高中数学人教B版（2019）选择性必修一复习椭圆基础试题变式运用

椭圆基础模板题及变式

例：已知片，工是椭圆=l的左、右焦点，p(%,%)是椭圆上任意一点

22

⑴求证：归用=3+针°,|Pg|=3-针。

r225

解：。(%,%)是椭圆/+v=1上任意一点，则有%2=5—

I=J(%+2)2+%2=J%?+4/+4+5-=点Xi/+4/+9=/(3+'八

2?2

=3+§/-3<x0<31<3+-x0<4|Pf；|=3+-x0

|P段=6-(3+|/]=3-|/

一般情况：已知耳，鸟是椭圆奈•+方=l（a”>0）的左、右焦点，焦距为2c,P（%,%）

是椭圆上任意一点，则有|P£|=a+£/，归用=a-/x（）

222222

|「用=7(-^0+c)+^0=^0+2cx0+c+b-^-x0

ccc

=a+—玉)-a<x<a.\a-c<a+—x<a:.\PF\-a-v—x^

aQa0a

c

|尸鸟]=2a-[ci4—XQ=a—x

a0

（2）求归功|尸引的最大值和最小值

解：由(1)知，|「周=3+|小，|尸周=3-1不，所以|产用忖用=[3+gx°}(3—：龙0)

=一1k+9-3<xo<3,-.xo=OH-f,|Pfj|-|P^|iTiax=9;xo=±30-hiP^I-lP/sL=5

（3）点A（l,l）,求归用+|/刊的最大值和最小值及对

应点P的坐标

|叫+四|=照+6-|*=6+四-附|

||/V1|-|P^||<|A7^|=V2-y[2<\PA\-|P/^|<41

直线A居的方程：y=—x+2

f5x2+9y2=45°

由《‘解z得ri：

y=-x+2

(18+157210-15@(18-15夜10+1572

'14~14'2~"14-'~~14-I

\7\/

当点P位于4处时，|P耳|+|B4|取最大值6+J5

当点P位于鸟处时，归耳|+|网取最小值6-夜

(4)若|力讣归用=^，求NRP鸟

解：4b|A/f；|=m,\MF2\=n,

20

222

,“n.m+n-16(m+n]-2mn-l636-2x--161

cosZF,PF-,=--------------=----------=----3--=一

2mn2mn202

0乙x—

3

所以/月尸鸟=(

n

(5)若/4Pg=e(O<e(公，求证：SMBC=5tan|

解：^\MF{\=m,\MF2\=n,则有加之+/-2•/篦•"•cose=4.

4b2:.mn=—^一

二（加+〃）“一2mn-2mncos0-4c2/.2mn（l+cos9）=-4c2

1+cos0

2sin"

=L，w7sine='x——xsin6=〃=从22=〃e

0^FPFtan—

[2221+cos01+cos0°2°2

2cos—

2

V5tan^

2M%2

若/耳「尸且。巳，求公的取值范围

（6）2=62

22

解：由焦半径公式得娟=3+§%,阿玛=3-/,

22

（3+'|/）+（3--1618+-x0-16l+-x0

COS0=-——7~——-A；——=-——▽=-1——

21m'、/3—|x0）2（9—沁9--V

JII

所以0>-:.cos0<-

32

一叵X旦

22

（7）。为坐标原点，求OP・Pg的取值范围

解：ORPK=（Xo，%）-（2-%,-%）=—/2+2%0-端为2=5-1（）2

222

OPPF2=-x0+2x0-f5-1x0^=-^%0+2%0-5=-^fx0-^l

OPPF2eT5,-2

-3<x0<3,

（8）倾斜角60°的直线/过椭圆的左焦点耳交椭圆与M,N两点，求弦长|M7V|

比；?5联立方程消去丁得

解：直线/的方程：y=G（x+2）,由＜

27

玉+彳2=―--

32x2+108x+63=0,令加(％,*),%(%2，%)，,•<

63

X.X-,=——

1-32

|MA^|=J(1+)[(X]+々)一一4%%215

而

7

（9）直线/过椭圆的左焦点"交椭圆与M,N两点，求△OMN面积的最大值（。为坐标

原点）

解:当直线/垂直于x轴时，M\2,g1,N,2,—g）,|MN|=gS、OMN2』

233

y=k^x+2)

当直线/不垂直于x轴时，令直线/的方程y=Z(x+2),由<联立方程消

5X2+9/=45

去y得：(9公+5)f+36/x+36公—45=0,A=900(A:2+l)

36k2

%+=-----2----I------------------------

令〃(百,凹)川(”2)，•乂，刖1=，(1+/)[(%+工2)2-4平2

JOK-O"

x.x-——-----

12-9k2+5

J(1+/).900(1+/)30(1+公),令原点。到直线/的距离为〃，所以力=：闷

9k2+59k2+5Jl+k2

.s.%加…1°(1+吸：2闷30网内

AOMN-\I29k2+571+F9k2+5

,__.G(2阳丫+恒川+弓.£9k2+5_

3亚・2陶•氐/1+公<3V52_2-_375

9k2+5-9k2+5-—9k2+5-一F

:（8正+90公

------'+"------=301

WF+F30.

9k2+581后4+90左2+25181上4+90左2+25

n~~1~9k2+2521112010

)I----------------------=30--------

V8181(9/+5丫18181“2+5（蝴+5）13

综上：当直线/垂直于x轴时△（?断的面积最大，最大值为此

3

x=my-2

解法二：令直线/的方程为：x^my-2,由<,',联立方程消去x得:

[5V+9y2=45

（5加2+9）y2_20中y-25=0,△=900（〃/+i）

20m

%+%=<2,Q

5m+9

令"仁,%）,河工2，%），•••'

25

%必=一Q

£5/772+,9

SAOMN=gx|。用X-%|=E->21=J(M+%)2—4y>2=3据：；

=.......——-—,令1疗+1=/(fNl),5j»?+i+，_=5『+1在-1,+00)递

57^71+—上t

-♦+]

410

减，所以当1=1时，5，+：取最小值9,SAOMN取最大值H，此时〃2=0

（io）A，A2是椭圆长轴顶点，P（%,%）不在x轴上，求K-AK"的值

yy，又因为%2=,（9_/2）,代入有

解：由已知K^K00

r/\19

5

V-9年一99

一般情况：已知片，居是椭圆点+方=1（。＞方＞0）的左、右焦点，是椭圆上任

h2

意一点，则有K&K%=—7

2刃2

证明：由已知KpAK%=」——业=?'°,，又因为%2==（二一/2）,代入有

~/+Qx0—axQ—aa

（11）|尸耳|=2也是线段尸1的中点，求点M的坐标

2?3

解：由焦半径公式由|P用=3+§/，.•.3+§玉）=2，/=一5,代入椭圆方程有

为2=5—、2=%先=±誓，由中点坐标公式得M-*乎）

sin（a+£）

（12）APFxF2=a^PF2F}=p,求一^~~〜的值

sina+sin/3

解：由正弦定理知

sin(a+/?)sinasin/?

忻图=|产盟+仍一...2c=2a

sin(a+/?)sin«+sinpsin(a+^)sina+sin(3

sin(a+/7)2c2

---------------——=e=-

sina+sin£2a3

变式:

1、已知大，K是椭圆J+J=1（a>b>0）的左、右焦点，椭圆的离心率为1•，倾斜角60。

的直线/过£交椭圆与M,N两点，且

（1）求椭圆的标准方程

（2）2（为,%）是椭圆上任意一点，求APMN面积的最大值？'）拒+匕8,此时点

8

（9网5⑸

P

（3）P（%,为）是椭圆上任意一点，APMN的重心为G,求重心G的轨迹方程?

解：令G（x,y）,直线/的方程：y=G（x+2）,由，联立方程消去y得

32x2+108x+63=0,令A/G.yJ,Mw，%),

__27

X+Z+x。_A,,-T

A——

27人573

+33

•••玉+/=-V^I^=V3(XI+X2+4)=--

OO573

、.—y+%+为_%+8

J----------------------------

33

\2

2L5百

27c27

o-3xH---J__3Ly----

°Q8

厂又因为5年+9%2=45，代入又△=1

,5V395

%=3y-工

/56丫

29y—

即收亘1

=1(去除KN两点)

5

2、

已知点4(一3,0)和点4(3,0)，过点4的直线/与过点A2的直线团相交于点P,设直线/

的斜率为《，直线〃7的斜率为&2,且勺&=一9

(1)求点P的轨迹E的方程，并说明此轨迹E是何种曲线？

(2)过定点3(0,4)的直线/'交轨迹E于点M,N,

①/MON=90°,求直线/'的方程

②求\OMN面积的最大值及取最大值时直线/1的方程

22

解：(1)F——二l(yw0)

95v7

y=Ax+4

直线/'的方程：丁=履+4,由1I、打2_45联立方程消去丁得

（9公+5）》2+72京+99=0,△=180（9%2-11”.k2>11,令）,N（X2，%），

72k

X]+X-）=一

9k2+5

99

王/9r+5

①NMON=90°,则有玉％2+>1%=。，即%/+（处+4）（也+4）=0

72k

玉+“-9左2+5

（左2+1）%々+4左（玉+/）+16=0将；.,9r+3代入得

=­z---

'-9k2+5

99+止.+16=。’解得人士嗒

（〃+I）,9/+5

国-口收

②[MN|=]（1+公69k2+1

9女2+5

4

令原点。到直线/的距离为〃，所以/?=—=

12/，9公—11

=1|W|/I=16小的H-INH+T

SROMN-x-----------------

29k2+59k2+5

3下义2义4义业户-IT3^X（9A:2-11+16）3/

―------------------<―=--------------------——

9炉+5-9公+52

当且仅当9公一11=16，公=3,左=±6时取最大值，所以直线/'的方程y=±Jir+4

3、已知椭圆的两个焦点分别为耳（-2,0）,鸟（2,0）,下列哪个条件添上后，可得这个椭圆

22

的方程为—F2-=1

95

in9

①过片且垂直于长轴的直线交椭圆所得的弦长为又；②椭圆的离心率为③点

33

(2,在椭圆上；④P为椭圆上动点，|P4Hp闾心=5；⑤椭圆上的点到月的最近距

离为1；⑥为椭圆短轴顶点，cosNO^^n：；⑦倾斜角6()。的直线过工与椭圆交于

A,B两点，且满足A5=268⑧P为椭圆上动点，居面积的最大值为10

答案：除了⑥⑧其他均可以

力2=4的曲线C通过点A(0,-2)和点呜,

4、如果方程+

(1)试确定a*的值？

(2)点P在曲线C上，如果AP斗鸟是直角三角形，求点P的坐标？

71

(3)曲线C上的点M满足求AGg的面积?

‘4/?=4

“，a=4

解：（1）由已知解得

—a+3b=4b=1

14

(2)若NPRF[=90°,则有Vp=6代入方程4x2+丁=4解得％=±g,此时点p坐

标为

2'2'

若NPE£=90°,则有为=-VL代入方程4/+y2=4解得xp=±g,此时点P坐标

若/耳「鸟=90。，则有归凰=2+#%,归身=2-5力，由余弦定理得:

,此时点P坐标为

]_

综上点P坐标为

2,

(2遥］(昱276^娅］2的

［丁亍八号'--/「H'亍J\T，--3-)

(3)\MF^=—n,则有病+〃2—2•nz•〃•cos—=12

所以(/篦+〃)―一2mn-m•几=12:.3mn=(m+〃)“-12=4mn--

1.71

q=—mnsm一

2Mg233

知识拓展:

己知耳，鸟是焦点在x轴的椭圆的左、右焦点，焦距为2c,尸(x,y)是椭圆上任意一点

由焦点在x轴的椭圆方程的推导过程可知，J(x+c/+y2=a+/,变化得

加+4+/=-x+—由已知％+幺＞0,则有

c)。

问题:

1、若令直线/：X=—三，指出J（X+C『+/，X+土，£的几何意义

cca

2、用文字语言表述等式上——

a

XH------

C

3、几何符号表示

4

4、设焦点6到直线4：x=-幺（焦点片相对应的准线）的距离为0,p称为焦准距

C

如图倾斜角为a直线/过左焦点匕与椭圆交于A5,则有

1-ecoscr1+ecosa

同理可得过右焦点F,的情况：|4凰=—"—，忸凰=—空一

1+ecosa1-ecosa

习题：

22

1、已知斜率为2的直线经过椭圆曰+?=1的右焦点鸟，与椭圆相交于A6两点，求弦

AB的长

解：令直线的倾斜角为a,贝ijtan«=2z.cosa--,又

5

epepfep2ep

巾=就导阻=匚,所以|AB|=

ecosa1+ecosa1-ecosa1-e23cos2a

875

又p=4——c=2~=4,e=*,代入上式有[AB]=,2ep一丁575

-)2

-e'cos'a1-1丁

25

2、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且

UUUU

BF=2FD,则C的离心率为-

2

16.-

3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二

定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本

题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性

质可寻求到简化问题的捷径.

【解析】如图，|B尸=J层+。2=a,

UliUU1

作DD]±y轴于点Di,则由BF=2FD,得

122=变1=2,所以|0£)|=3|0/|=3~

IDDJ|BD|3'22

3ca3c3c

即无。=二,由椭圆的第二定义得IED|=e（幺—土）=。一」一

2c22a

又由I8尸|=21ED|,得c=2a-一一,整理得3c2-2储+收=0.

a

2

两边都除以6/,得3e?+e-2=0,解得e=一1（舍去），或e=—.

3

3、设椭圆C：7+记=l(a>6>())的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B

两点，直线1的倾斜角为60。,4尸=2£6.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如果|AB|=，，求椭圆C的方程.

>0

(20)解：设4N，丫1),5(X2，>2)，由题意知yv。，y2-

(I)直线1的方程为y=y/3(x-C,其中。=，“2一工

y=V3(x-c),

联立，/2得(34+/)y2+2yf3b2cy-3b4=0

——+^-=1

db'

解得X二一当,因为AE=2bB,所以—乂=2%.

3a+。~3a+b~

即得离心率，=消

(11)因为网=月昆-讣所以;I•会粤=5

由£=2得8=@4.所以之4="，得a=3,b=®

a3344

椭圆C的方程为亮+《=1.

95

直线和椭圆的位置关系

例1、已知直线/:y=2x+/?7,椭圆。：亍+:]=1

1、试问当m取何值时，直线/与椭圆C：（1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个

公共点；（3）没有公共点？

解：由I,,联立方程消去y得：9x2+8mx+2m2-4=0

x2+2y2=4-

A=64〃，_4X9X（2〃?2-4）=144-8"

当A>0时，得到-3&</〃<3后，方程有两个不等的实数根，此时直线/与椭圆C有两

个不同的公共点（交点），直线/与椭圆。相交

当△=（）时，得到〃z=±30,方程有两个相等的实数根，此时直线/与椭圆。有两个互相

重合的公共点，即直线/与椭圆C有且只有一个公共点，直线/与椭圆C相切

当△<（）时，得到机<-30或加>3及，方程没有实数根，此时直线/与椭圆。没有公共

点，直线/与椭圆。相离

2、P为椭圆C上任意一点，当机=5时，求点P到直线/的最近距离和最远距离？

解法一：当m=5时，直线/:y=2x+5,由1知，直线/与椭圆C没有公共点，直线/与

椭圆C相离，如图所示，当点P位于几丹处时点P

到直线I的距离分别取得最大值和最小值〜、

由于点,到直线/：y=2x+5距离即为""-5

直线4:>=2》-3上到直线/:y=2x+5

由两平行线间的距离公式可得点P到直线/

5-(-30)]56+3师

最远距离为,此时点勺7

由于点鸟到直线/：y=2x+5距离即为直线&：y=2x+30到直线/:y=2x+5

5-3弱,此时点

由两平行线间的距离公式可得点P到直线/最近距离为J―产」

J4叵⑶

T亍'7

3、当机=1时，直线/与椭圆C相交于A6两点，求：（1）弦AB的中点坐标？（2）求

弦A3的长？

解：由1知，当帆=1时，直线/与椭圆C方程联立消去y得到：9X2+8X-2=0

8

+马

X一

一-9-

令4&,必）,8（々,%），＜2

Xv

*-z^--9-

(1)弦AB的中点坐标

2V170

9

例2、有一椭圆形溜冰场,长轴长100m,短轴长60m.现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在

溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时

形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于

原点。及X轴、y轴都对称.

已知椭圆的长轴长2a=100(m),短轴长2/7=60(m),

则椭圆的方程为二+工=1.

5()2302

设顶点A的坐标为(毛,%),%>0,券>0,

则为+旦=1，得乂=注(5。2-片)

502302502

根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S=4x。%

小工,2230>s，八30\302—250\50\

由于毛%=%—(50-x„)=—(-x„4+50*(>)=乔［一(%>--鼠)2+丁)

2

因此，当*=芋50,时，达到最大值，同时S=4%%也达到最大值

这时％=25及，稣=15夜

矩形A8C。的周长为4(%+%)=4(25&+15V2)=160立(m)

因此在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25&m(约35.35m)的

直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周.长为

16(x/2m(约等于226.27m)

2222

标准方程~2+^~=l（Q>〃>0）斗"+=1（4>人>0）

范围一且一〃<y<b一匕WxW。且一。WyW。

A"-©。）、A2（6t,0）A,（0,-a）,A2（0,tt）

顶点

B40,询、B2（O,/7）B4F0）、B2（^,0）

轴长短轴的长=2万长轴的长=2a

焦点6（-c,0）、E（c,O）耳（0,-c）、E,（O,c）

焦距|JFJF）|=2c（c2="一。?）

对称性关于x轴、y轴、原点对称

匚耳（0<e<l）e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁

离心率e，={

aV

1.椭圆的两焦点分别为片，K,P是椭圆上任意一点，则有以下结论成立：（1）

|尸耳|+|%|=2；a-c<\PF\<a+c-,⑶阀卜|2小Y；

2.椭圆的方程为,+方=1（a>b>0）,左、右焦点分别为《，工，P（毛,%）是椭圆上

任意一点，则有：（1）城=4（/_/2）,/2=%伊_%2）；⑵|「耳|=4+%,

\PF2\=a-ex0;（3）Z?<\OP\<a（O为原点）；

x0=acos0

（3）^（6为参数）;

%=bsinO

3.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,R、F2为其焦点记/片「鸟=。，则⑴

IPF1||PF,|=——.（2）S"=cI孙I=尸tan幺.⑶当P点位于短轴顶点处时,

1+cos。122

。最大，此时也最大；⑷cos。21—Ze?.⑸点”是APR6内心，PM交

4.AB是椭圆二+与=1的不平行于对称轴的弦,M（%,%）为AB的中点,则必•*=-1

aba

Mx。

即KAB

。2yo

rv

5.椭圆的方程为/+$=1（a>b>0）,4,4为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长

轴顶点的任一点，则有长小长.=一一-

/Z1//42QZ

22

6.椭圆的方程为5+斗=1（a>b>0）,与，3为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短

轴顶点的任一点，则有

KPBI%=-/

X2y2

7.椭圆的方程为二+彳=1（a>b>0）,过原点的直线交椭圆于A,8两点，P点是椭圆上

异于A,B两点的任一点，则有KK=--

PAPBa7

8.若兄（元0，%）在椭圆方+左=1上，则（1）以《熊）期）为切点的切线斜率为女=一一产;

（2）过外的椭圆的切线方程是考+誓=1.

ab

22

9.若玲（小,％）在椭圆5+2=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为P,、P2,则切点弦