第10讲 轴对称图形及线段的垂直平分线（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第10讲轴对称图形及线段的垂直平分线【人教版】·模块一轴对称·模块二线段的垂直平分线的性质·模块三尺规作线段的垂直平分线·模块四课后作业模块一模块一轴对称1.轴对称图形

定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.2.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．【考点1轴对称图形】【例1.1】《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【例1.2】下面各时刻是轴对称图形的为（）A．13:08 B．12:51 C．12:50 D．10:50【例1.3】围棋，起源于中国，古时称“弈”，是一种策略型两人棋类游戏．下列黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1.1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【变式1.2】下面4个图案中是轴对称图形的是（

）

阿基米德螺旋线 B．

笛卡尔心形线C．

赵爽弦图D．

太极图【考点2成轴对称】【例2.1】如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，请把这个单词填完整，并说出这个英语单词的汉语意思．【例2.2】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．①指出两个三角形中的对称点；②指出图中相等的线段和角；③图中还有对称的三角形吗？【例2.3】在一次数学活动课上，小颖将一个四边形纸片依次按下图①、②的方式对折，然后沿按图③中的虚线裁剪成图④样式，将纸片展开铺平，所得到的图形是（）A． B． C． D．【变式2.1】如图，直线l是对称轴，点A的对应点是_______点．【变式2.2】如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么与它成轴对称的图形是数字_____．【考点3轴对称和轴对称图形的性质】【例3.1】如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为___．【例3.2】如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为_________．【例3.3】如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若∠BAC=108°，∠BAE=30°，求∠EAF的度数．【变式3.1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=______【变式3.2】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED=4cm，FC=1cm，∠BAC=76°，（1）求出BF的长度；（2）求∠CAD的度数．【变式3.3】如图所示的图案是一个轴对称图形（不考虑颜色），直线l是它的一条对称轴．已知圆的半径为r，求绿色部分的面积．模块二模块二线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【考点1线段的垂直平分线的性质及应用】【例1.1】如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求【例1.2】北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（

）

A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处C．三条角平分线的交点处 D．三边上高的交点处【例1.3】如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB=3，AC=5，BC=7，则△AEF的周长为（）A．5 B．7 C．10 D．3【变式1.2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P【考点2线段的垂直平分线的判定】【例2.1】如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（

）A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上【例2.2】下列条件中，不能判定直线CD是线段AB(C，D不在线段AB上)的垂直平分线的是（

）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【例2.3】如图，已知AB=AC，DB=DC，P是AD上一点.求证：∠ABP=∠ACP.【答案】证明见解析.【变式2.1】如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝BC＋AC，则C点在线段_________的垂直平分线上．【变式2.2】如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝∠4．则AC和BD的关系_____．【变式2.3】如图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（）A．P为∠ABC、∠BAC的平分线的交点 B．P为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点C．P为AB、BC两边的垂直平分线的交点 D．P为AB的垂直平分线与∠BAC的平分线的交点模块三模块三尺规作线段的垂直平分线线段的垂直平分线的作法如图，已知线段AB，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：第一步：分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D；第二步：作直线CD．点P是直线CD上一点，则线段PA=PB．

【考点1线段的垂直平分线的作法】【例1.1】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则A．40° B．50° C．60° D．70°【例1.2】如图，根据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（）A．56∘ B．68∘ C．28∘【例1.3】尺规作图：如图，现在甲、乙、丙三家公司共建一个污水处理站P，使得该站到甲、乙、丙三家公司的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【变式1.1】如图，已知下列尺规作图：①作一个角的平分线；②作一条线段的垂直平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线．其中作法正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式1.2】如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AOA．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【变式1.3】如图，已知在△ABC中，∠C>90°，CA<AB．请用尺规作图法，在AB上确定一点D，使得∠CDB=2∠A．（保留作图痕迹，不写作法．）

【考点2画对称轴】【例2.1】下列轴对称图形中有且只有一条对称轴的图形有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【例2.2】下列轴对称图形中，对称轴最多的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2.3】图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴．【变式2.1】图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式2.2】作出下列各图形的一条对称轴模块四模块四课后作业1．如图，该图案是一个轴对称图形，它有（

）条对称轴．A．1 B．3 C．4 D．62．下列图形中，对称轴条数最少的图形是（

）．A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．角3．下列图形中是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

4．如图所示，哪一个选项中的左边图形与右边图形成轴对称(

)A． B． C． D．5．将一张矩形纸片对折，用笔尖在上面扎个“R”,再铺平，可以看到（）A． B． C． D．6．如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与A．AP=A1P B．△ABCC．MN垂直平分线段AA1 D．直线AB,A7．如图，两个平面镜的夹角∠BOC=30°，一束光线从点A出发，照射到平面镜上，经过多次反射后回到了点A．关于这条入射光线，甲说：可以是以入射角为30°照射在OB边上的光线，经过3次反射后回到点A；乙说：可以是平行于OC的光线，经过4次反射后回到点A；丙说：可以是平行于OB的光线，经过5次反射后回到点A．下列判断正确的是（

）

A．甲对，乙错，丙对 B．甲错，乙对，丙错C．甲对，乙错，丙错 D．甲错，乙对，丙对8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④∠ABO=∠CBO；⑤四边形ABCD是轴对称图形．其中所有正确结论的序号是9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．