安徽省2023中考数学第4章三角形第5节解直角三角形试题

第四章三角形

第五节解直角三角形

易错自纠

易错点1根据定义求锐角三角函数值时忽略“直角三角形”这个前提

1.如图,在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么

sinZACB的值为(D)

A.竽B*屋屋

555o

易错点2误认为坡度是“坡面的水平宽度与铅直高度的比”

2.如图所示的斜坡AB的坡度为3:4,若坡面AB长为10m,则BC=6m.

易错点3直角三角形的直角顶点不明确,求锐角三角函数值时忽略分类讨论

3.[2019浙江杭州]在直角三角形ABC中，若2AB=AC,则cosC=_曰或等

方法帮

提分特训

1.[2020湖北十堰]要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角«--般要满足

50°WaW75°.如图,现有一架长为6m的梯子AB斜靠在墙面BC上，当梯子底端A离墙面2m时，人是否能够

安全地攀上梯子的顶端？(参考数据;sin50°^0.77,cos50°^0.64,sin75°=0.97,cos75°-0.26)

解：当a=50。时,cos50。/，

所以AC=6Xcos50°g6X0.64=3.84(m).

当a=75°时，cos75°吟毛，

AB6

所以AC=6Xcos75°弋6X0.26=1.56（m）,

所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m~3.84m之间（包括

1.56m和3.84m）,

故当梯子底端离墙面2m时,人能够安全地攀上梯子的顶端.

2.[2020山东荷泽]如图,某兴趣小组为了测量大楼CD的高度,先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处,然后

在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°,已知斜坡AB的坡度i=l：2.4,点A到大楼的距离AD为72米,求大

楼的高度CD.

（参考数据:sin53°V，cos53°tan53"玉）

553

解:如图,过点B作BE1AD于点E,BF1CD于点F,

易知四边形BEDF是矩形，

.*.FD=BE,FB=DE.

在RtAABE中，BE:AE=1:2.4=5：12.

设BE=5x,AE=12x,

根据勾股定理,得AB=13x,

A13x=52,

解得x=4,

.,.FD=BE=5x=20,AE=12x=48,

I'B=DE=AD-AE=72-48=24,

.•.在RtZXCBF中,CF=FBXtanNCB-24x1=32,

.'.CD=FD+CF=20+32=52(米).

答:大楼的高度CD约为52米.

3.“防洪防汛,人人有责”.为加强防洪工作,某灾区在某一楼顶上竖起4米高的宣传牌(GH).如图,在点A处,

用测角仪测得点H的仰角为26.6°,在点B处测得点G的仰角为38.V.已知测角仪AE=1.5米,AB=10米,求

楼高CH.(点A,B,C,E,F,H,G在同一平面上)

(参考数据：tan26.6°«=0.50,sin26.6°«=0.45,tan38.7°«=0.80,sin390=0.63)

解：如图，延长EF交C1I于点D,则CD=BF=AE=1.5,EF=AB=10.

在RtADEH中，DE二二产2DH.

tanZDEII

在RtADFG中，DF-DG^-(DH+4).

tanZDFG4

由题意可知DE-DF=10,

.\2DH--(DH+4)=10,解得DH=20,

4

.\CH=DH+CD=20+1.5=21.5.

故楼高CH约为21.5米.

4.[2020合肥蜀山区一模]某校数学兴趣小组选取南泗河两岸互相平行的一段,开展了测量这段河的宽度的活

动.如图,在河的南岸边点A处,测得河的北岸边点C在其东北方向,然后向南走20m到达点B处,测得点C在

点B的北偏东30°方向上.

(1)求NACB的度数；

(2)求出这段河的宽度.(结果精确到1m.参考数据:北比1.41,73和1.73)

解:

(1)如图，延长BA交CE于点D.由题意得NCAD=45°,NB=30°,

/.ZACB=ZCAD-ZB=15".

(2)设这段河的宽度为xm,则CD=AD=xm,BD=(x+20)m.

在RtZXBCD中，NB=30°,

.,.x=10(V3+l)«»10X(1.73+1)=27.

真题帮

【考法速览】

考法1解直角三角形（10年2考）

考法2解直角三角形的实际应用（10年8考）

考法1解直角三角形

1.[2020安徽,8]如图,RtZXABC中，NC=90°,点D在AC上，NDBC=NA.若AC=4,cosAW，则BD的长度为（C）

5

2.[2012安徽，19]如图，在△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AC=2V3,求AB的长.

过点C作CDJ_AB于点D(如图).

在RtAACD中，ZA=30°,AC=2V3,

所以AD=ACcos30°=2gx/=3,

CD=ACsin300=V3.

在RtABCD中，ZB=45°,所以BD=CD=V3,

故AB=AD+BD=3+V3.

考法2解直角三角形的实际应用

类型1背靠背型

3.[2015安徽，18]如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为

30°,求楼房CD的高度.（参考数据:代免1.7）

如图，作BE±CD于点E,贝ijCE=

AB=12米.

在RtABCE中，BE-

tanZCBE

19=12迎（米）.

tan30

在RtZkBDE中，

VZDBE=45°,

.•.DE=BE=12V3米.

ACD=CE+DE=12+12V3^32.4（^）,

故楼房CD的高度约为32.4米.

类型2母子型

4.[2020安徽，18]如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔的高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角

NCBD=36.9°,塔顶A的仰角NABD=42.0°,求「山高CD（点A,C,D在同一条竖直线上）.（参考数

据：tan36.9°比0.75,sin36.9°比0.60,tan42.0°«0.90）

解:在RtZXABD和RtZXCBD中，

AD=BD•tanZABD^O.9BD,CD=BD•tanZCBD«=O.75BD,

于是AC=AD-CD=O.15BD.

因为AC=15米，所以BD=1OO米，

所以CD=O.75BD=75米.

答：山高CD约为75米.

5.[2018安徽，19]为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水

平放置一个平面镜E,使得B,E.D在同•水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗

杆顶A（此时NAEB=NFED）.在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45。，FD=1.8米,问旗杆

AB的高度约为多少米.（结果保留整数，参考数据:tan39.3°'0.82,tan84.3°«=10.02）

解:如图，过点F作FGXAB于点G,

则AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.

由题意知AABE和aFDE均为等腰直角三角形,

.-.AB=BE,DE=FD=1.8,

/.FG=DB=DE+BE=AB+1.8.

在RtAAFG中,AG=FG•tanZAFG,

.,.AB-1.8^0.82(AB+1.8),

解得ABg18.2比18.

答:旗杆AB的高度约为18米.

6.[2016安徽,19]如图,河的两岸L与6相互平行,A,B是L上的两点,C,D是6上的两点.某人在点A处测得

ZCAB=90°,NDAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得NDEB=60°,求C,D两点间

的距离.

解:如图,过点D作1,的垂线,垂足为点F.

VZDEB=60°,ZDAB=30",

/.ZADE=ZDEB-ZDAB=30°,

ADE=AE=20米.

在RtADEF中,EF=DE-cos600=20x1=10（米）.

VDF1AF,

.,.ZDFB=90°,

；.AC〃DF.

VI,/7b,

；.CD〃AF,

.•.四边形ACDF为矩形，

/.CD=AF=AE+EF=30米.

答:C,D两点间的距离为30米.

7.[2013安徽，19]如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD/7BC,坡角a=60".汛期来临前对其进行了加

固，改造后的背水面坡角8=45。.若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE.（结果保留根号）

EB

解:过点A作AF1BC于F.在RtAABF中，ZABF=a=60°,

AF=AB•sin600=20X^=10V3(m).

在RtAAEF中，；B=45°,；.EF=AF=10V5m.

/.AE^A^+EF^10V6m,

即改造后的坡长AE为10V6m.

8.[2011安徽，19]如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高的C处的飞机上,

测量人员测得正前方A,B两点处的俯角分别为60°和45。，求隧道AB的长.（参考数据:6-1.73）

解：由题意可知△＜：（«为等腰直角三角形，

.\0B=0C=1500m.

在RtACOA中，ZAC0=90°-60°=30°,

AOA=OC•tan30°=1500Xy=500V3（m）,

AAB=0B-0A=1500-500V3^1500-500X1.73=635（m）.

故隧道AB的长约为635m.

类型3解有公共顶点的两个直角三角形

9.[2017安徽，17]如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A—B—D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,

且AB=BD=600m,a=75°,B=45°,求DE的长.

（参考数据：sin75°^0.97,cos75°=0.26,72=1.41）

解:在RtABDF中，由sinB端可得，

DF=BD•sinB=600Xsin45°=600X43002=423(m).

在RtAABC中，由cosa考可得,

AB

BC=AB•cosa=600Xcos75°^156(m).

所以DE=DF+EF=DF+BC^423+156=579(m).

10.[2014安徽，18]如图，在同一平面内，两条平行高速公路1，和L间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高

速公路L成30°角，长为20km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10km;CD段长为30km.求两高速公路间的距离

（结果保留根号）.

解:如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作L的垂线与1b分别交于点H,F,则HF".

由题意知AB_LBC,BC1CD.

又AE±AB,

，四边形ABCE为矩形.

：.AE=BC,AB=EC.

ADE=DC+CE=DC+AB=30+20=50(km).

又TAB与L成30°角，

.,.ZEDF=30°,ZEAH=60°.

在RtADEF中，EF=DEsin30°=50x|=25(km),

在RtAAEH中,EH=AEsin600=10Xy=5V3(km),

.•.HF=EF+HE=(25+5V3)km,

即两高速公路间的距离为(25+5g)km.

作业帮

基础分点练（建议用时：40分钟）

考点1解直角三角形

1.[2020浙江杭州]如图,在ZXABC中，ZC=90",设NA,ZB,ZC所对的边分别为a,b,c,则（B）

A.c=bsinBB.b=csinB

C.a=btanBD.b=ctanB

2.[2020四川南充]如图，点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinZBAC=(B)

3.[2020贵州遵义中考改编]构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tanl5°时，

如图，在RtZXACB中，NC=90°,NABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得ND=15°,所以tanl5°类

vvN+VJ

比这种方法,计算的值为(A)

tanJZ.o

A.V2+1B.V2-1C.V2D.j

4.[2020山东菊泽]如图,在ZXABC中，NACB=90°,点D为AB边的中点，连接CD,若BC=4,CD=3,则cosZDCB的

值为:_•

5.[2019四川雅安中考改编]在RtZ\ABC中,AB=5,BC=4,则sinA=_涵瞿

A

6.[2019广西柳州]如图，在AABC中，sinB=1,tanC=^,AB=3,则AC的长为_g_.

考点2解直角三角形的实际应用

7.[2020浙江温州]如图，在离铁塔150米的D处,用测倾仪测得塔顶的仰角为a,测倾仪的高AD为1.5米,则

铁塔的高BC为(A)

A.(1.5+150tana)米

B.(1.5+-^-)*

tana

C.(1.5+150sina)米

D.(1.5-—)*

sina

8.[2020四川自贡]如图,我市在建高铁的某段路基的横断面为梯形ABCD,DC〃AB.BC长为6米，坡角B为

45°,AD的坡角a为30°,则AD的长为_@淄_米(结果保留根号).

9.[2020湖北孝感]某型号飞机的机翼形状如图所示,其中AB〃CD,根据图中数据计算AB的长为(乎-1.6)

m.(结果保留根号)

10.[2020合肥庐阳区模拟]如图，水渠两边AB〃CD,一个矩形竹排EFGH斜放在水渠

中，NAEF=45°,ZEGD=105",竹排宽EF=2米,求水渠的宽.

解:如图,过点F作FPJLAB于点P,延长PF交CD于点Q,则FQ1CD.

在RtAPEF中，ZPEF=45°,EF=2,

/.PF=EF•sin450=V2.

VAB/7CD,

NAEG=NEGD=105°,

ZGEF=ZAEG-ZAEF=105°-45°=60°,

；.FG=EF•tanZGEF=2tan60°=2V3.

VZEGF=90°-ZGEF=30",

AZFGQ=1800-ZEGD-ZEGF=180--105°-30°=45°,

；.FQ=FG-sin450=26X净瓜

.,.PQ=PF+FQ=V2+V6,

即水渠的宽为(虎+遥)米.

11.[2020湖北荆门]如图,海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出

发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行.2小时后,快艇

到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.

(2)求快艇的速度及C,E之间的距离.

(参考数据：sinl5°^0.26,cosl5°^0.97,tanl5°=0.27,V3^1.73)

解：⑴如图,过点B作BD±AC于点D,作BF±CE于点F.

由题意得NNAB=30°,ZGBE=75°.

；AN〃BD,

AZABD=ZNAB=30°.

又NDBE=1800-ZGBE=180--75°=105°,

AZABE=ZABD+ZDBE=30°+105°=135°.

（2）BE=5X2=10（海里）.

在RSBEF中，NEBF=90°-75°=15°,

AEF=BE•sinl50g10X0.26=2.6（海里），BF=BE•cos15°g10X0.97=9.7（海里）.

在RtAABD中，AB=20海里，ZABD=30°,

.".AD=AB-sin30°=20X；=10（海里）,BD=AB•cos30°=20X^=10V3=«10X1.73=17.3（Wfi）.

VBD1AC,BFXEC,CE±AC,

AZBDC=ZDCF=ZBFC=90°,

四边形BDCF为矩形，

.,.DC=BF=9.7海里,FC=BD=17.3海里，

.,.AC=AD+DC=10+9.7=19.7（海里），CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9（海里）.

设快艇的速度为v海里/时,则v#=9.85.

答:快艇的速度约为9.85海里/时,C,E之间的距离约为19.9海里.

12.[2020合肥包河区二模]某水产养殖户计划开发一个三角形的养殖区域，已知三角形顶点A,B,C的位置如图

所示，ZCAB=105°,ZB=45",AB=100方米.

(1)求养殖区域AABC的面积；

(2)养殖户计划在边BC上选一点D,修建垂钓栈道AD,测得/CAD=40°,求垂钓栈道AD的长.

(参考数据:虚心1.41,时~L73,sin20°=0.34,cos200=»0.94,tan20°〃0.36.结果保留整数)

解：⑴如图,过点A作AHXBC于点H.

在RtAABH中，ZB=45°,AB=100>/2,

.\AH=BH=100,ZBAH=45°,

AZCAH=105°-45°=60°.

在RtAACH中,CH=100•tan60°=10075,

.•.CB=100（l+V3）,

.,•SAW=；BC•AH=ix100(V3+l)x100=13650.

答:养殖区域4ABC的面积约为13650米：

(2)如图，•.•NCAD=40°,.\ZDAH=ZCAH-ZCAD=20".

在RtZ\ADH中,cosNDAH瞿,

AD

・ACAH〜IOO〜

..AD=~—^—^110m6.

cos200.94

答:垂钓栈道AD的长约为106米.

13.[2019山东潍坊]自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身，某

地政府决定对一段坡路进行改造,改造后如图⑴所示.改造前的斜坡AB=200米,坡度为1:V3,如图⑵所示.

将斜坡AB的高度AE降低20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1：4,点E,B,D在同一水平线上.求斜坡

CD的长.（结果保留根号）

图⑴图⑵

解:在RtZXABE中,

VtanZABE-

杷3'

AZABE=300.

VAB=200米,

.\AE=100米.

VAC=20米,

，CE=100-20=80(米).

在Rt^CDE中,

tanD」,

4

.CE_80_l

EDED4'

.'.ED=320米,

CD=V3202+802=80VT7(>K).

答:斜坡CD的长是80JT7米.

综合提升练（建议用时：10分钟）

[2020湖北黄冈]因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝，现有一艘游船载着

游客在遗爱湖中游览.如图，当船在A处时,船上游客发现岸上P,处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；

当游船向正东方向行驶600m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶

400m到达C处时,游客发现临皋亭在北偏西60°方向.

(D求A处到临皋亭P,处的距离；

(2)求临皋亭R处与遗爱亭P,处之间的距离.(计算结果保留根号)

解：⑴依题意知NP2AB=45°,ZPJBA=75",ZPlCA=30°.

如图⑴,过点Pi作PiM±AC于点M.

设PlM=xm,贝！1在RtAAP.M中，AM=PM=xm,

.,.APi=-\/2xm.

在RtAP.MC中,PiC=2P,M=2xm>MC=V3xm.

又：AC=AB+BC=AM+MC,

600+400=x+V3x,

Ax=500(V3-1).

AP,=V2X500(V3-1)=(500V6-500V2)(m),

故点A处到临皋亭P,处的距离为(500V6-500V2)m.

⑵如图(2),过点B作BNAP?于点N.

在RtAABN中，ZABN=45",

AN=BN=/=^=300调(m).

v2V2

在RtANP2B中,ZNBP2=30°,

...Np2m聋LiooVg®,

V3v3

AP2=AN+NP2=(300V2+100V6)m,

P,P2=AP2-API=300V2+100V6-500V6+500V2=(800V2-400A/6)(m),

...临皋亭Pl处与遗爱亭P2处之间的距离为（800夜-400佃）m.

参考答案

q考点错

【易错自纠】

1.D如图，在RtAACH>f,VAH=4,CH=3,/.AC=VAH2+CH2=V42+32=5,/.sinZACB=^4.

AC5

2.6由题意可知tanA=2£=；,易得?三，10=6(m).

AC4AB555

3.驹叶设AB=k,；2AB=AC,；.AC=2k.易知NC<90°.①当NB=90°时，由勾股定理得

BC=VAC2-AB2=J(2k)2-k2=V3k,；.cosC专噜日;②当NA=90°时，由勾股定理得

BC=VAC2+AB2=J(2k)2+k2=V5k,'cosC哈普丝综上可知,cosC=^或竺

NBCvok52o

q方法帮

提分特训

q真题帮

l.C在Rt△ABC中,COSA卷弓,则

AB=^AC=5,.,.BC=VAB2-AC2=3.VZDBC=ZA,.•.凡cosNDBC=cosA,，ABD=2BC=^X3=^.

4BD5444

Q作业帮

基础分点练

1.B根据三角函数的定义,得sinB±cosB=-,tanB=-,.,.b=csinB,a=ccosB,b=atanB,故选B.

cca

2.B过点B作AC的垂线,垂足为点H.不妨设小正方形的边长为1,则AC=3V2,AB=<13.又S^X1X3=1,所

以BH-SfA