2024-2025学年新教材高中数学课时作业三十五实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题北师大版必修第一册

课时作业(三十五)实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题[练基础]1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t改变的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形态是()2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，一般车存车费是每辆一次0.5元，若一般车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7B．8C．9D．104．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A．10天B．15天C．19天D．2天5．生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获得更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满意函数：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400,80000，x>400))其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[提实力]7．如图所示，起先时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过多少分钟桶(1)中的水只有eq\f(a,8)()A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟8．[多选题]某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是()A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km9．某厂有很多形态为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．[战疑难]10．某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场预料，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么安排资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？课时作业(三十五)实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题1.解析：从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.答案：A2．解析：由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)．答案：D3．解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．答案：C4．解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半，故选C.答案：C5．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：186．解析：(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400.))(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000；当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．7．解析：由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).设再经过t分钟，桶(1)中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，则eq\f(t＋5,5)＝3，解得t＝10.故选D.答案：D8．解析：在A中，出租车行驶4km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶xkm时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选BCD.答案：BCD9．解析：由三角形相像，即eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)×(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：151210．解析：(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2eq\r(x)(x≥0)，结合已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)