC，又∵AP=DP，AN=PC，∴△APN≌△PDC，∴CD=PN=2PM，即：PM＝12CD，故⑤∵S△APN=S∴S△ABP∴S△ABP=S故正确的是①③④⑤．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．【答案】见解析【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，连接EF′，在△FCE与△F′CE中，CF=CF∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE与△F′BE中，∠A=∠BF∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．3．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【答案】见解析【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F=∠CGE=90°，在△BFE和△CGE中，∠BEF=∠GEC∠BFE=∠CGE∴△BFE≌△CGE（AAS），∴BF=CG，在△ABF和△DCG中，∠F=∠DGC=90∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD；方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．∴∠F=∠BAE．又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D，∴CF=CD，在△ABE和△FCE中，∠F=∠BAE∠AEB=∠FEC∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=CF，∴AB=CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．4．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)探究得出AD的取值范围___________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【答案】(1)B(2)C(3)见解析【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可，据此即可判定；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即可；（3）延长AE到F，使AE=EF，连接DF，证明△ABE≌△DFESAS，得出AB=DF，∠F=∠BAE，证明△ADF≌△ADCSAS，得出【详解】（1）解：∵AD是△ABC中线，∴BD=DC，在△ADC与△EDB中，AD=ED∴△ADC≌故选：B；（2）解：由1知：△ADC≌∴BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边之间的关系可得：AB-BE<AE<AB+BE，即8-6<2AD<8+6，解得：1<AD<7，故选：C；（3）证明：延长AE到F，使AE=EF，连接DF，如图所示：∵AE是△ABD中线