预测06 函数的图象与性质（文）（解析版）高中数学

预测06函数的图象与性质

高考预测

概率预测☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆

①函数图像的识别与应用

②函数的奇偶性、单调性、对称性等及其

考向预测

应用

|应试必备|

函数的图象与性质问题是历年高考的考察重点，通常出现在单选题、填空题中，因新高考改革

出现在多选题也有可能，因此弄清函数的图象与性质的常见考点至关重要。

复习本专题要围绕两个重点展开：

1.函数图象的识别与应用

2.函数的奇偶性、单调性、对称性等及其应用

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数./U）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值X”尤2

定义

当时，都有4X|）勺（及），那么就说当加＜%2时丁都有人X1）次0），那么就说

函数犬X）在区间。上是增函数函数共处在区间。上是减函数

）’人）7竽）

|加,）尸.

图象描述。1■*

-O\X\~~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有—X)=/(幻，

偶函数关于y轴对称

那么函数/U)是偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个x,都有八一工)=一

奇函数关于原点对称

Ax),那么函数yu)是奇函数

3.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时,

都有_Ax+Q=/(x),那么就称函数y=/U)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数./U)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就

叫做兀v)的最小正周期.

堂技法必备

函数图像的识别与应用

可采用排除法：

L确定函数的定义域；2.利用函数的奇偶性、单调性、对称性等排除部分选项；3.利用特殊值结合

图像进行选项的排除。

真题回顾

【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确

定函数的图•象.

2

【解析】由函数的解析式可行：/(-X)=^J=-/(%),则函数/(X)为奇函数，其图象关于坐

标原点对称，选项CD错误；

4

当％=1时，y=——=2>0,选项B错误.

1+1

故选A.

einr+x

2.(2019全国I文)函数兀r尸上——(•在[-兀，切的图像大致为

q[nY-4-1*

【答案】D【解析】：因为/(力='：,xe[-7i,7i],所以

COSX+尸

「/、-sinx-xsinx+x“、,、

"r)=cc-22=一小)，所以/(X)为[一兀，兀]上的奇函数，因此排除

I-A-II人二八人…"I

A；又/(兀)=上q上]n上TT+二JT=」jr~^>0,因此排除B,C；故选D.

COS71+7T—1+兀~

【答案】A

【解析】因为/(x)=xcosx+sinx,则/(-x)=-xcosx—sinx=—/(x),

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且彳=万时，y=7rcos7r+sin；T=一万<(),据此可知选项B错误.

故选：A.

3

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数

的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,

判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

4.(2020全国H文10)设函数1，则r/、()

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增B.是奇函数，且在(()，+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+00)单调递减

【答案】A【解析】•.•函数/(0=%3-4定义域为卜|%。()},其关于原点对称,而〃—力=一〃力，

函数/(X)为奇函数.

又•..函数y=d在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增，而y=g=x-3在(0,+?)上单

调递减，在(-?,0)上单调递减，.•.函数/(x)=V—在(0,+?)上单调递增，在(-？，0)上单

调递增.故选A.

5.(2020山东8)若定义在R上的奇函数/(x)在(YO,0)单调递减，且八2)=0,则满足^(犬-1)20

的x的取值范围是()

A.卜1,1]11[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-l,0]U[l，+8)D.[-l,0]U[l,3]

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的

乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【解析】因为定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)上单调递减，且f(2)=0,

所以f(x)在(0,+oo)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当了6(-<»,-2)。(0,2)时，f\x)>0,当xe(-2,0)U(2,+oo)时，/(%)<0,

x<0x>0

所以由刀(x-1)20可得:或<成龙=0

一2"-140曲一1"0<x-l<2<x-l<-2

解得一IWXWO或所以满足步.(x-DNO的X的取值范围是故选D.

4

6.【2020年高考江苏】已知尸危)是奇函数，当归0时，〃力=/，则〃-8)的值是▲

【答案】-4

2

【解析】〃8)=娘=4，

因为为奇函数，所以/(—8)=-/(8)=-4

故答案为：-4

【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

7.【2018年高考全国H卷文数】已知/(X)是定义域为(ro,M)的奇函数，满足

/(l-x)=/(l+x).若/⑴=2,则〃1)+〃2)+〃3)+…+〃50)=

A.—50B.0

C.2D.50

【答案】C

【解析】因为/(X)是定义域为(口,”)的奇函数，且〃l-x)=/(l+x),

所以〃l+x)=_/(x_l),;.〃3+x)=_/(x+l)=/a_l),，T=4,

因此/。)+/(2)+/(3)+…+/(50)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/。)+/(2),

因为〃3)=—/(1),〃4)=一〃2),所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0，

因为〃2)=〃0)=0,从而"1)+“2)+/(3)+…+〃50)=〃1)=2.

故选C.

【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结

果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将

所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

名校预测

一、单选题

0“—1

1.(2021•全国高三月考(理))函数/'(x)=(x3—3%).的图象大致是()

''e'+1

5

【分析】

先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用7(2)>0即可得出.

【详解】

由题知/(x)=(V-3x)•1的定义域为(e，田).

因为/(T)=(*+34汽=-(J/(X)，

ex+1

所以/(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项B；

又/(2)=2x；l>0,故排除选项C,D.

e+1

故选：A.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6

2.（2021•全国高一单元测试）向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度/?随时间，变化的图象如图

【答案】B

【分析】

由函数图像的变化可知，第一段和第二段杯中水面高度〃匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二

段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案

【详解】

解：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度〃匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升

的速度更快，说明第二段水面面积较小，

故选：B

3.（2020・湖北武汉市•武钢三中高二期中）函数/（%）=---------的大致图像是（）

x-lnx-1

7

【分析】

求得函数“X)的定义域为(0,1)51,48)，设g(x)=x—lnx—L由导数求得函数〃x)的单调

性，结合选项，即可求解.

【详解】

由题意，函数〃x)=---的定义域为(0,1)。(1,+8),

设g(x)=x-lnx-l,则g⑴=0,g<x)=l-L

当XG(1,+QO)时，g'(X)>0,函数g(x)单调递增;

当xw(0,l)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

可得g(x)>g(l)=0，

所以函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(l,y)单调递减，旦〃x)>0.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以

及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.

4.(2020.长沙市.湖南师大附中高二期中)函数/(x)=二的大致图象是()

X

8

【答案】A

【分析】

（；）=2&>e,运用排除法可得选项.

由/（一）=一/（%）得出函数是奇函数，再求得了⑴>0,

【详解】

\x\|-.r||.r|

法一：由函数y（x）=J，则/（_%）===一J=—/（x）,所以函数/a）为奇函数，图象关于

x-xX

原点对称，所以排除B；

因为/（1）>0,所以排除D；

因为f（g）=2">e，所以排除C,

故选：A.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势：

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

二、多选题

5.（202卜全国高三专题练习）已知/（幻=07+/（左为常数）,那么函数/（幻的图象不可能是（）

9

y

D.

【答案】AD

【分析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当左=1时，/(x)=eT+e•'为偶函数，当&=一1

时，/(x)=ef为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案.

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性.

当女=1时，=为偶函数，

当xNO时，，=^21昆单调递增，而旷=f+；在fe[1,+。。)上单调递增，

故函数/(x)=er+/在xe[0,田)上单调递增，故选项C正确，。错误；

当攵=一1时，/(x)=e7-e*为奇函数，

当xNO时，r=e*Nlfl单调递增，而y=在fw[1,+/)上单调递减，

故函数/(x)=er—ex在xe[O,+R)上单调递减，故选项B正确，A错误.

故选:AD

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知k=1或&=-1，

再判断函数的单调性.

6.(2021•全国高三月考)已知函数/(x)的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数.f(x)解

析式的是()

10

A.y=x2cosxB.y=xcosxc.y=x2sinxD.y=xsinx

【答案】ABD

【分析】

根据图象特点对选项一-判断即可.

【详解】

A中，因为/（一X）=（一x）?cos（—x）=x2cosx=/（x）为偶函数与图象不符，故A错：

B中，当x时，y=0与图象不符，故B错；

C中，与图象相符，故C对；

D中，因为/（一句式一工卜皿一力二八吊刀二八力为偶函数与图象不符，故D错；

故选：ABD

X

7.（2020•重庆市第十一中学校高三月考）下列图象中，函数/（》）=——的图象可能是（）

x+a

【答案】CD

【分析】

对/（力分离常数可得：/（x）=l--^-（转化为反比例函数的形式，利用函数图像的变换可判断

选项.

【详解】

解：y（x）=」一=l--―,则/（x）wl,故排除AB；

x+ax+a

当a>0时，图像关于（—a,1）对称，且当x>-a时，/（%）在（一。,+8）上单调递增，则D有可能；

11

当"0时，图像关于(一a,1)对称，且当x>-a时，f(x)在(—a,+8)上单调递减，则C有可能；

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：/(%)=―—,分母决定定义域，分子决定单调性；当b>0时，在各自区间单调递

x+a

减；当6<0时,在各自区间单调递增.

8.(2020•赣榆智贤中学高一月考)在同一直角坐标系中，函数旷=》2+依+。—3与丁="的图象

【答案】AC

【分析】

按照。>1、0<a<l讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.

【详解】

若。>1,则函数y=优是/?上的增函数，

函数>=_?+⑪+“一3的图象的对称轴方程为x=—微<0,故A可能，B不可能：

若则函数y=罐是R上的减函数，

。一3<0，函数>=f+"+。-3的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为》=一］<0,

故C可能，D不可能.

12

故选：AC.

9.(2021•浙江高一期末)己知函数y=/(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，当x>0时,

/(x)=x(x—1),则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)有2个零点B.当了<0时，/(%)=-x(x+l)

C.不等式y(x)<0的解集是(0,1)D.者|5有典玉)—/(%)归;

【答案】BCD

【分析】

根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可.

【详解】

对A,当x>0时，由/(x)=x(x—1)=0得x=l,又因为y=/(x)是定义在上的奇函数,

所以/(0)=0,/(-1)=一/(1)=0,故函数y=/(x)有3个零点，则A错；

对B,设x<0,则一x>0,则〃x)=—/(—x)=—[—x(—xT)]=—x(x+l)，则B对；

对C,当0<xWl时，由/(x)=x(x-l)<0,得()<%<1；当一IWXWO时，由

/(x)=-x(x+l)<0,得x无解；则C对;

对D,Vxpx2ef-1,1],都有

〃(玉)_〃巧)花/㈤皿_〃X)1nto=071扑；05,则D对.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解.

10.(2021•浙江高一期末)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()

3

A.y=B.y=-2xD.y=-x

【答案】BD

【分析】

根据函数奇偶性与单调性对选项逐一分析判断.

13

【详解】

A,函数y=是非奇非偶函数，故排除A；B,函数y=-2x是R匕的奇函数也是减函数，故B

正确；C,函数y='在定义域上是奇函数，但在（Y。,。）和（0,+o。）上是减函数，在定义域上不具有

单调性，故排除C；D,函数、=-丁是R上的奇函数也是减函数，故D正确.

故选：BD

三、填空题

11.（2021•广东茂名市•高三月考）写出一个对称中心为（?,（）］的函数/*）=.

【答案】sin（x-（答案不唯­,任何奇函数向右平移;个单位均可）

【分析】

77

任取一个奇函数，向右平移一个单位