概率论与数理统计（慕课版第2版） 教案 第3章 多维随机变量及其分布

概率论与数理统计教学教案第3章多维随机变量及其分布授课序号01教学基本指标教学课题第3章第1节二维随机变量及其分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量的联合分布函数、性质及两种基本形式、二维均匀分布、二维正态分布的概率密度教学难点利用二维概率分布求有关事件的概率参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布；连续型联合概率密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。教学基本内容一．二维随机变量1．二维随机变量：设E是随机试验,和是定义在同一个样本空间上的随机变量，则称为二维随机变量或二维随机向量.2.说明：二维随机变量的性质不仅与X和Y有关，还依赖于两个随机变量之间的相互关系，因此要将随机变量作为一个整体进行研究.二．二维随机变量的联合分布函数1．二维随机变量的联合分布函数：设为二维随机变量，对于任意的，则称为二维随机变量的联合分布函数，简称为分布函数.2．二维联合分布函数的几何意义：若将看作是平面直角坐标系上的随机点，那么表示随机点落入阴影部分的概率（如图3.1），即落入点左下方区域内的概率.图3.13．随机点落入矩形区域的概率：4．联合分布函数的性质：（1）单调性：对或都是单调不减的；（2）有界性：对任意的和，有，并且：，，；（3）右连续：对或都是右连续的，即：，；（4）对任意的和，其中，有.三．二维离散型随机变量及其分布1．二维离散型随机变量：若二维随机变量只取有限个或可列个数对，则称为二维离散型随机变量，称为的联合分布律或者联合概率分布，简称为分布律或者概率分布.2．联合分布律的性质：（1）非负性：；（2）正则性：.3．二维联合分布律的表示形式：四．二维连续型随机变量及其分布1．二维连续型随机变量：设为二维随机变量，若存在函数，对于任意区域A，满足,则称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数，简称为概率密度.2．联合概率密度函数具有以下性质：（1）非负性：；（2）正则性：.3．说明：对于二维连续型随机变量，联合分布函数与联合概率密度函数也可以相互求出：（1）若在点处连续，为相应的联合分布函数，则有；（2）若已知联合概率密度函数，则.4.二维连续型随机变量的两种常用分布.（1）二维均匀分布：设G是平面上的一个有界区域，其面积为，若随机变量的概率密度为则称随机变量服从区域G上的二维均匀分布.说明：二维均匀分布相当于向平面区域G内随机的投点，若D为G的子区域，则点落入区域D内的概率与区域D的位置无关，只与D的面积有关，其概率值等于子区域D的面积与大区域G的面积之比，即（2）二维正态分布：如果二维随机变量的联合概率密度为，其中五个参数均为常数，且，，，则称服从二维正态分布，记为.五．例题讲解例1．一家大型保险公司为一些客户提供服务，这些客户既购买了车险，又购买了财险.每种类型的保单都有一定的免赔额，车险的免赔额为100元或250元，财险的免赔额为0元、100元或200元.假设一个人同时购买了这两种保险，X表示车险的免赔额，Y表示财险的免赔额.根据该公司的历史数据可以得到随机变量的联合分布律，求（1）客户财险的免赔额不低于100元的概率；（2）客户的免赔总额不超过300元的概率.1002500.200.100.200.050.150.30例2．有7件外观相同的产品，经检测其中有3件一等品、2件二等品、2件三等品，任意选出4件产品，用X表示取到一等品的件数，用Y表示取到二等品的件数，求X，Y的联合分布律.例3．一家银行的服务包括人工服务和自助服务.在一天中，X表示接受人工服务所花费的时间，Y表示自助服务所花费的时间.随机变量所有可能取值的集合为（单位：h），的联合概率密度为求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，即例4．设二维随机变量服从区域G上的均匀分布，其中G是由与所围成的三角形区域，求随机变量落入区域D内的概率.例5．设服从二维正态分布，概率密度函数为，求

授课序号02教学基本指标教学课题第3章第2节边缘分布与随机变量的独立性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密度、随机变量的独立性、离散性和连续性随机变量独立的条件教学难点二维离散型随机变量的边缘分布及连续型边缘密度的求法，离散性和连续性随机变量独立性的判定。参考教材作业布置课后习题大纲要求1．理解二维离散型随机变量的边缘分布；连续型边缘密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2．理解随机变量的独立性概念，掌握离散性和连续性随机变量独立的条件。教学基本内容一．边缘分布函数1．随机变量的边缘分布函数：设二维随机变量的联合分布函数已知，则两个分量和的分布函数可以由联合分布函数求得，即，其中，称为随机变量的边缘分布函数.2．随机变量的边缘分布函数：，其中，称为随机变量的边缘分布函数.二．边缘分布律1．随机变量的边缘分布律：设二维离散型随机变量的联合分布律为，随机变量的边缘分布律为，简记为；随机变量的边缘分布律为，简记为.2．利用联合分布律就能得到单个随机变量的边缘分布律，且可以一起列入下表：1三．边缘概率密度1．随机变量X的边缘概率密度：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则关于X的边缘分布函数为，对求导可得，称为随机变量X的边缘概率密度.2．随机变量Y的边缘概率密度.3．二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布和，即联合分布可以完全确定其边缘分布，反之，边缘分布不能确定联合分布.四．随机变量的独立性1．随机变量X与Y相互独立：设二维随机变量的联合分布函数为，且X与Y的边缘分布函数为、，若对任意的一组取值，有成立，则称随机变量X与Y是相互独立的.由此定义可得，.2．定理：（1）设为二维离散型随机变量，对任意的，则离散型随机变量X与Y相互独立等价于：.（2）设为二维连续型随机变量，对任意的，则连续型随机变量X与Y相互独立等价于：.3．说明：（1）要判别中的X与Y相互独立，必须对“任意一组取值”都满足上述结论；（2）要判别X与Y不独立，则只需要找到一组不满足上述结论的值即可.五．例题讲解例1．一家大型保险公司为一些客户提供服务，这些客户既购买了车险，又购买了财险.每种类型的保单都有一定的免赔额，车险的免赔额为100元或250元，财险的免赔额为0元、100元或200元.假设一个人同时购买了这两种保险，X表示车险的免赔额，Y表示财险的免赔额.根据该公司的历史数据可以得到随机变量的联合分布律，求二维随机变量的边缘分布律.1002500.200.100.200.050.150.30例2．一家银行的服务包括人工服务和自助服务.在一天中，X表示接受人工服务所花费的时间，Y表示自助服务所花费的时间.随机变量所有可能取值的集合为（单位：h），的联合概率密度为求随机变量X和Y的边缘概率密度，以及.例3．设二维随机变量服从二维正态分布，证明:X的边缘分布为,Y的边缘分布为.例4．在左转车道上，每个信号周期内的私家车数量记为X，公交车数量记为Y，X与Y都是随机变量，且的联合分布见下表：0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020问随机变量X和Y是否相互独立？例5.(续例2)设二维随机变量的联合概率密度为边缘概率密度在例2已求出,判断随机变量X与Y的独立性.例6．设二维随机变量服从二维正态分布，则与相互独立的充要条件为例7．设二维随机变量服从二维正态分布，求概率.授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节条件分布课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的条件密度教学难点条件分布及条件密度的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求理解离散型随机变量的条件分布；连续型随机变量的条件密度。教学基本内容一．二维离散型随机变量的条件分布律1．随机变量X的条件分布律：设二维离散型随机变量，其联合分布律为，关于Y的边缘分布律为，则称为在的条件下随机变量X的条件分布律.2．随机变量Y的条件分布律：关于X的边缘分布律为，则称为在的条件下随机变量Y的条件分布律.说明：当随机变量X与Y相互独立时，条件分布律就等于其相应的边缘分布律，即，.二．二维连续型随机变量的条件概率密度1.随机变量X的条件概率密度与条件分布函数：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，随机变量的边缘概率密度分别为和，则称与为给定条件下，X的条件概率密度和条件分布函数.2.随机变量Y的条件概率密度与条件分布函数：称与为给定条件下，Y的条件概率密度和条件分布函数.三．例题讲解例1．一个加油站既有自助服务，也有人工服务.在一次加油中，令X表示特定时间内自助加油使用的油枪数量,Y表示人工加油使用的油枪数量.随机变量的联合分布律见下表：0120120.100.040.020.080.200.060.060.140.30当X=1时，求Y的条件分布律.例2．设二维连续型随机变量的概率密度为例3．设二维随机变量服从区域G上的均匀分布，其中G是由与所围成的三角形区域(如图3.6).求条件概率密度图3.6

授课序号04教学基本指标教学课题第3章第4节二维随机变量函数的分布课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点两个独立随机变量函数的分布教学难点两个独立随机变量函数的分布的求法参考教材作业布置课后习题大纲要求会求两个独立随机变量的简单函数的分布。教学基本内容一.二维离散型随机变量函数的分布从以上两个例题可以看出，求二维离散型随机变量函数的分布律，其方法与求一维离散型随机变量函数的分布律是一样的:首先确定所有可能的取值，其次分别求出所有取值的概率，再进行整理便得到了随机变量函数的分布律.例3.17描述了二项分布的可加性（关于第一个参数的可加性）,下面把常用离散型随机变量的可加性总结如下：（1）（0-1）分布：若随机变量相互独立，且，则（2）二项分布：若随机变量，且X与Y相互独立，则（3）泊松分布：若随机变量，且X与Y相互独立，则注意，在以上的三个结论中，都要求随机变量之间相互独立.二．二维连续型随机变量函数的分布设是二维连续型随机变量，是二元函数，则是一维随机变量.已知的联合概率密度，求的分布，一般情况下，Z的分布函数为：，当Z为连续型随机变量时，对分布函数求导可以得到Z的概率密度：1.和的分布（1）定理：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则的概率密度为或.（2）卷积公式：若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为和，则的概率密度为或，并称这两个公式为卷积公式，记为.（3）若随机变量X与Y相互独立，且，，则；对于不全为零的实数，则.（4）若，并且相互独立，是不全为零的实数，则随机变量2．积的分布、商的分布（1）定理：设二维连续型随机变量的联合概率密度为，则的概率密度分别为和.（1）若X与Y相互独立，其边缘概率密度分别为和，则的概率密度分别为和，称这两个公式为积的分布公式与商的分布公式.3.最大值、最小值的分布（1）定理：设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为和，则和的分布函数为和.（2）推广形式：设n个随机变量相互独立，其分布函数为，则和的分布函数分别为和.（3）当n个随机变量独立同分布时，其分布函数均为，则M和N的分布函数为和.说明：对于连续型随机变量，求出最大值、最小值的分布函数后，再对分布函数求导，就可以求出其概率密度函数.三．n维随机变量1.n维随机变量：设是定义在同一个样本空间E上的n个随机变量，则称为n维随机变量或