2022届初二年级下册相似三角形练习（一）

2022届初二下相似三角形练习（一）

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.若两个相似五边形的相似比为3：5,则它们的面积比为（)

A.3：5B.5：3C.9：25D.25：9

【解答】解：・・•两个相似五边形的相似比为3：5,

・•・它们的面积比为：9：25.

故选：C.

2.在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是2.50刀，则这两市之间的实际距

离为（）km.

A.20000000B.200000C.200D.2000000

【解答】解：设这两市之间的实际距离为xc/n,

则根据比例尺为1：8000000,列出比例式:

1：8000000=2.5：元,

解得x=20000000.

20000000cm=2006

故选：C.

3.小兵身高L4〃z,他的影长是2.1〃?，若此时学校旗杆的影长是12团，那么旗杆的高度（）

A.4.5〃?B.6mC.7.2"?D.Sm

【解答】解：设旗杆的高度为初7,

根据题意得:1.4X

27T"l2,

解得：x=8,

即旗杆的高度为8m,

故选：D.

4.已知abc¥3且一y？.=b+c==k,则k的值为（)

ab

A.2B.-1C.2或-1D.3

【解答】解：,・♦生也="=①=上

b

/.a+b=ck,b+c=ak9c+a=bk,

/.2(〃+Z?+c)=k(〃+〃+c),

当a+b+c^Q时，得々=2；

当a+b+c—O时，

贝!Ia+b=-c,&=-1；

的值为2或-1；

故选：C.

5.如图.在△ABC中，DE//BC,ZB^ZACD,则图中相似三角形有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

【解答】解：VZB=ZACD,NA=NA,

/\ACD^AABC,

'JDE//BC,

△AQEs/MBC,

AACD^A^DE,

'：DE//BC,

：.ZEDC=ZDCB,

'：NB=ZDCE,

.'.△CDESABCD,

故共4对,

故选：c.

6.如图，C是AB的黄金分割点（月C>CB）,BG=AB,以C4为边的正方形的面积为Si，以8C、8G为边的正方

形的面积为S2,则Si与S2的关系为（)

A.Si>S2B.Si<S2C.S|=S2D.无法判断

【解答】解：根据黄金分割的概念和正方形的性质知：AC1=AB-BC,

S1_AC2_AC2_AC2_I

至BC-BGBC-AB7?

即：Si=52.

故选：C.

7.如图，直线/1〃/2〃/3，一等腰RtZ\A8C的三个顶点A、B、C分别在直线人、b、，3上，ZACB=90°,AC交，2

于点。.若人与/2的距离为1，/1与/3的距离为4,则胆的值是（）

BD

W2口述

5,8

【解答】解：过点4作A尸，/3与点尸，交直线/2于点G,

'.,12//13,

：.ZADG=ZACF,

；NDAG=NCAF,

：.AADG^AACF,

V/1与12的距离为1,h与b的距离为4,

•AD=AG_=1

ACAFT

：.AD=^AC,

4

设YAZ）=x,WlJAC=BC=4x,

在RtZVIBC中，由勾股定理得：

^=VAC2+BC2=V（4X）2+（4X）2=4^'

DC=AC-AD=3x,

在RtZ\BCO中，由勾股定理得：^=VcD2+BC2=V（3x）2+（（4x）2=5x,

.AB=W2x_W2

■"BD-5^5―

故选：c.

c

3

A’1

8.如图，在△ABC中，BC=6,迪动点尸在射线EF上，BP交CE于点D,NC8P的平分线交CE于点Q,

EBFC

当。0=卷。七时，EP+8P的值为（）

A.9B.12C.18D.24

【解答】解：如图，延长后尸交8。的延长线于G.

..AE_AF

'EB'FCJ

：.EG//BC,

:・/G=NGBC,

•：4GBC=/GBP,

:・/G=4PBG,

:・PB=PG,

：.PE+PB=PE+PG=EG,

：.EQ=3CQ,

,:EG〃BC,

・MEQGs/\CQB,

•EG_EQ

**CB-QC-'

♦：BC=6,

・・・EG=18,

；・EP+PB=EG=18,

故选：C.

9.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°，点。在△ABC内，且。B平分/ABC,QC平分/ACS,过点。

作直线PQ,分别交AB、AC于点P、Q,若△APQ与△ABC相似，则线段P。的长为（）

A.5B.晅C.5或至D.6

66

【解答】解：当PQ〃8c时，XkPQs缸ABC,如图1,

：08平分NABC,

:.NPBD=NCBD,

'JPD//BC,

：.NPDB=NDBC,

：.ZPBD=ZPDB,

：.PB=PD,

同理，DQ=CQ,

,：ZAPQ=ZABC,

AtanNAPQ=tanNA8C=^=2=S,

AB84

・••设AP=4x,AQ=3x,

：.PQ=5x,

,：PB=PD=8-4x,PQ=CQ=6-3x,

・\8-4x+6-3x=5x,

.v_7

6

/.P(2=5x=—；

6

当NAPQ=N4CB时，△APQs/XhCB,

；AB=8,AC=6,ZA=90°,

.,.BC=10,

过。作。E_LAB于E,DF1.ACF,DGLBC于G,

DB平分ZABC,DC平分ZACB,

:.DE=DF=DG,

'."S^ABC^—DE(AB+AC+BC)=XWAC,

22

.•.DE=6+8-1°=2,四边形AE£>尸是正方形，

2

：.DF//AP,

：.NEPD=NFDQ,

同理

，APEDs/\DFQsNAB,

•PE_DF=AC=2

"DEFQABT

：.PE=^~,FQ=^~,

23

；•PD=VPE2+DE2=^(-|-)2+22=-|->P2=VDF2+FQ2=^22+(-1)2=y-'

/.PQ=PD+DQ^-+^-^—,

236

综上所述，若△APQ与AABC相似，则线段PQ的长为导，

故选：B.

10.已知四条线段a,3,a+1,4是成比例线段，则a的值为3

【解答】解：；四条线段a,3,a+\,4是成比例线段，

•,•67：3—(a+1)：4

即3（。+1）=4〃

解得a=3.

故答案为3.

11.如图，在△ABC中，8是高，CE为/ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=\2,则CE的长等于史返.

~7~

【解答】解：如图，由勾股定理知4。=9,BD=16,

所以4B=AO+8O=25.

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，

且/AC8=90°.

作EFJ_8C,垂足为F.设EF=x,

由NECF=aNACB=45°，

得CF=x,于是8广=20-X.由于E/〃AC,

所以空皿，

ACBC

即旦=20-x,

1520

解得乂段.

7

所以CE=&x粤N

故答案为：里亚.

7

12.如图，正方形EFG”的四个顶点分别在正方形48。的四条边上，若正方形EFGH与正方形A8C。的相似比

为返，则金国(AEVBE)的值为-1.

3BE一2一

H

【解答】解：•••正方形EFG”与正方形48co的相似比为返，

3

，不妨假设E尸=旄鼠AB=3k,

:NA=NB=NFEH=90°,

AZAEH+ZBEF=90°,/BEF+/EFB=90°,

：.NAEH=NEFB,

"：EH=EF,

：./\HAE^/\EBFCAAS）,

：.AE^BF,设AE=BF^x则EB=3k-x,

在RtAEFB中，EF2=BE^+BF2,

（述k）2=（3k-x）hx2,

整理得7-3fcv+2F=0,

解得x=&或2k（舍弃），

：.AK=k,BE=2k,

•..AE_^~19

BE2

故答案为工.

2

13.如图，四边形ABC。中，/A=/B=90°,AB=5cm,AD^3cm,BC=2cm,P是AB上一点，若以P、A、D

为顶点的三角形与△PBC相似，则PA=2或3cm.

【解答】解：设AP=xcvn.则BP=AB-AP=(5-x)cm

以A,D,尸为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似,

①当A。：PB=PA：BC时，

3=x

5-x2

解得x=2或3.

②当A£>：BC=PA：PB时，3=」—，解得x=3,

25-x

...当A,D,P为顶点的三角形与以B,C,P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3.

故答案为2或3.

14.矩形4BC£>中AE_LBO于E,AB=4,ZBAE=30°,求△£>£(：的面积是_&/^_.

【解答】解：如图，过点C作C尸1_8£）于尸.

•.•矩形A8CD中，AB=4,AE±BD,ZBAE=30°,

：.AB2=BEXBD,BE=2,AE=2我，

：.ED=BD-BE=6,

：.ZABE=ZCDF=60°,AB=CD=4,AEB=NCFD=90°.

：./XABE^^CDF.

C.AE^CF.

•'-5zvi£D=—£DM£,S^ECD=—ED'CF

22

:•SAAED=SACDE，

•.乂£：=2百，DE=6,

...△EC。的面积是673.

故答案为：6愿.

15.如图，已知四边形ABC。为正方形，A,B在x轴上，对角线AC的长度为3注.反比例函数y=§(x>0)的

X

图象与AC,BC分别交于点E,F,若旦2注，则CF为1.

BCAC----

【解答】解：过点E作于点儿连接E凡

设CE=a,如图所示：

边形ABCO是正方形，

：.AB=CB,ZBAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,

y.'：AB2+BC2=AC2,AC^372，

：.AB=BC=3,

又•.•典1rl£,NCEF=NCBA,

BCAC

：./\CEF^/^CBA,

：.ZECF=ZEFC=45°,ZC£F=90°,

：.CE=EF,

在Rt^CEF中，由勾股定理得：

CF=&CE=&a,

又,：BC=BF+CF,AC=AE+CE,

:.BF=3-近a,AE=3V2-a,

又•.♦点尸在反比例函数)=上(x>0)的图象上,

X

点尸的纵坐标为3-料编

点点F的横坐标为一

3-V2a

即OB=—

3-V2a

同理可求出：EH=A”=3-亚a，

2

OH=----7=—,

Q近

3亍

^'：AB=AH+HB,

■HR-近

2

解得：”]=返•，④=4&（舍去）

2_

CF=V2软=&X平■=1,

故答案为：1.

16.如图，平面直角坐标系中，已知点A(8,0)和点8(0,6),点C是AB的中点，点P在折线上，直线

CP截△A08,所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是(0,3)、(4,0)、(工，0)

4

【解答】解：当PC〃。4时，/\BPC^/\BOA,

由点C是AB的中点，可得尸为。8的中点，

此时尸点坐标为(0,3)；

当PC〃08时，△ACPS^AB。，

由点C是A8的中点，可得产为。A的中点，

此时P点坐标为(4,0)；

当PC_LAB时，如图，

'：ZCAP^ZOAB,

：.RtAAPC^RtAABO,

.AC=AP

'*0AAB"

,点A(8,0)和点B(0,6),

，AB=q62+82=10,

•.•点C是A8的中点，

：.AC=5,

•.•—5_AP,

810

至，

4

OP=OA-AP=S-臣=工，

44

此时P点坐标为(1，0),

4

综上所述，满足条件的P点坐标为(0,3)、(4,0)、(工，0).

4

17.如图，点A在线段BD±,在B。的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△/!£>£ZABC=ZAED=90Q,CD

与BE、AE分别交于点P、M.

求证：

(1)/XBAE-/XCAD-,

(2)若8。=返，PC=旦，求长.

22

【解答】（1）证明：•.,等腰RtzXABC和等腰RtZ\AQE,ZABC=ZA£D=90°,

：.AC=y/2AB,AD=y/2AE,ZBAC^ZCAD=45°

.AC=AD

"ABAE'

ZBAC^ZEAD

.".ZBAE^ZCAD

：./\BAE^/^CAD.

(2)VABAEVACAD,

.".ZBEA^ZCDA,

,?NPME=/AMD

...电=坦，且NPMA=N£)ME,

AMMD

：.APMAs/\EMD,

.•./APO=/AED=90°,

VZCAE=1800-ZBAC-ZEAD=90°，且/4CP=/ACM,

.♦.△CAPs/xcMA,

.AC=CM

*'CPCA'

.'.AC^^CP'CM,

,:AC=y[^BC

：.2CB1=CP'CM,

'：PC=3,

22

：.CM=2,

：.PM^CM-PC=2-3=上

22

18.已知：在梯形ABCQ中，AD//BC,NABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点，连接AE、AC.

（1）点F是OC上一点，连接ER交AC于点0（如图1）,求证：△AOESACOF；

（2）若点尸是。C的中点，连接8。，交AE与点G（如图2）,求证：四边形EFDG是菱形.

E

图1

【解答】证明：（1）••,点E是BC的中点，BC=2AD,

:.EC=BE=LBC=AD,

2

又•：ADHB3

...四边形AECD为平行四边形,

J.AE//DC,

：.△AOESMCOF；

(2)连接。E,

'：AD//BE,AD=BE,

...四边形ABE3是平行四边形，

又/ABE=90°,

二四边形ABE。是矩形，

：.GE=GA=GB=GD=^BD=^AE,

22

；£尸分别是BC、。的中点，

:.EF、GE是△CB。的两条中位线，

:.EF=LBD=GD,GE=LCD=DF,

22

又GE=GD,

：.EF=GD=GE=DF,

四边形EFDG是菱形.

图2

19.如图，在△A8C中，点。，E,尸分别在A8,BC,AC边上，DE//AC,EF//AB.

(1)求证：△BDEs/\EFC.

(2)设处」，

FC2

①若BC=12,求线段BE的长；

②箱XEFC的面积是20,求△ABC的面积.

A

【解答】（1）证明：•••DE〃/IC,

：.ZDEB=ZFCE,

,JEF//AB,

NDBE=NFEC,

:.ABDESAEFC；

(2)解：@\'EF//AB,

•型=空=工

""ECFCT

YEC=BC-BE=12-BE,

.BE=1

"12-BET

解得：BE=4；

•.•-F--C-_2,

AC3

,JEF//AB,

.".△EFC^ABAC,

.SAEFC_/FCx2_(2、2_4

••----------\/—7——>

^AABCAC39

5A/1BC=_^S'&EFC=_^-^20=45.

20.如图，在菱形A8CD中，ZABC=60°,M为AO的中点，连接BM,交AC于E,在C8上取一点尸，使得CF

=AE,连接AF,交.BM于G,连接CG.

(1)求/BG尸的度数；

(2)求旭的值；

BG

(3)求证：BGLCG.

MD

【解答】解：(1)；四边形ABCO是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,ZABC^ZADC=60°,

.♦.△ABC,△AOC都是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAE=ZACF=60°,

\'AE=CF,

：./\BAE^/\ACF(SAS),

ZABE=ZCAF,

：.ZBGF=ZABE+ZBAG=ZCAF+ZBAG=ZBAC=60°.

(2)；/BAG+NABG=/ABG+/CBM=60°,

：.ZBAG=ZCBM,

,CAD//CB,

：.NAMB=ACBM,

；.NBAG=NBMA,

ZABG=ZABM,

.BG_=AG_

"ABAM"

•盛=迎

,"BGAB，

"."AM=MD=—AD=—AB,

22

.AG__1

"BG2"

(3)设4M=Z)M=x,连接CM,

*.*/\ACD是等边三角形，

：.CM±ADf

：.CM=y/3AM=y/3x,

U：AD//CB,

C.CMA.BC,

：.ZBCM=90°,

'：AD=BC=2x,

,8M=,BC2KM2=Q,

'：/XBAG^/XBMA,

.AB=BM

'"BGAB"

.2x=V?x

""BG~2^'

：.BG=^-x,

7_

.BG=BC=277

"CBBM

'：NCBG=NCBM,

:.ACBGSAMBC,

:.NBGC=NBCM=90°,

：.BGLCG.

21.如图1,Rtz\A8C中，乙4cB=90°,AC=6cm,BC=8an,动点P从点8出发，在BA边上以每秒3cm的速

度向点4匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2的的速度向点B匀速运动，运动时间为r秒

(0</<2),连接PQ.

(1)若△BPQ与AABC相似，求f的值；

(2)(如图2)连接A。，CP,若4QLCP,求f的值.

【解答】ft?：(1)①当△BPQS/XBAC时，

...里^^,BP=3t,QC=2t,AB=\0cm,BC=8cm,

BABC

•.•8-2t—3t>

108

•32

••t=;

23

②当ABPQsABCA时，

,■BPBQ

•而后’

•.3t•8-2-ty

108

.20

,-t~

，t=^"或型时，△BPQ与△ABC相似；

2311

（2）如图所示，过P作于点M,AQ,CP交于点N,

则有P8=3r，PM=1-fHC=8-?t，

DDO

VZNAC+ZNCA=90°,NPCM+/NC4=90°,

/M4C=/PCM且/ACQ=/PMC=90°,

/\ACQ^/\CMP,

.ACCQ

••丽话，

.6_2t

,•012=9

bb

解得：tW；

12

22.如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，NBAC=N

AGF=90°,它们的斜边长为2,若AAFG绕点旋转，AF、4G与边BC的交点分别为点。、E（点力不与点B

重合，点E不与点C重合）.

（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；

（2）ZXABC的斜边BC所在的直线为x轴，8C边上的高所在的直线为了轴，建立平面直角坐标系（如图2）.在

边BC上找一点D使BD=CE,求出点。的坐标，并通过计算验证Ba+CE2=D岸;

（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请

说明理由.

•.'N84E=N8AO+45°,/C£>A=/8AO+45°,

：.ZBAE=ZCDA.

又NB=/C=45°,

/XABE^/XDCA.

(2),:BD=CE,

：.BE=CD.

\'AB=AC,ZABC=ZACB=45°,

：.△ABE丝△ACD

：.AD=AE.

VABAEVACDA,

:.CD=AB=®易得CO=1.

/.0D=V2-1,那么点。的坐标为(1-V2»0).

,:BD=2-近,C£=2-V2，DE=2-2BD=2-j2-2,

：.BD2+CE1=DE1.

（3）成立.

证明：将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△48”的位置，则