高中数学《组合与组合数》教案、导学案与同步练习

《6.2.2组合与组合数》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主

本节课主要学习组合与组合数.

排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两

个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合

的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点

是运用组合解决实际问题。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解并掌握组合、组合数的概念，掌握组合与排列之1.数学抽象：组合的概念

间的联系与区别.2.逻辑推理：组合数公式的推导

B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质，并运用于计3.数学运算：组合数的计算及性质

算之中.4.数学建模：运用组合解决计数问题

C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应

用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题

的能力.

【重点与难点】

重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题

难点：组合与排列之间的联系与区别

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题探究

问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选

法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？

分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和

“甲上午，乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、

乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或

乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名

去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们

的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为通过具体问题，

一组的选法就只有如下3种情况：分析、比较、归

甲乙、甲丙、乙丙.纳出组合的概

从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？念。发展学生数

一、组合的相关概念学运算，数学抽

1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mWn)个元素作为一组,叫做从n象和数学建模的

个不同元素中取出m个元素的一个组合.核心素养。

2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

名师点析排列与组合的区别与联系

(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(mWn)个元素.

(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下

面的问题是排列问题，还是组合问题？

(1)从中选3辆，有多少种不同的方法？

(2)从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？

(1)与顺序无关，是组合问题；

(2)选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

例5.平面内有A,B,C,D共4个点.

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？

分析：(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺

序是排列问题；

(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合

问题.

解：(1)一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中

的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排

列数，即有向线段条数为A2=4X3=12.

这12条有向线段分别为

AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.

(2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的

2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线

段的条数，

共有如下6条：

AB,AC,Al),BC,BD,CD.

问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能

建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？

进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

二、组合数与组合数公式

1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的

个数，在典例分析和练

叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,习中让学生熟悉

用符号表示.组合和组合数的

例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为髭，概念，进而灵活

从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为第.运用排列数解决

思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数髭，设这4个元素为问题。发展学生

a,b,c,d,那么从中取出3个元素的排列数A%=24,以“元素相同”为标准逻辑推理，直观

将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数量=4.想象、数学抽象

问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由和数学运算的核

排列数A*来求组合数C,呢？心素养。

组合排列

也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A宠”

第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有熊种不同的取法；

第2步，将取出的3个元素做全排列，共有Ag种不同的取法.

于是，根据分布乘法计数原理有

即

量普4.

同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步

从n个不同对象中取出m个，有C?种选法；

第二步将选出的m个对象做全排列，有AS；种排法.

由分步乘法计数原理有A,=CrxA%所以

Cm_AR1_n（n_l）.」n_（m_l）］_n!

nAJ}}mx（m-l）x...x2xl（n-m）!m!

上述公式称为组合数公式.

2.组合数公式:C7=尊=n（n-】）（n-2）［（n-m+】）=n|）这里山„,6心并

且mWn.

另外，我们规定CR=L

二、典例解析

例6.计算：

（1）1;（2）C%;（3）禺8；（4）C%.

解:根据组合数公式，可得

（1）C%=唐=工”=120;

10A|3X2X1

⑵4=就旷*；贯=12。；

⑶或=爵吟=L

⑷C?o=1；

观察例6的（1）与（2）,（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与

（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？

1.公式C?=煞=n'n"(n2)「(nm+l>(n€N*,且mWn),一般用于求值计

A[{{m!

算.

2.公式C,=,,(!!!,nWN*,且mWn),一般用于化简证明.在具体选择公

m!(n'm)!

式时,要根据题目特点正确选择.

3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质CH=CSm,c^i=CH+c,1,

能起到简化运算的作用，需熟练掌握.

跟踪训练1.⑴计算:①3盘-2髭+%②C温+C猱.

(2)求证:C『+i+勰-1+2郊=C胆；

分析：(D先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开

计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.

⑴解:①3*2髭+C对3X寝-2X若+1=149.

②C温+C瑞=Cfoo+禺0。=堞詈+200=5150.

/Q\、-p日日/不:力_n!.n!.2•n!

“1(m+1)!(n-m1)!(ml)!(nm+1)!m!(nm)!

=-----------—•[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]

(m+1)!(nm+1)!

=7------(n+2)(n+1)

(m+1)!(n-m+1)!

_(n+2)!

(m+1)!(n-m+l)!

=C瞄=右边•

例7.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意

抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

分析：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合

数；

(2)分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品

中抽出2件合格品，由乘法原理可得；

(3)可从反面考虑，其反而是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由

第(1)题的结论减去这个结果即可得.

解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合

数，...共有G益=161700(种)；

(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，

从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，

因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C[•C；8=9506(种).

(3)抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，

也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种

数，

即G：o-C；8=161700-152096=9604(种).

组合问题的基本解法

(1)判断是否为组合问题；

(2)是否分类或分步；

(3)根据组合的相关知识进行求解.

跟踪训练2.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试,学校要从中选

出5人去参加市级培训1,在下列条件下,有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；

(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.

分析:本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中

的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题，

运用间接法求解会简化思维过程.

解：(l)C'=792(种)不同的选法.

(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人,共有鬣=36(种)

不同的选法.

（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人,共有琉=126（种）

不同的选法.

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙

中选1人,有禺=3（种）选法,再从另外的9人中选4人有心种选法.共有

玛J=378（种）不同的选法.

（5）（方法一直接法）可分为三类：

第1类，甲、乙、丙中有1人参加，有禺篇种选法；

第2类，甲、乙、丙中有2人参加，有髭C；种选法；

第3类，甲、乙、丙3人均参加，有雷鬣种选法.

所以，共有禺次+C|C|+门鬣=666（种）不同的选法.

（方法二间接法）12人中任意选5人共有C3种，甲、乙、丙三人不能参加

的有源种，

所以,共有舞2-"=666（种）不同的选法.

变式：若本例题条件不变，甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的

选法？

解：（方法一直接法）甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：

第1类，甲、乙、丙都不参加,有端种选法；

第2类，甲、乙、丙中有1人参加，有禺解种选法；

第3类，甲、乙、丙中有2人参加，有髭量种选法.

共有篇+玛G+髭质=756（种）不同的选法.

（方法二间接法）12人中任意选5人共有C5种，甲、乙、丙三人全参加的

有髭种选法,所以共有匠2-釐=756（种）不同的选法.

三、达标检测

1.从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于通过练习巩固本

组合的有（）节所学知识，通

A.1个B.2个C.3个D.4个过学生解决问

解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属题，发展学生的

于组合的有2个.数学运算、逻辑

答案:B推理、直观想

2.若A铝3哈i，则n的值为（）象、数学建模的

A.4B.5C.6D.7核心素养。

解析:因为£=3鬣一1，所以n（n-l）=也空卫,解得n=6.故选C.

答案:C

3.若集合A={a,a,a,a,a},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有

12345

个.

解析:满足要求的子集中含有4个元素，由集合中元素的无序性,知其子集个

数为髭=5.

答案：5

4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线，以这些点

为顶点,可得多少个不同的三角形？

解：（方法一）我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准：

第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有第­玛=48（个）不

同的三角形；

第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有禺•第二112（个）

不同的三角形；

第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有髭=56（个）不同的三

角形.

由分类加法计数原理,不同的三角形共有

48+112+56=216（个）.

（方法二间接法）Cf2-第=220-4=216（个）.

四、小结

有条化邛艮通过总结，让学

制的组合

—生合的—

概念生进一步巩固本

—无条件限

组合制的组合

与组—节所学内容，提

介数

化愉求值

组合数公

式及性施高概括能力。

证明

【教学反思】

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题(或困难、障碍)是学生对组合概念的理解，并

能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过

概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具

体情境中运用组合解决计数问题。

《6.2.2组合与组合数》导学案

【学习目标】

1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.

2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质，并运用于计算之中.

3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与

分析问题、解决问题的能力.

【重点与难点】

重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题

难点：组合与排列之间的联系与区别

【知识梳理】

一、组合的相关概念

1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mWn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取

出m个元素的一个组合.

2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

名师点析排列与组合的区别与联系

(D共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m〈n)个元素.

(2)不同点:排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.

二、组合数与组合数公式

1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,

用符号cr表示.

2.组合数公式:郊=瞿=二”联2)(nm+D=―i，这里101WN；并且mWn.

A[{Jm!m!(n-m)!

另外,我们规定CR=L

1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列

问题，还是组合问题？

(1)从中选3辆，有多少种不同的方法？

(2)从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？

【学习过程】

一、问题探究

问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与

6.2.1节问题一有什么联系与区别？

从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？

问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)

中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？

进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A器来求组

合数C：呢？

组合排列

\abc>abcbaccab

acbbcacba

abdbaddab

|abd|--►adbbdadba

acdcaddac

|acdiadccdadca

bedcbddbc

bcbdccdbdeb

二、典例解析

例5.平面内有A,B,C,D共4个点.

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？

例6.计算：

(1)Cf0;(2)4；(3)Cjg；(4)C?o.

观察例6的(1)与(2),(3)与(4)的结果，你有什么发现？(1)与(2)分别用了

不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？

1.公式C尸=黑=n(nl)(n-2)j(n-m+l)(且m<n),一般用于求值计算.

uA{Jm!

2.公式C,=,n：,.(m,nelT,且mWn),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题

m!(n'm)!

目特点正确选择.

3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质C,==CH+C™\能起到简化运算

的作用，需熟练掌握.

跟踪训练1.(1)计算:①3玛-2熊+废;②C器0+废器.

⑵求证:C/T+C，T+2CR=C%】.

例7.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

(1)有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

组合问题的基本解法

(1)判断是否为组合问题；

(2)是否分类或分步；

(3)根据组合的相关知识进行求解.

跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市

级培训I,在下列条件下,有多少种不同的选法？

⑴任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；

（5）甲、乙、丙三人至少1人参加.

变式：若本例题条件不变，甲、乙、丙三人至多2人参加，有多少种不同的选法？

【达标检测】

1.从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若A23鬣.1，则n的值为（）

A.4B.5C.6D.7

3.若集合A={a,a,a,a,a},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.

12345

4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线，以这些点为顶点,可得多少

个不同的三角形？

【课堂小结】

【参考答案】

知识梳理

1.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为髭，

从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为CR

思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数髭，设这4个元素为a,b,c,d,那么从中

取出3个元素的排列数A%=24,以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4

组，因此组合数以=4.

1.（1）与顺序无关，是组合问题；

（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

学习过程

一、问题探究

问题1.分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，

乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上

午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.

从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不

需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一

组的选法就只有如下3种情况：

甲乙、甲丙、乙丙.

问题2：

abcbaccab

acbbcacba

abdbaddab

adbbdadba

dac

dca

cbddbc

cdbdch

也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A%”

第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有髭种不同的取法;

第2步，将取出的3个元素做全排列，共有Ag种不同的取法.

于是，根据分布乘法计数原理有

A%=C，Ag

即

同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象

中取出m个，有种选法；

第二步将选出的m个对象做全排列，有AM种排法.

由分步乘法计数原理有A,=xA%所以

AR1_n(n-l)...[n-(m-l)]_n!

A[J{mx(m-l)x...x2xl(n-m)!m!

上述公式称为组合数公式.

二、典例解析

例5.分析：(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列

问题；

(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.

解：(1)一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的

有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为

A2=4X3=12.

这12条有向线段分别为

AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.

(2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作

为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，

共有如下6条：

AB,AC,AD,BC,BD,CD.

例6.解:根据组合数公式，可得

(3)岛=缚=处”=120;

10A|3X2X1

(4)C；o==也[。=

7!(10-7)!7!x3!120

⑶4=箫嗯=1;

(4)C?o=1;

跟踪训练1.分析：(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计

算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.

⑴解:①3例2篇+源=3xg^-2X签+1=149.

②c温+c瑞=Cf00+C%0=嘤詈+200=5150.

(_»pi目-y—_n!jn!12*n!

匚(m+1)!(n-m-l)!(m-l)!(n-m+l)!m!(n-m)!

-----—----—•[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]

(m+l)!(nm+1)!

-----—----—(n+2)(n+1)

(m+l)!(nm+1)!

_(n+2)!

(m+1)!(n-m+1)!

=c%】=右边.

例7.分析：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；

（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格

品，由乘法原理可得；

（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结

论减去这个结果即可得.

解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，,共有

1）=161700（种）：

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，

从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C*种，

因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有•《8=9506（种）.

（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，

也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，

即（种）.

-C^8=161700-152096=9604

跟踪训练2.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的

“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题，运用间接法求解会

简化思维过程.

解：（1）C、=792（种）不同的选法.

（2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人,共有鬣=36（种）不同的选法.

（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人,共有瑞=126（种）不同的选法.

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙

中选1人,有禺=3（种）选法,再从另外的9人中选4人有弓种选法.共有禺甯=378（种）不同

的选法.

（5）（方法一直接法）可分为三类：

第1类，甲、乙、丙中有1人参加，有玛禺种选法；

第2类，甲、乙、丙中有2人参加，有髭C。种选法；

第3类，甲、乙、丙3人均参加，有3牖种选法.

所以,共有禺量+髭盘+CK萨666（种）不同的选法.

（方法二间接法）12人中任意选5人共有C品种，甲、乙、丙三人不能参加的有盘种,

所以,共有62-源=666（种）不同的选法.

变式：解：（方法一直接法）甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：

第1类，甲、乙、丙都不参加,有篇种选法；

第2类，甲、乙、丙中有1人参加，有禺C,种选法；

第3类，甲、乙、丙中有2人参加,有鬣时种选法.

共有C?+禺禺+C犯狞756（种）不同的选法.

（方法二间接法）12人中任意选5人共有篇2种，甲、乙、丙三人全参加的有鬣种选法,所

以共有

雷2-髭=756（种）不同的选法.

达标检测

1.解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2

个.

答案:B

2.解析:因为A公3鬣一1，所以n61产⑵,解得n=6故选。

答案:C

3.解析:满足要求的子集中含有4个元素，由集合中元素的无序性,知其子集个数为禺=5.

答案：5

4.解：（方法一）我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准：

第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有髭­玛=48（个）不同的三角形；

第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有弓•12（个）不同的三角形；

第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有《=56（个）不同的三角形.

由分类加法计数原理,不同的三角形共有

48+112+56=216（个）.

（方法二间接法）C?2-第=220-4=216（个）.

《6.2.2组合与组合数》基础训练

一、选择题

1.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）

A.小种B.3!C.&）种D.以上均不对

2.下列计算结果是21的是（）.

A.A：+C：B.C；C.A；D.C；

3.若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的

种数是（）

A.64B.46C.15D.360

4.已知n,meN*,n>m,下面哪一个等式是恒成立的（）

c.C：+C：T=C;MD.c：：+c：i=GM

5.（多选题）若C，=C短，则*的值为（）

A.4B.5C.6D.7

6.（多选题）已知&'一。；+0!=4,则m的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.若C：3=C：,则C「=.

8.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有一个.

9.为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为

奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有种.

10.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现

从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为

三、解答题

11.已知7A：=20A；T,XGN+.

(1)求X的值；

(2)求仁产+C匕的值.

12.一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球

(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取

法有多少种？

答案解析

一、选择题

1.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有()

A.媪种B.3!C.C：。种D.以上均不对

【答案】C

【详解】根据组合数的概念可知C选项正确.

2.下列计算结果是21的是().

A.A：+C：B.C；C.A；D.C；

【答案】D

cc4161”7'

【详解】••・A：+C；=^+而=12+15=27,C；—=35,=42,

3!4!

3.若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的

种数是（）

A.64B.46C.15D.360

【答案】C

【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，

则有c：==15.故选：C

(6-4)!-4!2

4.己知n,根eN*,n>m,下面哪一个等式是恒成立的（）

c.C：+C：T=C*D.

【答案】B

【详解】由组合数的定义可知,A选项错误；由排列数的定义可知

不正，B选项正确；由组合数的性质可知C：+C,；+l=C；：：,则C、D选项均错

误.故选B.

5.（多选题）若，则*的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】AC

【详解】因为《）1=黑廿，所以2x-l=x+3或2x-l+x+3=20,解得x=4或

x=6,

故选：AC.

6.（多选题）已知Af-C；+0!=4,则m的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BC

【详解】：Af-C；+0!=4,/.A™=6.当m=2时成立；当m=3时也成立.故选：BC.

二、填空题

7.若C：=C；,则C,”__.

【答案】190

onx10

【解析】则“=13+7=2。，所以/==19。

8.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个.

【答案】64

【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有《=7()个，不能组成四面体的4个顶点有，

已有6个面，对角面有6个，所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有70—12=58

个，故选C

9.为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为

奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有一种.

【答案】56

【详解】解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需

要在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有《=56种不同的分法.

10.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现

从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为一

【答案

【详解】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系,

现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数〃==10,

取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：

水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，

则取出的两种物质恰是相克关系的概率为P=.

三、解答题

11.已知7A”20A；T,XGN+.

(1)求X的值；

(2)求c蠹+c£的值.

【详解】

_617,

(1)由已知得：7x—―-=20x——［，化简得：12—15工+36=0，

(6-x)!(8-X)!

解得x=3或x=12,

与，6

又因为I।-所以彳=3.

［x-L,7

(2)将x=3代入得CI+C；o=C；o+C；o=C；［=133O.

12.一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球

(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取

法有多少种？

【详解】

解：(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.

当取红球3个时，取法有1种；

当取红球2个和白球1个时，.取法有C；C：=12种.

根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.

(2)使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.

第一种，红球2个和白球2个，取法有C；C：=18种；

第二种，红球3个和白球1个，取法有C：C：=4种，

根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18+4=22种.

《6.2.2组合与组合数》提高训练

一、选择题

〃I

1.若C/A2=42,则——-的值为（）

3!（"-4）!

A.60B.70C.120D.140

2.为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为

奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）

A.28种B.56种C.112种I）.336种

3.若,0成等差数列，则〃值为（）

A.14B.12C.10D.8

4.《易经》是中国传统文化.如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八

卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，“■■”表示一根阴

线）.从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（）

5.（多选题）下列等式中，成立的有（）

A.然'=々B.C-/

ml

c.C：=C7"1）.

6.（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要

求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法

正确的算法为()

A.C&+C0；B.C；°V；C.C]C：9;D.C；C：9-C：8.

二、填空题

7.若A；=3C3,贝ij〃=.

8.某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个

团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是.

117

9.已知9=嬴=，则团=-

10.已知集合4=｛。；｝,8=｛C；,C；｝,C=｛C；C，C；｝,若从这三个集合中各取一个

元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为.

三、解答题

11.(1)6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女

生参加，有多少种选法？

12.男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下

列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)队长中至少有1人参加；

(3)既要有队长，又要有女运动员.

答案解析

一、选择题

1.若。/42=42,则，“.八，的值为()

3!(〃一4)!

A.60B.70C.120D.140

【答案】D

【详解】9—婚x2=42,解得〃=7或-6（舍去）,

N7!

._-==7X6X5X4X3X2X1=H（）

3!（〃-4）!3!3!3x2xlx3x2xl

2.为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为

奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）

A.28种B.56种C.112种D.336种

【答案】B

【详解】根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8

人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有以=56种不同的分法.

3.若成等差数列，则〃值为（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【详解】：C：CC成等差数列，，2C：=C：+C：,

八n\n\n\

2--------=---------1-------------,

5!（〃一5）!4!（〃一4）!6!（/?-6）!

解得：〃=7或〃=14.

4.《易经》是中国传统文化.如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八

卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，“■■”表示一根阴

线）.从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（）

35

A.B.C.D.

1472814

【答案】A

【详解】八卦分成四类，A类是：3个卦含1阴2阳，B类是：3卦含2阴1阳，C类1卦

含是3阳，

D类1卦是3阴.从八卦中任取两卦共有C：=28,两卦中含2阳4阴，则可以从B类选2

卦，方法数为《=3,

「2.OAQ

或者选D类和A类1的1圭卜，方法数是3.所求概率为「二三二二不二二.

Cl2814

5.（多选题）下列等式中，成立的有（）

A.然=二—Mi

ml

C.C：=CLD.A：=〃A：m

【答案】BCD

〃I

【详解】A,"=n（n-l）--（n-/n+l）=-~,A错；根据组合数性质知氏C正确;

（n-m）l

n•(«-1)!

D正确.故选：BCD.

(n-m)!

6.（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要

求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法

正确的算法为（）

A.C；C\