高中数学2轮16 四 概率与统计

专题四概率与统计

小题专项统计与统计案例、概率(理、新教材)

命I题I分I析

统计与统计案例、概率的选择题、填空题涉及的内容较为简单，主要有概率、抽样方法、统计

图表的应用、用样本的数字特征估计总体、线性回归及统计案例。试题属基础题，分值一般为5分。

明确考点扣准要点

必备知识

一、统计与统计案例

1.抽样方法

抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽

样的公平性，但又各有其特点和适用范围。

2.统计中的四个数字特征

(I)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据。

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据。如果数据的个数为偶数,

就取中间两个数据的平均数作为中位数。

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即\=[(即+也+…+兑)。

(4)方差与标准差。

I___

$2=/修-X>+(%2-Xy-|-----F(X„—X月，

—1)2+3-x)2H------F(x,—X)2]o

3.直方图的两个结论

频率

(1)小长方形的面积=组距乂始版=频率。

(2)各小长方形的面积之和等于1。

4.回归分析与独立性检验

AAA——AAA

⑴回归直线产法+。经过样本点的中心(X,川，若X取某一个值代入回归直线方程产队+a中，

可求出y的估计值。

(2)独立性检验。

对于取值分别是｛即，及｝和｛W，九｝的分类变量X和丫，其样本频数列联表是：

yiy2总计

X\aba+b

X2cdc+d

总计a~\-cb+dn

则—m+颂；鬻%)(计下其中"j+A+c+d为样本容量)。

二、概率

1.概率模型公式及相关结论

(1)古典概型的概率公式。

AA、m事件A中所含的基本事件数

"A)一〃一试验的基本事件总数°

(2)几何概型的概率公式。

叫构成事件4的区域长度(面积或体积)

”⑷一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)°

(3)条件概率。

在A发生的条件下8发生的概率：P(B|A)=镖。

(4)相互独立事件同时发生的概率：若A,8相互独立，则尸(AB)=P(A)-P(8)。

(5)若事件A,B互斥,则P(AUB)=P(A)+P(B),

P(A)=1-P(A)O

2.独立重复试验与二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Pn伏尸&炉(1-p)"%&=0,1,2,…，也用X表示事件A在〃次独立重复试验中发生的次数，则X

服从二项分布，即X〜8(〃，P)且P(X=&)=，/(l—p)"F。

3.超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取"件，其中恰有X件次品，则P(X=%)=0^b,k=0」,2,…,

v-A'

/n,其中〃?=〃?加{M,〃},且〃WMMSN,n,M,NGN\此时称随机变量X服从超几何分布。超

几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M,N,n。

4.离散型随机变量的均值、方差

(1)离散型随机变量X的分布列为

XX2•••XiX”

PPiP2•••Pi•••Pn

离散型随机变量X的分布列具有两个性质：

①.20,i=1,2,3,…，n；

②％=1。

i=i

(2)E(X)=xipi+x*2H------Fx/pH------Fx必称为随机变量X的均值或数学期望。

D(X)=f(w—E(X))2pi称为随机变量X的方差。

尸I

(3)数学期望、方差的性质。

2

①E3X+3)=aE(X)+4D(aX+b)=aD(X)0

②X〜4(〃，p),则七(%)=叩，D(X)=np[\-p).

③X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(l-p)。

精析精研重点攻关

考向突破

考向一用样本估计总体

[例I](1)(2021・长春市质量监测)党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的

成就，农村贫困人口大幅减少，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题，取得历史性成就，同时为全

球减贫事业作出了重要贡献。202()年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村

减贫人数的条形图。

减贫人数/万人

8OO

6OO

4OO

2OO

0OO

8OO

6OO

4OO

2OO

O

根据该条形图分析，下述结论：

①平均每年减贫人数超过1300万人；

②每年减贫人数均保持在1100万人以上；

③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，减贫人数逐年递减的规律；

④减贫人数的中位数是1240万人。

正确的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

解析对于①，由题图，得平均每年减贫人数为:义(1650+1232+1442+1240+1289+1386

+1109)21335(万人)，故①正确；对于②，由题图知减贫人数最少的一年为2019年，减贫人数为1

109万人，故②正确；对于③，由题图易知减贫人数在2016—2018年逐年递增，故③正确；对于④,

由题图知，减贫人数的中位数为1289万人，故④不正确。综上所述，正确的有3个，故选C。

答案C

(2)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生

进行调查。根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

频率

组距

将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读新”，则下列结论正确的是（）

A.抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸

B.该校只有50名学生不喜欢阅读

C.该校只有50名学生喜欢阅读

D.抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

解析根据频率分布直方图可列下表：

阅读

时间10,10)[10,20)120,30)[30,40)140,50)[50,60]

/分钟

抽样人

10182225205

数/名

抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸。

答案A

（3）（2021•成都诊断性检测）甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天生产出的

次品数分别是:

甲0102203124

乙2211121101

X,,X2分别表示甲、乙两组数据的平均数，.心.0分别表示甲、乙两组数据的方差，则下列选

项正确的是（）

A.X1=X2»曲>或B.X\>X2^

C.X!<X2>D.X\>X

y—°+1+0+2+2+0+3+1+2+43—

角A牛析由题表中数据，得xi=-------------话-------------=2，x2=

2+2+1+1+1+2+1+1+0+16//——..,_

-------------访-------------=",所以X|>X2。又由题表中数据知，甲组,数据比乙组数据的波动

幅度大，所以肝>4。故选B。

答案B

方法悟通

（1）用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点。

①―频率分布直方图的纵轴是频率矗，而不是频率。

②在频率分布直方图中，每个小长方形的面积才是相应区间的频率。

③最高的小长方形底边中点的横坐标是众数。

④平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数。

（2）对于其他的统计图表，要注意结合问题背景分析其所表达的意思，进而解决所给问题。

【变式训练1］（1）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，

理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔°该保险公

司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法错误的是（）

81

?54周岁

参保人数比例

①

A.54周岁以上客户人数最少

B.18〜29周岁客户参保总费用最少

C.丁险种更受客户青睐

D.30周岁以上的客户约占参保客户的80%

解析由参保人数比例图可知，54周岁以上客户人数最少，30周岁以上的客户约占参保客户的

80%,所以A,D项中说法均正确；由参保险种比例图可知，丁险种更受客户青睐，所以C项中说

法正确：由不同年龄段人均参保费用图可知，18〜29周岁客户人均参保费用最少，但18〜29周岁客

户所占比例为20%,所以总费用不一定最少。故选B。

答案B

(2)甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击中各射击10发子弹，三人的射击成绩如表。5|,52,

S3分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，贝")

环数7环8环9环10环

甲的频数2332

乙的频数1441

丙的频数3223

A.Sy>S\>S2B.S2>S1>53

C.S1>S2>$3D.

————1

解析解法一：设工i,工2,分别为甲、乙、丙射击成绩的平均数，XI=JQX(7X2+8X3

+9X3+10X2)=8.5,4=^X[2X(7-8,5)2+3X(8-8.5)2+3X(9-85)2+2X(10-8.5)2]=1.05,同理可

得，A-2=-j^X(7X1+8X44-9X4+10X1)=8.5,4=0.65,x3=8.5,55=1.45,所以门尔〉也

解法二：乙的数据比较集中，方差最小，标准差最小；丙的数据比较分散，方差最大，标准差

最大。

答案A

(3)某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分

层抽样的方法随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额(单位：7匕)分布在450〜95()之间。根据

调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示。

则图中。的值为，估计该校学生月消费金额的平均数为元(同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表)。

解析由题意知100X(0.0015+。+0.0025+0.0015+0.0010)=1,解得。=0.0035,该校学生

月消费金额的平均数x=500X015+600X0.35+700X0.25+800><0.15+900X0.1=670(元)。

答案0.0035670

考向二相关关系与独立性检验

【例2】(1)已知一组样本数据3，对，3,”),6,丁)，…，(彳6,并)，用最小二乘法得到其

线性回归方程为y=-2x+4,若即，处，…，乂,的平均数为1，则yi+yz+y3H-----1->,6=()

A.10B.12

C.13D.14

解析回归直线过样本点的中心（工,），），因为X=1,所以），=一2义1+4=2,所以），1+以+

工+…+），6=6X2=I2。故选B。

答案B

（2）为了判断高中生是否选修理科与性别的关系，现随机调查了50名学生，得到如下的2X2列

联表：

选修理科选修文科总计

男131023

女72027

总计203050

根据表中的数据，得至IJ根的观测值仁蜀10-4.844,若尸（烂一3.841片0.05,

外公25.024）比0.025,则认为高中生是否选修理科与性别有关系出错的可能性约为（）

A.2.5%B.5%

C.1%D.10%

解析因为4.844>3.841,P（心23.841）-0.05,所以认为是否选修理科与性别有关系出错的可能

性约为5%<.

答案B

方法悟通

（1）在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相

关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的

中心（元，y）,应引起关注。

（2）独立性检验问题，要确定2X2列联表中的对应数据，然后代入片求解即可。

【变式训练2）（1）节能降耗是企业的生存之本，所以要树立•种“点点滴滴降成本，分分秒

秒增效益”的节能意识，以最好的管理来实现节能效益的最大化。为此某国企进行节能降耗技术改

造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：

年号412345

年生产利润），/千万元0.70.811.11.4

预测第8年该国企的年生产利润约为（）

n

AAAAZaLx）G'Ly）

（参考公式及数据：回归直线产加+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为匕」--------Z——

£（Xi-X）2

/-I

n

^jayi-nxy

j=।A-A—5—

=~―，a=y»力加一5xy=1.7,5x2=10)

i-i

i-1

A.1.88千万元B.2.21千万元

C.1.85千万元D.2.34千万元

解析由已知可得［此"产-0.7+0.84-1+1.1+1.41.7

y=---------<---------=1,6=弁=0.17,则t

A-A一

a=y-bx=1-0.17X3=0.49,所以年生产利泗与年号的回归方程为y=0.17x+0.49,当.1=8时，

A

y=0.17X8+0.49=1.85。故选C。

答案C

（2）随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：

单位：人

满意不满意总计

男102030

女15520

总计252550

附表和公式如下:

尸（K2/）0.10()0.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

♦=5+3（。+酒（。+。）（。+或'其中力+。+"为样本容量。

根据以上数据可知（）

A.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

B.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关

C.有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

D.有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关

解析由于K』.合力吃8.333>6.635,所以有99%的把握认为对电视节目的满

ZJAZD入JUAZU

意度与性别有关，故选Co

答案c

考向三古典概型与几何概型

[例3]（1）（2021・银川市质量检测）在脱贫攻坚战中，某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志

到三个乡镇参加精准扶贫工作，每名同志只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名同志，则甲、乙分

到同一个乡镇的概率等于（）

A-6B-8

C-LD±

J1218

解析先将四名同志中的两名捆绑在一起，然后和余下的两名同志任意分配到三个乡镇，共有

CjA?=36（种）安排方法，其中甲、乙分到同一个乡镇的安排方法有A$=6（种），所以所求概率为嘏=1。

故选Ao

答案A

2*xV0

1,；且

）1，x>0,

[1.2卜发生的概率为（）

A-8B-8

C.1D.1

oz

Qx,.rWO,fl]

解析设事件M为"），=八且5,2”。易知该分段函数是一个增函数，则

（x4-l,x>0,L2J

xWO,x>0,

）

故《11—（—11

解得一1W%W1,所以该事件发生的稷率〉c=；。故

呆2y2,8+1W2,2—（—2）2

选D。

答案D

方法悟通

几何概型问题与古典概型问题求解的思路是相同的，但应注意古典概型适用于试验结果有限的

事件，而几何概型适用于试验结果无限的事件。对于两个区域A,B,且AU-当区域8是线段（角、

平面图形、立体图形）时，点P落在区域A内的概率与线段的长度（角的度数、平面图形的面积、立

体图形的体积）有关时，可以选择长度（角度、面积、体积）作为区域的测度。记点。落在区域4内为

—…-曰…构成事件M的长度（角度、面积、体积）

事件也川其概率的计算/.式曲2®一试验的全部结果所构成的长度（角度、面积、体积）。

【变式训练3】（1）（2021•广东惠州第三次调研）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制

了一副“弦图”，后人称其为赵爽弦图。如图是在赵爽弦图的基础上创作出的一个“数学风车”，

其中正方形ABCO内部为赵爽弦图，正方形ABCO外部四个阴影三角形称为“风叶”。现从该“风

叶”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）

解析从该“风叶”的8个顶点中任取2个顶点，不同的情况有3=28（种）。其中2个顶点取

自同一片“风叶”的情况有4G=12（种）。故所求概率为P=S=,。故选A。

ZoI

答案A

（2）（2021・湖北新高考适应性测试）如果3个正整数按照一定顺序可以组成一个等比数列，则称这

3个数为一组“等比数”（如1,2,4为一组“等比数”）。从1,2,3,456,7,8,9中任取3个不同的数，则

这3个数构成一组“等比数”的概率为（）

A-42B.表

C-LD工

—21u'84

解析从9个数中任取3个不同的数，有C$=84（种）情况，其中，构成一组“等比数”的情况

41

有{1,2,4},{1,3,9},{2,4,8},{4,6,9},共4种,故这3个数构成一组“等比数”的概率?=同二行。

故选C。

答案C

（3）（2021•安徽示范高中培优联考）明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图

式。如图是来氏一日气象图，其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对

15兀

积为:X（S]—S2）=*三，所以在大圆内随机取一点，该点取自黑色区域的概率P=y^=1|。

较°案柒—32

考向四条件概率

[例4]（2021・四川仁寿一中第一次调研）现从4名男医生和3名女医生中随机抽取两人加入

“援鄂医疗队”，用4表示事件“抽到的两名医生性别相同”，用3表示事件“抽到的两名医生都

是女医生”，则P（B|A）=（）

4

-

B.7

1

解析解法一：由已知得P（A）=C*G=/_=,p（A8）=方=/=；,则P（解4）=,黑）=,=；。

7

故选A。

解法二：P（B|A）=^=否%故选A。

答案A

方法悟通

解本题的关键点有两处。一是注意积事件的概率的求解：若事件A、事件3是相互独立事件，

则P(AB)=P(A)P(B)。二是注意P(8|A)与P(A8)的区别：P(8|A)表示在事件A发生的条件下，事件B

发生的概率，P(4B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

【变式训练4](1)某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、

化学每科分别要排•节课，则数学不排第•节课，物理不排最后•节课的情况下，化学排第四节课

的概率是()

3「3

A-20B-13

C?D旦

J3928

解析记事件A为“数学不排第一节课，物理不排最后一节课”.事件8为“化学排第四节课”，

则P(A)=A4+»A34,p(A8)=占土故P(8|A)=，窗鼻。故选Co

答案C

(2)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机

进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7,连续两次采访到的人都是

代表团团长的概率为0.6,则在第一次采访到的人是代表团团长的条件卜，第二次采访到的也是代表

团团长的概率为。

解析记第一次采访到的人是代表团团长为事件4,第二次采访到的人是代表团团长为事件8,

则P(A)=0.7,P(A8)=0.6,则P(矶4)=勺照=5。

答案

考向五相互独立事件与二项分布

【例5】(1)某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场比赛。A,3两队各由4名选手

组成，每局两队各派一名选手参加比赛，比赛分为四局。除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均

得1分，每局的负者得0分。假设每局比赛A队选手获胜的概率均为争且各局比赛结果相互独立，

则比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为()

1652

AA,27Bo,81

「20n7

C-27D-9

解析A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分，4队

的得分为3分队的得分为5分的概率为《卜=普,A队的得分为4分的概率为C5x[|px|x2=^,

Wo1\J)jjZ/

A队的得分为3分的概率为C1X,X曲x%c怖因此所求概■率为您+附+券=知故选

jJ3)Jo1o1Z/olZ/

Co

答案c

(2)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和〃(〃£N,)个黑球。现从中有放网地摸取4次，每

次都是随机摸取1个球，设摸得白球的次数为X,若D(X)=l,则£(%)=()

A.1B.2

C.3D.4

解析设每次随机摸取I个球，取到白球的概,率为由题意知，X〜8(4,〃)，因为£>(X)=4p(l

—p)=l,所以〃=；,则E(X)=4p=4X；=2。故选B。

答案B

方法悟通

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事

件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解。

(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则

可直接使用公式求解。

【变式训练5](1)某市为了加强疫情的防控力度，举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎

患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者“四类”

人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人。在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者

的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行核酸检测，若出现阳性，则

该家庭为“感染高危户”。设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭

至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为加)，当°=〃0时，加)最大，则m=()

A.1邛B.当

C.1D.1一日

解析设检测5个人确定为“感染高危户”为事件A,检测6个人确定为“感染高危户”为事

件8,则p(A)=p(l-p>,P(B)=p(l-p)5,即加)=双1-p)4+〃(l-p)5=M2—〃)(1一〃)4。设％=1—

p>0,则g(x)=(l—x)(l+/？=(1—X[(2—2A2)X>7X>2]X—x9'>?=/'当且仅当

2一"=总即工=半时取等号，此时〃=po=l—半。故选A。

答案A

(2)(2021•绵阳市诊断性考试)已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p,且各员工发表论

文是否获奖相互独立。若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96,凤X)>2,则〃=

14

解析由已知可得X〜8(6,p),则O(X)=6p(l—p)=0.96,即25户一25p+4=0,解得或予

I144244

若〃=§,则E(X)=6X铲2,不符合题意；若p=g,则E(X)=6Xg=w>2,符合题意。故〃=§。

4

答案5

考向六正态分布

【例6】(1)已知随机变量X服从正态分布M0』)，随机变量丫服从正态分布MI,I)，且P(X>1)

=0.1587,则尸(1<比2)=()

A.0.1587B.0.3413

C.0.8413D.0.6587

解析设2=丫一1,因为Y〜N(T,1),所以Z〜N(0,1),所以P(l<y<2)=P(0<Z<l)=0.5-P(Z>l)

=0.5-0.1587=0.3413。故选B。

答案B

(2)100()名学生的成绩近似服从正态分布MIOOJOO),则成绩在120分以上的学生人数约为

(注：正态总体M4，M)在区间a一o,〃+0),(//—2(7,"+2。)，(〃-3o,"+3o)内取值的概

率分别为0.683,0.954,0.997)。

解析因为1000名学生成绩近似服从正态分布Ml。。，100),所以"=100,o=10,成绩在a

-2o,〃+2o)=(80/20)的人数约为1000X0.954=954。所以成绩在120分以上的人数约为^X(l000

-954)=23。

答案23

方法悟通

本题(1)考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X

服从正态分布，正态分布一般记为〃)，"为正态分布的均值(均值就是对称轴)，。是正态分布

的标准差；本题属于基础题。

本题(2)求解此类题的关键：一是〃，/所反映的变量的特征；二是正态曲线和x轴之间的平面

图形的面枳为1；三是正态曲线的对称性。对于求特殊区间的概率的问题，要将所求区间的概率向三

个特殊区间的概率P(/i—+2a)>P(/L3(7<XW〃+3(7)转化，然后利用特定

值求出相应的概率。

【变式训练6】(2021•昆明市诊断测试)随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)

重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通

力合作，又成为国际范围的热点关注内容。昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国

家二级保护植物。为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径。(单位：

厘米)作为样本，通过数据分析得到。〜M12.5452),若将0221.5的植株建档重点监测，据此估算

2000()株滇山茶建档的约有株。

附：若X〜N@,屋)，则/>3—户*号<+040.6827,P(/L2CT<XW〃+2。)=0.9545。

解析因为。〜M12.5,4.52),所以〃=12.5,〃=4.5,所以P(O221.5)=P(D2〃+2c)=

1一户/一2doW"+2o)1-0.9545

------------------------y-----------=0.02275,

22由样本估计总体的思想得20000株滇山茶建档的约

有0.02275X2()000=455(林)。

答案455

练真题明确考向

回味高考

1.(2021•全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家

庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至&5万元之间

解析对于A,根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02+

0.04)XlX100%=6%,故A正确：对于B,根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元

的农户比率约为(0.04+0.02+0.02+0.02)XlX100%=10%,故B正确；对于C,根据频率分布直方

图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3X0.02+4X().04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20

+9X0.10+10X0.10+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68(万元)，故C错误；对于D,

根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10+0.14+0.20

+0.20)X1X100%=64%>50%,故D正确。

答案C

2.(2021•全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

解析解法一(将4个1和2个。视为完全不同的元素)：4个1分别设为1A,1及1C1R2个0分

别设为0A0B,将4个1和2个0随机排成一行有A2种排法，将排成一行有A：种排法，

A-JA??

再将0A,0B插空有Ag种排法，所以2个0不相邻的概率P=~~p=^o

解法二(含有相同元素的排列)：将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0,共

有C科中排法：将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0,共有Cg种排

Cl2

法。所以2个。不相邻的概率。=.=审

答案C

3.(2021•全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于:的概率为()

7「23

AA.§B.52

-92

J329

解析在区间(0,1)中随机取一个数，记为x,在区间(1,2)中随机取一个数，记为y,两数之和大

0<x<l,

l<V<2,在如图所示的平面直角坐标系中，点(x,y)构成的区域是边长为I

)&+曷。

的正方形区域(不含边界)，事件4“两数之和大于即中，点(x,y)构成的区域为图中阴影部

分（不含边界）,

答案B

4.（2020.全国I卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关

系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（如y）（i=l,2，…，20）得到下面的散

点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的

回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=〃+加'D.y=〃+Z?lnx

解析根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来（图略），由图并结合选项可排除A,B,

C,故选D。

答案D

5.（2020・全国III卷）在一组样本数据中，123,4出现的频率分别为小，小，⑶，出，且5=1,

则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的•组是（）

A.〃]=〃4=0.1,p2=P3=0.4

B.pi=p4=0.4,p2=P3=0.1

C.pi=“4=0.2,0=p3=O.3

D.p\—/?4—0.3>〃2=p3=0.2

解析观察法，比较A,B,C,D四项，B数据最分散，所以B的标准差最大。故选B。

答案B

6.（2019・全国I卷）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获

胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取

胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是

解析记事件M为甲队以4：1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜

三场负一场，所以尸（M）=0.6X（OS?XOS?X2+0.6义0.4XOS?X2）=0.18。

答案0.18

7.（2021.浙江高考）袋中有4个红球，加个黄球，〃个绿球。现从中任取两个球，记取出的红球

数为备若取出的两个球都是红球的概率为右一红一黄的概率为:，则m-n=,E©=

p2|2I

解析由题意可得，P（4=2）