高中数学《复数的概念》复习教案与课后作业

《7.1复数的概念》复习教案

7.1.1数系的扩充和复数的概念

【基础知识拓展】

1.复数相等的充要条件

(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b,c,dWR,若忽略

这一条件，则不能成立.因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部

分离出来，再利用相等条件.

(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题

实数化这一重要数学思想方法的体现.利用这一结论，可以把“复数相等”这一

条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问

题中非常重要.

2.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.当两个复数

都是实数时，就可以比较大小.当两个复数不都是实数时，不能比较大小.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若a,6为实数，则z=a+6i为虚数.()

⑵若z=w+z?i(勿，z?eC),则当且仅当/=0,时，z为纯虚数.()

(3)历是纯虚数.()

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相

等.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)若a+bi=0,则实数a=,实数8=.

(2)(l+/)i的实部与虚部分别是.

(3)若复数(a+1)+(才一1)i(aeR)是实数，则a=.

答案(1)00(2)0,1+^3⑶±1

【核心素养形成】

题型一复数的有关概念

例1给出下列四个命题：

①两个复数不能比较大小；

②若X,yGC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l；

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.

其中真命题的个数是.

［解析］①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；

②由于x,y都是复数，故x+力不一定是复数的代数形式，不符合复数相

等的充要条件；

③若a=0,则ai不是纯虚数；

④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与

实数集的并集.

［答案］0

【解题技巧】

数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立.如：两数大小的比较,

某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.

【跟踪训练】

下列命题中：

①若a©R,则(a+l)i是纯虚数；

②若a,Z?eR且a>6,则a+i>8+i；

③若(V—1)+(1+3X+2)i是纯虚数，则实数x=±1；

④两个虚数不能比较大小.

其中，正确命题的序号是()

A.①B.②

C.③D.@

答案D

解析对于复数a+6i(a,6dR),当a=0且8W0时为纯虚数.在①中，

若a=-1,则(a+l)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，

故②错误；在③中，若*=-1，f+3x+2W0不成立，故③错误；④正确.

题型二复数的分类

例2当实数加为何值时，复数z)正F+5-2米为•.⑴实数？⑵

虚数？(3)纯虚数?

序-2加=0,

［解］⑴当

I赭0,

即加=2时，复数z是实数.

(2)当序-2加W0,即/W0且加W2时，复数z是虚数.

序+m—6

-------=0

⑶当m即加=—3时，复数z是纯虚数.

/一2肾0,

［条件探知是否存在实数勿，使z=…十月』是纯虚数?

解由z=3-24+*i是纯虚数,

6—2m=0,

得/+/Z7-6解得0.

-------W0,

m

即不存在实数出使z=3—24++i是纯虚数.

【解题技巧】

利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤

(1)判定复数是否为a+历(a,6GR)的形式，实部与虚部分别为哪些;

(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题;

⑶解相应的方程(组)或不等式(组)；

⑷求出参数的值或取值范围.

【跟踪训练】

已知勿eR,复数z=区竺孕+(石+2加-3)i,当/为何值时,

/7J—1

(l)z为实数?

(2)z为虚数?

(3)z为纯虚数?

解⑴要使Z为实数,需满足/+2L3=。,且"学有意义,即Liw。,

解得m=-3.

(2)要使z为虚数，需满足/^+2加-3W0,且邈早有意义，即加一1W0,

m—1

解得勿#1且勿W—3.

⑶要使Z为纯虚数，需满足逊?=0,且序+2加-3W0,解得力=0或加

力—1

=-2.

题型三复数相等

例3已知，仁{1,（/-2加）+（/+加-2）i},P={—1,1,4i},若卧JP=P,

求实数加的值.

［解］•:MUP=P,：..忙P,

即（/-2R）+（/+/-2）i=—1或（方一24+（而+加一2）i=4i.

由{iff—2m）+（zzf+ffl—2）i=—1,

得解得〃7=1.

/+〃-2=0,

由（打一2一+（/+加-2）i=4i,

而一2m=0,

得解得m=2.

/»+/??—2=4,

，实数/的值为1或2.

【解题技巧】

复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等.复数问题实数化多用来求参数,

其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别

相等，列方程组.

【跟踪训练】

已知1={1,2,W—3a—1+(a2—5a—6)i},B—{-1,3},ADB={3},求实

数a的值.

解由题意知，d—3a—1+(才一5a—6)i=3(a6R),

2

<3—3a—1=3,解得［%a==46或a==-f1,

a=1.

、才一5a-6=0,

故实数a的值为-1.

【课堂达标训练】

1.“a=0”是“复数a+年（a,6GR）是纯虚数”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为复数a+bi（a,8GR）是纯虚数oa=0且6W0,所以“a=0”是

“复数a+6i（a,6SR）是纯虚数”的必要不充分条件.

2.以3i—蛆的虚部为实部，以3f+/i的实部为虚部的复数是（）

A.3-3iB.3+i

C.-y[2+yj2iD.yj2+y[2i

答案A

解析3i一作的虚部为3,3召+^^的实部为一3,所以所求复数为3—3i.

3.已知复数劣=才一（2—6）i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,力的值

分别是.

答案a=土木,8=5

解析由题意得，3=2,—（2—5=3,所以a=±啦，6=5.

4.设复数z=）+3+2加-15）i为实数，则实数/的值是.

答案3

m+2加-15=0,

解析依题意有解得772=3.

勿+5W0,

5.如果log[（%+〃）一（苏一3/）iN—1,求自然数以，〃的值.

2

解Vlogj^（勿+z?）—（方—34i2一1,

2

flogj_（勿—

［一（加2—3%）=0.

0<ZZT+〃W2,

•<

［必=0或zz7=3.

*/m,〃GN,:.m=0,〃=1或〃=2.

《7.1.1数系的扩充和复数的概念》课后作业

基础巩固训练

一、选择题

1.给出下列三个命题：①若zdC,则z220；②2i-l的虚部是2i；③2i

的实部是0.其中真命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析复数的平方不一定大于0,故①错；2i—l的虚部为2,故②错；2i

的实部是0,③正确.

2.如果C,R,I分别表示复数集,实数集和纯虚数集，其中C为全集，则（）

A.C=RUIB.RUI={0}

c.R=cniD.Rni=0

答案D

解析由Venn图可得答案.

复数集（C）

3.如果（x+y）i=x—1,则实数x,y的值分别为（）

A.x—1,y=—1B.x=0,y=­1

C.x=l,y=0D.x=0,y=0

答案A

解析因为("y)i=x-1,所以［\广x+y］—=Q,,所以-I,尸t.

4.下列命题：

①不全为实数的两个复数不能比较大小；

②若z=a+6i(a,Z>GR),则当且仅当a=O且6W0时，z为纯虚数;

③x+yi=l+i=x=y=l.

其中正确命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①②正确.

5.若复数Zi=sin2。+icosJ,Z2=cosO+i，§sin，，zx=z2,则。等于

JI

A.ksi(AGZ)B.2An+—(itez)

o

JI

C.2kH±—(AeZ)D.JT+—(AGZ)

o2^6

答案D

sin2〃=cos0,

解析由复数相等的定义，可知cos9=

cos0=^3sin0,2

1JI

sin0=2'。=石~+2«冗，故选D.

6.已知复数z=4+(2a+3)i(aWR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围

是()

A.-1或3B.{a|a>3或水一1}

C.{a|a>—3或水1}D.{a|a>3或刘=-1}

答案B

解析・・•复数z的实部大于虚部，，才>2a+3,解得a>3或水一1.故选B.

二、填空题

7.设i为虚数单位，若复数z=(序+2加-3)+(加一l)i是纯虚数，则实数加

答案-3

/+2加-3=0,

解析依题意有解得m=-3.

8.已知(石+7/zHTO)+(万一5加一14)i=0,则实数加=,

答案一2

'/+7加+10=0,

解析V/zzeR,：A解得力=一2.

®—5zff-14=0,

9.下列命题：

①若(Z|—Z2)2+(ZLZ3”=O,则Z|=Zz=Z3；

②若(*—l)+(*+3x+2)i(xWR)是纯虚数，则x=±l；

③两个虚数不能比较大小.

其中正确命题的序号是.

答案③

解析当Z1=l,z2=0,Z3=1时满足条件，而结论不成立，故①错误；若

1=0,

(*—l)+(V+3x+2)i是纯虚数，则L…।即x=l,故②错误；

〔/+3x+2W0,

两个虚数不能比较大小，故③正确.

三、解答题

10.已知关于x的方程(*+4x+2)+(2x+Qi=0有实根吊，求的以及实

数A的值.

解因为x=x。是方程的实根，代入方程得

(岔+左蜀+2)+(2.+4)i=0.

'/+Axo+2=O,

由复数相等，得＜

,2A;)+A=0,

x0=-\[2,x°=一小,

解得或

k=—2^24=2啦

所以方程的实根为胸=/或Xo=一/,

相应的k值为一2/或2y[2.

能力提升训练

1.已知复数z=0+3勿+2)+(序一加一6)i,则当实数股为何值时，复数z.

⑴是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.

解z=(序+3zzH-2)+(M—m—6)i.

(1)令序一加一6=0,解得力=3或勿=—"2,

即加=3或R=-2时，z为实数.

(2)令序一r—6W0,解得*2且加W3,

所以加W-2且加W3时，z是虚数.

而+3加+2=0,

⑶由,解得力=-1,所以加=-1时，z是纯虚数.

而一m~6W。,

2.已知集合以{(a+3)+3—l)i,8},集合N={3i,3—l)+(A+2)i}

满足机lA?。，求整数a,b.

解依题意得(a+3)+(〃-l)i=3i,①

或8=(才一1)+(6+2)i,②

或(a+3)+(Z?2—1)i=(a2—1)+(6+2)i.③

由①得a=-3,b=±2,

由②得a=±3,b=-2.

③中，a,6无整数解不符合题意.

综上所述得a=-3,6=2或a=3,。=一2或a=—3,b=~2.

《7.1.2复数的几何意义》复习教案

【基础知识拓展】

1.复数的向量表示

⑴任何一个复数2=且+历与复平面内一点Z(a,6)对应，而任一点Z(a,

8)又可以与以原点为起点，点Z(a,力为终点的向量南寸应，这些对应都是一一

对应，即

复数Z=Q+bi

一平面内点("一«对”发平面的向依0Z

(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用

几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决

复数问题的途径.讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法

进行.

2.共辗复数的性质

(1)两个共规复数的对应点关于实轴对称.

(2)实数的共甄复数是它本身，即z=，=zWR.

利用这个性质，可以证明一个复数是实数.

(3)zz=|z|2=|z|~GR.

Z与，互为实数化因式.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打"，错误的打"X")

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()

(3)复数的模一定是正实数.()

(4)两个复数互为共枕复数是它们的模相等的必要条件.()

答案⑴V(2)X(3)X(4)X

2.做一做

(1)若龙=(0,-3),则应对应的复数为.

(2)复数z=l-4i位于复平面上的第象限.

(3)复数/i的模是.

(4)复数5+6i的共趣复数是.

答案⑴一3i(2)四(3)，§(4)5-6i

【核心素养形成】

题型一复平面内复数与点的对应

例1在复平面内，若复数Z=3—加-2）+（序一3/z7+2）i对应点⑴在虚轴

上；（2）在第二象限；（3）在直线y=x上，分别求实数加的取值范围.

［解］复数z=（"—/一2）+（万一3/+2）i的实部为序一加一2,虚部为iff—

3/Z/+2.

（1）由题意得病一加一2=0,解得/=2或加=—1.

方一加一2<0,—1〈加2,

（2）由题意得

—3勿+2>0,.0>2或欣1,

；.一1〈成1.

（3）由已知得病一m—2=nf—3加+2,：.m=2.

【解题技巧】

复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复

数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则

对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，

就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

【跟踪训练】

实数力取什么值时，复数z=（W+5而+6）+（序一2加一15）i.

（1）对应的点在x轴上方；

⑵对应的点在直线x+y+4=0上.

解（1）由题意得帮一2加一15>0,

解得水-3或加〉5,

所以当水一3或加>5时，复数z对应的点在x轴上方.

（2）由题意得（/+5加+6）+（/?7—2m-15）+4=0,

55

解得m=1或m=一不，所以当勿=1或必=一］时，

复数z对应的点在直线x+y+4=0上.

题型二复平面内复数与向量的对应

例2已知平行四边形如a'的三个顶点。对应的复数分别为0,3+2i,

-2+4i,试求：（1）位表示的复数；（2）冷表示的复数；（3）点8对应的复数.

［解］由题意得。为原点，游=(3,2),应'=(-2,4).

(1)''A0=-0A——(3,2)=(—3,—2)

...樨示的复数为一3—2i.

(2)'：CA=OA-OC=(3,2)一(-2,4)=(5,-2),

...涝表示的复数为5—2i.

(3),：OB=OA+OC=(3,2)+(-2,4)=(1,6),

瞬示的复数为l+6i,

即点8对应的复数为1+6L

【解题技巧】

复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复

数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解.

【跟踪训练】

⑴复数4+3i与-2—5i分别表示向量而与布，则向量逾表示的复数是

________;

(2)在复平面内，。为原点，向量洒对应复数为一l+2i,则点/关于直线y

=-x对称点为B,向量面寸应复数为.

答案(l)-6-8i(2)-2+i

解析(1)因为复数4+3i与-2—5i分别表示向量涝与龙，所以洒=(4,3),

0B=(-2,-5),又宓=/一洒=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量宓

表示的复数是一6一81

(2)点力(一1,2)关于直线尸一x对称的点为8(—2,1),所以第=-2+i.

题型三复数模的综合应用

例3设zGC,则满足条件口=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z

的集合是什么图形？

［解］由|z|=|3+4i|得|z|=5.

这表明向量应的长度等于5,即点Z到原点的距离等于5.

因此满足条件的点Z的集合是以原点。为圆心，以5为半径的圆.

【解题技巧】

巧用复数的几何意义解题

(1)复平面内口的意义

我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点

。间的距离.那么在复数集中，类似地，有口是表示复数z的点Z到坐标原点

间的距离.也就是向量浪的模，归=|龙|.

(2)复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点尸，0所对应的复数分别为Z2,则|尸0]=以一zj.

运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题.

【跟踪训练】

设zeC,且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么

图形？

(l)l<|z|<2；

(2)|z-i|<l.

解(1)根据复数模的几何意义可知，

复数z对应的点Z的集合是以原点。为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的

圆环，不包括环的边界.

(2)根据模的几何意义，|z-i|=l表示复数z对应的点到复数i对应的点

(0,1)的距离为1.

满足的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部

分(不含圆的边界).

【课堂达标训练】

1.已知aWR,且i为虚数单位，则复数z=a+(a—1)i在复平面

内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析•.•0<水1,，於。且a—1〈0,故复数z=a+（a—l）i在复平面内所对

应的点（a,a—1）位于第四象限.故选D.

2.复数2=（才一24+3一@一2八对应的点在虚轴上，则（）

A.a#2或aWlB.a#2且a#l

C.a=0D.a=2或a=0

答案D

解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0,.•.4-2a=0,

解得a=2或a=0.

3.已知复数z=l+2i（i是虚数单位），则|z|=.

答案小

解析因为z=l+2i,所以|z|=。/+22=

4.已知复数z=3+ai,且|z|〈5,则实数a的取值范围是.

答案一4<a<4

解析|2]=例不1<5,解得一4〈水4.

5.如果复数z=（帮+加-1）+（4苏-8w+3）iGz?eR）对应的点在第一象限,

求实数力的取值范围.

解因为复数z对应的点在第一象限,

1>0,解得成—12也或加>|・

所以4

14序一8加+3>0,

所以实数加的取值范围为

_8,+8)

《7.1.2复数的几何意义》课后作业

基础巩固训练

一、选择题

1.复数©=l+/i和Z2=l-/i在复平面内的对应点关于（）

A.实轴对称

B.一、三象限的角平分线对称

C.虚轴对称

D.二、四象限的角平分线对称

答案A

解析复数©=l+/i在复平面内的对应点为4（1,小），复数Z2=l—十

i在复平面内的对应点为％（1,一小），点Z与/关于实轴对称.

2.当|〈水1时，复数z=（3〃-2）+（加一l）i的共粗复数在复平面内对应的

点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

21

解析V-</zKl,，2<3成3,，。工加一2<1且一可<勿一1<0,，复数z在复平

OO

面内对应的点位于第四象限...•一对共辗复数在复平面内对应的点关于实轴对称,

...复数Z的共枕复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.

3.复数21=&+2],22=-2+],如果|4|<|22],则实数。的取值范围是（）

A.-l<a<lB.a>l

C.a>0D.a<-l或a>0

答案A

解析依题意有da°+22jN（—•2y+r',解得—

4.若/,则复8为数锐z角=三（c角os形6—的s两in个/）内+角（s,in8—

cosA）i对应的点位于复平面内的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析cos3—sin4=sin（5一“一sin/.△48C为锐角三角形，."十&万.

sin/〉sin^~一

cos3—sin水0.同理可知sing-cos/>0,

复数z对应的点位于第二象限.故选B.

5.已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是（）

A.一/B.y[3i

C.±^3iD.土木

答案D

解析设复数z的虚部为8,因为0=2,实部为1,所以1+8,=4,所以

b—±乖.

6.复数z满足条件：|2z+l|=|z—i],那么z对应的点的轨迹是（）

A.圆B.椭圆

C.双曲线D.抛物线

答案A

解析设复数z=x+yi（x,yGR）,V]2z+1,=|z—i|,（2^+1）-+4/

=*+0—1）2,化简得3^+3/+4才+2夕=0满足42+22—4义3><0>0,，方程表

示圆.故选A.

二、填空题

7.i为虚数单位，设复数z“Z2在复平面内对应的点关于原点对称，若©

=2—3i,则Z2=.

答案一2一3i

解析复数©=2—3i对应的点为（2,-3）,则2对应的点为（—2,3）.所

=

以Z2=-2+3i,z2-2—3i.

8.已知复数（2六一34一2）十（六一Qi在复平面内对应的点在第二象限，则

实数k的取值范围是.

答案一豺<0或1<K2

产</2,

2"34—2(0,

解析根据题意，有所以实数4的

上一4〉0,〔伙0或冷1,

取值范围是一或1<A<2.

9.已知复数Zi=-l+2i,&=1—i,zs=3—2i,它们所对应的点