素养提升4⇒动态平衡和平衡中的临界极值问题

动态平衡和平衡中的临界极值问题题型一动态平衡问题（精品微信公众号：偷着学）1.动态平衡及基本思路（1）所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。（2）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。2.处理动态平衡问题的四种方法方法步骤解析法（1）根据平衡条件、数学知识列式，求出待求量与变量间的函数关系式；（2）根据函数关系式讨论待求量随变量的变化情况图解法（1）选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态；（2）根据平行四边形定则或三角形定则，作出物体在这几个状态的力的矢量图；（3）由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化方法步骤相似三角形法三力平衡中，若一个力是恒力，另两个力方向都变化，且题目中给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算辅助圆法三力平衡中，若一个力是恒力，另两个力方向变化且夹角不变，题目给出了空间几何关系。可画出三力的矢量三角形的外接圆，不变力为一固定弦。因固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向时，可得另一力大小和方向的变化情况方法1解析法【例1】如图所示，P为光滑定滑轮，O为光滑轻质动滑轮，轻绳跨过滑轮，左端与物体A相连，右端固定在杆Q上，重物B悬挂在动滑轮上。将A置于静止在粗糙水平面的斜面体上，轻绳AP段与斜面平行，系统处于静止状态。若将杆Q向右移动一小段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后，下列说法正确的是（）A.轻绳中拉力减小B.物体A与斜面体之间的摩擦力一定增大C.斜面体与地面之间的弹力增大D.斜面体与地面之间的摩擦力增大答案：D解析：若将杆Q向右移动一小段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后，∠QOP变大，设绳OP与竖直方向夹角为θ，重物B的质量为m，则有T＝mg2cosθ，角度θ变大，则绳中拉力变大，A错误；根据上述，绳中拉力变大，如果开始A受到的摩擦力沿斜面向上，则摩擦力可能减小，也有可能反向，如果开始A受到的摩擦力沿斜面向下，则摩擦力增大，B错误；对A和斜面体整体分析，设斜面倾角为α，斜面体的质量为M，物体A的质量为m'，则水平方向有f＝Tcosα，竖直方向有N＝（M＋m'）g－Tsinα，绳的拉力变大，斜面体与地面之间的摩擦力变大，斜面体与地面之间的弹力变小，C错误，方法2图解法【例2】在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所示的方法。已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为θ。当工人对油桶施加方向不同的推力F时，油桶始终处于匀速运动状态。假设斜面与油桶的接触面光滑。在推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是（）A.若力F沿水平方向，F的大小为GsinθB.若力F沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为GcosθC.F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大D.F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F的最小值为Gsinθ答案：D解析：当力F沿水平方向时，由于油桶为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平和竖直方向上有F＝Nsinθ，Ncosθ＝G，解得F＝Gtanθ，N＝Gcosθ，故A、B错误；当力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析如图所示，故支持力在逐渐变小，且推力最小为力F和支持力N垂直，即推力F沿斜面方向，此时最小值为Fmin＝Gsinθ，故C错误，方法3相似三角形法【例3】如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是（）A.初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力B.初始时弹簧弹力大于小球a的重力C.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球a的支持力先增大后减小D.小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大答案：D解析：对小球a进行受力分析，小球a受重力G，半圆环对小球a的支持力FN和弹簧弹力F，三力平移后构成一首尾相连的三角形，如图所示，力的三角形与三角形OPQ相似，根据三角形相似有GOQ＝FNOP＝FPQ，初始时PQ＝OP＝R，OQ＞R，所以G＞FN＝F，选项A、B错误；小球b缓慢上移过程，小球a处于动态平衡状态，随着小球b上移，OQ减小，OP不变，重力G不变，半圆环对小球的支持力FN增大，选项C错误；设弹簧的原长为L，弹簧的形变量为x，根据胡克定律有F＝kx，则GOQ＝FPQ＝kxL－x，OQ减小，重力G不变，L不变，则弹簧形变量x方法4矢量三角形法或辅助圆法【例4】（2022·河北高考7题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（）A.圆柱体对木板的压力逐渐增大B.圆柱体对木板的压力先增大后减小C.两根细绳上的拉力均先增大后减小D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变答案：B解析：解法一：矢量三角形法设两绳子对圆柱体的拉力的合力为T，木板对圆柱体的支持力为N，绳子与垂直木板方向的夹角为α，从右向左看圆柱体受力如图所示，在矢量三角形中，根据正弦定理得mgsinα＝Nsinβ＝Tsinγ，在木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，由绳与木板之间的夹角不变知α不变，γ从90°逐渐减小到0，又γ＋β＋α＝180°且α＜90°，可知90°＜γ＋β＜180°，则0＜β＜180°，可知β从锐角逐渐增大到钝角，由于sinγ不断减小，可知T不断减小，sinβ先增大后减小，可知N先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小。设两绳子之间的夹角为2θ，绳子拉力为T'，则2T'cosθ＝T，可得T'＝T2cosθ，θ不变，T逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B解法二：辅助圆法选圆柱体为研究对象，设两根细绳的拉力的合力为T，除此之外圆柱体还受重力G和木板的支持力N，将三力首尾依次相接构成矢量三角形，如图所示，在木板缓慢转动过程中，两绳拉力的合力T和木板的支持力N同时顺时针转动，重力G恒定，两绳拉力的合力T和木板的支持力N之间的夹角不变，所以矢量三角形外接圆中弦AB所对的角不变，在木板转至水平的过程中，绳的拉力T和木板的弹力N的连接点C由初位置移至B点，由图可知支持力N先增大后减小，两绳拉力的合力T一直减小，B正确，A、C、D错误。题型二平衡中的临界极值问题1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。3.解决极值问题和临界问题的方法（1）图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。（2）解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、三角函数极值等）。方法1图解法【例5】一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现对圆环施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A.F的大小不可能为mgB.F的最小值为22C.大小为2mg的力F对应有两个方向D.F的方向可能竖直向下答案：B解析：同一根细线上拉力大小相等，设AC细线、BC细线的合力为T，方向与竖直方向成45°角，如图所示，由图知，力F在水平方向时，大小为mg，A错误；当F与T垂直时取最小值，可知F的最小值为22mg，B正确；大小为2mg的力F只对应一个方向，即方向偏离水平方向向下，C错误；当F的方向竖直向下时，不能构成闭合矢量三角形，无解，D方法2解析法【例6】（2022·浙江1月选考5题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（）A.轻绳的合拉力大小为μmgB.轻绳的合拉力大小为μmgC.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小答案：B解析：设轻绳的合拉力为T，对石墩受力分析，由平衡条件可知Tcosθ＝f，f＝μN，Tsinθ＋N＝mg，联立解得T＝μmgcosθ＋μsinθ，故A错误，B正确；轻绳合拉力的大小为T＝μmgcosθ＋μsinθ＝μmg1+μ2sin（θ＋φ），其中tanφ＝1μ，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，即减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；摩擦力大小为f＝Tcosθ＝μmgcos跟踪训练·巩固提升1.（2023·海南高考3题）如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是（）A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力C.重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小D.重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变解析：B对工人受力分析，可得FN＋FT＝mg，其中工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，A错误，B正确；滑轮受力如图所示，则有FT＝mg2cosθ，随着重物缓慢拉起，θ逐渐增大，则FT逐渐增大，C、2.如图所示，用一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹角为30°且绷紧，小球A处于静止，则需对小球施加的最小力等于（）A.3mg B.12C.32mg D.3解析：B以小球为研究对象，作出受力示意图如图所示，根据作图法分析得到，当小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小。根据平衡条件，F的最小值为Fmin＝Gsin30°＝12mg，故选B3.（2024·重庆模拟）足球比赛开始前，裁判将一质量为m的足球静置于球员入场通道口的桌面支架上，如图（侧视图）所示。该支架由三个相同立柱组成，三个立柱成正三角形固定在水平桌面上，每个立柱和足球的接触点与足球球心的连线与竖直方向的夹角均为θ。不计足球与立柱间的摩擦，重力加速度为g，则（）A.单个立柱对足球的作用力竖直向上B.单个立柱对足球的作用力大小为13C.只增大夹角θ，三个立柱对足球的合力变大D.只增大夹角θ，单个立柱对足球的作用力变大解析：D单个立柱对足球的弹力方向沿立柱和足球的接触点与球心的连线并指向球心，故A错误；对足球受力分析，如图所示，根据几何关系可得3Fcosθ＝mg，解得F＝mg3cosθ，故B错误；足球静止，三个立柱对足球的合力始终等于足球的重力，故C错误；根据F＝mg3cosθ可知增大夹角θ，力F变大4.（2024·山西大同模拟）图1是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图2所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是（）A.货物A对玻璃棚的压力不变B.货物A对玻璃棚的压力越来越大C.绳子的拉力越来越大D.绳子的拉力越来越小解析：C对A受力分析，画力的矢量图如图，货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向上的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大。同时，玻璃棚对货物的支持力变小，则货物A对玻璃棚的压力越来越小。故C正确，A、B、D错误。5.如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮O'由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到O'正下方，木板B始终保持静止，则在整个过程中（）A.外力F大小不变B.轻杆对小球的作用力大小变小C.地面对木板的支持力逐渐变小D.地面对木板的摩擦力逐渐减小解析：D对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示，根据三角形相似，可知mgOO'＝FO'A＝F'OA，其中mgOO'的值不变，在小球A和轻杆缓慢运动过程，O'A越来越小，则F逐渐减小，故A错误；由于OA长度不变，所以杆对小球的作用力大小不变，故B错误；对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大6.如图所示，将质量为m的球放在AB和CD两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角θ＝α＝30°并保持静止。AB板固定，CD板与AB板活动连接，CD板可绕通过D点且垂直纸面的轴转动。在θ角缓慢地由30°增大到75°的过程中（）A.球对AB板压力的最大值为0.5mgB.球对AB板压力的最大值为mgC.球对AB板压力的最大值为2mgD.球对AB板压力的最大值为1.5mg解析：B小球受到重力mg，AB板的支持力NAB，CD板的支持力NCD三个力作用下保持平衡状态，在θ角缓慢地由30°增大到75°的过程中，小球的重力保持不变，AB板对球的支持力方向不变，只有CD板对球的支持力方向在变化，如图所示分别是小球在CD与水平面夹角在30°和75°时的受力示意图。根据三角形定则，可知随着θ角缓慢地增大，AB板的对球支持力也逐渐增大，当θ＝75°时，AB板对球的支持力最大，从受力图可知，此时，AB板对球的支持力等于小球的重力，根据牛顿第三定律可得球对AB板压力的最大值为mg，B正确，A、C、D错误。（精品微信公众号：偷着学）7.一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g取10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数μ及最小拉力与水平方向的夹角θ的正切值tanθ分别为（）A.μ＝34，tanθ＝0 B.μ＝34，tanθC.μ＝34，tanθ＝43 D.μ＝35，解析：B物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角θ不同，物体与水平地面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力大小相等。以物体为研究对象，受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，在水平方向上有Fcosθ＝μFN，在竖直方向上有Fsinθ＋FN＝mg，解得F＝μmgcosθ＋μsinθ＝μmg1+μ2sin（θ＋φ），其中tanφ＝1μ，当θ＋φ＝90°，即θ＝arctanμ时，sin（θ＋φ）＝1，F有最小值Fmin8.（2024·云南丽江一模）如图所示，光滑圆环竖直固定，A为最高点，一橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆环上的轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向夹角为30°，用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮条中点拉至C点时，钩的拉力大小为F，为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F'，下列说法正确的是（）A.若F'沿水平方向，则F'＝33B.若F'沿竖直方向，则F'＝33C.F'的最大值为33D.F'的最小值为33解析：A设橡皮条的拉力大小为T。则有2Tcos30°＝F，解得T＝33F，若F'沿水平方向，小环只受橡皮条的拉力和F'，由平衡条件知F'＝T＝33F，故A正确；若F'沿竖直方向，则有F'＝Ttan30°＝13F，故B错误，作出小环的受力图如图所示，由三角形定则知，当F'⊥N时，F'有最小值，且最小值为Fmin'＝Tsin30°＝36F，故D错误；根据平行四边形定则可知F'的最大值可取无穷大9.如图所示，V型光滑挡板AOB之间放置有一质量均匀的球体，初始时系统处于静止状态，现将整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），在AO由水平转动90°到竖直的过程中，下列说法正确的是（）A.挡板AO的弹力逐渐增大B.挡板AO的弹力先增大后减小C.挡板BO的弹力逐渐减小D.挡板BO的弹力先增大后减小解析：BV型光滑挡板转动过程中，对小球受力分析，各个力的夹角如图所示，根据正弦定理可以推导得出mgsinθ＝NAsinα＝NBsinβ，因为整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动，∠θ＋∠AOB＝180°，∠AOB保持不变，故∠θ不变，sinθ不变，mgsinθ保持不变，在AO由水平转动90°到竖直的过程中，α从锐角增大到钝角，sinα先增大后减小，故挡板AO的弹力先增大后减小，A错误，B正确；β从180°减小到90°，sinβ10.（多选）如图所示，天花板下方通过支架固定一光滑轻滑轮，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接，小球a与b的质量分别为m和2m。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至θ＝30°（细绳中张力大小视为不变，b球始终未触及细杆）。小球a与细杆间的动摩擦因数为μ＝33。则此过程中拉力F的可能值为（A.mg B.33C.3mg D.12解析：ABC因细绳中张力大小视为不变，所以T＝2mg，对小球a进行受力分析如图所示，由于小球