高一数学知识点总结下册

高一数学知识点总结下册

高一新生要依据自己的条件，以及高中阶段学科学问交叉多、综

合性强，以及考查的学问和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的

（学习（方法））。下面给大家共享一些关于（高一数学）学问点（总

结）下册，盼望对大家有所关心。

高一数学学问点总结1

集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能推断一个给定的东西是否属于这个整体。

把讨论对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为

集。

2、集合的中元素的三个特性：

⑴元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定

的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不行重复的。

⑶元素的无序性:集合中元素的位置是可以转变的，并且转变位

置不影响集合

3、集合的表不：{...}

⑴用大写字母表示集合：A={我校的（篮球）队员},B={1,2,3,4,5}

⑵集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

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b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合。

{x?R|x-32},{x|x-32}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

⑴有限集：含有有限个元素的集合

⑵无限集：含有无限个元素的集合

⑶空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

⑴元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A

⑵元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aCA

留意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N-或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

⑴・"包含"关系⑴一子集

定义：假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这

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两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

二、函数的概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应

关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数

f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数.记

作：y=f(x),x0A.

(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x回A}

叫做函数的值域.

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

函数的表示方法：⑴解析法：明确函数的定义域

⑵图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲

线、直线、折线、离散的点等等。

⑶列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象学问归纳

⑴定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x回A)中的x为横坐

标，函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x(2A)

的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满意函数关系y=f(x),反过来，以满

意y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

⑵画法

A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即

平移。

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(3)函数图像平移变换的特点：

1)加左减右----------只对x

2)上减下加----------只对y

3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动

得

函数y=|f(x)|

7)函数y=f(x)先作x>0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函

数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

(1、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的

函数关系时一，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定

义域.

(2、求函数的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系数法：

3)换元法：

4)拼凑法：

2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

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求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

⑴分式的分母不等于零；

⑵偶次方根的被开方数不小于零；

⑶对数式的真数必需大于零；

⑷指数、对数式的底必需大于零且不等于1.

⑸假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，

它的定义域是使各部分都有意义的X的值组成的集合.

⑹指数为零底不行以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.

3、相同函数的推断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值

的字母无关);②定义域全都(两点必需同时具备)

4、区间的概念：

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示

5、值域(先考虑其定义域)

⑴观看法：直接观看函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

⑵反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X

关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

⑶配方法：针对二次函数的类型，依据二次函数图像的性质来确

定函数的值域，留意定义域的范围。

⑷代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次

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函数的类型。

6.分段函数

⑴在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值状况.

⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并

集.

⑷常用的分段函数有取整函数、符号函数、含肯定值的函数

7.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应

法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的

元素y与之对应，那么就称对应f：A—B为从集合A到集合B的一个

映射。记作“f（对应关系）:A（原象）一B（象）”

对于映射f：A玲B来说，则应满意：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的；

⑵集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的，而函数仅仅是针

对数字来说的。所以函数是映射，而映射不肯定的函数

8、函数的单调性（局部性质）及最值

（1、增减函数

（1）设函数y=Wx）的定义域为I,假如对于定义域I内的某个区间D

内的任意两个自变量xl,x2,当xl

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(2)假如对于区间D上的任意两个自变量的值xl,x2,当xl

留意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调

不增，和单调不减两种

(2、图象的特点

假如函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左

到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3、函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法:

任取xl,x2回D,且xl

作差f(xl)-f(x2);

变形(通常是因式分解和配方)；

定号(即推断差f(xl)-f(x2)的正负)；

下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数：假如y=f(u)(u回M),u=g(x)(xt3A),则y=f[g(x)]=F(x)(xOA)称为

f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性

亲密相关，其规律：“同增异减〃

留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性

相同的区间和在一起写成其并集.

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9：函数的奇偶性(整体性质)

(1、偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有fbx)=f(x),

那么f(x)就叫做偶函数.

(2、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=—f(x),

那么f(x)就叫做奇函数.

(3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义推断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并推断其是否关于原点对称;若是不

对称，则是非奇非偶的函数;若对称，则进行下面推断；

b、确定f(-x)与f(x)的关系；

c、作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=O,则f(x)是偶函数;

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=O,则f(x)是奇函数.

(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

a>复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

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留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶

函数.若对称，

(1)再依据定义判定；

(2)由f(-x)±f(x)=O或f(x)/f(-x)=±l来判定；

(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数最值及性质的应用

(1、函数的最值

a利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

b利用图象求函数的(小)值

c利用函数单调性的推断函数的(小)值：

假如函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递

减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

假如函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递

增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

(2、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

(3、推断模糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区

分在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

⑷肯定值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求

最值。

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⑸在推断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,

但是f(0)=0并不肯定可以推断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇

函数f(0)=0)。

高一数学学问点总结2

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，假如按某个确定的

对应关系f,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有确定

的数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为集合A到集合B的一个函数，

记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫

作函数的定义域；

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在

数学中是函数在定义域中应变量全部值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换

元法;⑹反函数法(逆求法);⑺判别式法;⑻复合函数法;⑼三角代换

法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本"元件"。平常数

学中，实行"定义域优先〃的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，

在强化定义域问题的同时一，往往就减弱或谈化了，对值域问题的探究,

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造成了一手“硬〃一手"软〃，使同学对函数的把握时好时坏，事实上,

定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者

随时处于相互转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相

互转化）。假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是简

单的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联系函数的奇

偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值状况。才能获得正

确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实

践证明，假如加强了对值域求法的讨论和争论，有利于对定义域内函

的理解，从而深化对函数本质的熟悉。

“范围"与"值域"相同吗?

“范围〃与“值域〃是我们在学习中常常遇到的两个概念，很多同学

经常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域〃是全部函

数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而"范围”则

只是满意某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不肯定都满

意这个条件）。也就是说：“值域〃是一个"范围〃，而“范围”却不肯定是

“值域"。

高一数学学问点总结3

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特别状

况，不要遗忘了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽视是空集的状况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗？

4.简洁命题与复合命题有什么区分？四种命题之间的相互关系是

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什么？如何推断充分与必要条件？

5.你知道"否命题"与"命题的否定形式”的区分.

6.求解与函数有关的问题易忽视定义域优先的原则.

7.推断函数奇偶性时一，易忽视检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽视标注该函

数的定义域.

9.原函数在区间卜a,a］上单调递增，则肯定存在反函数，且反函数

也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不肯定单调.例如：.

10.你娴熟地把握了函数单调性的证明方法吗?定义法（取值，作差,

判正负）和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“国〃

和“或〃；单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必需先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题？①比较函数值的大

小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本

应用你把握了吗？

14.解对数函数问题时，你留意到真数与底数的限制条件了吗？

（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需争论

15.三个二次（哪三个二次?）的关系及应用把握了吗？如何利用二

次函数求最值？

16.用换元法解题时易忽视换元前后的等价性，易忽视参数的范

围。

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"."实系数一元二次方程有实数解〃转化时一，你是否留意到：当时,

“方程有解〃不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或

二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形？

18.利用均值不等式求最值时，你是否留意到："一正;二定;三等〃.

19.肯定值不等式的解法及其几何意义是什么？

20.解分式不等式应留意什么问题?用“根轴法〃解整式（分式）不等

式的留意事项是什么？

21.解含参数不等式的通法是"定义域为前提，函数的单调性为基

础，分类争论是关键〃，留意解完之后要写上：“综上，原不等式的解

集是……〃.

22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果肯定要用集合

或区间表示;不能用不等式表示.

23.两个不等式相乘时，必需留意同向同正时才能相乘，即同向同

正可乘;同时要留意"同号可倒"即abO,a0.

24.解决一些等比数列的前项和问题，你留意到要对公比及两种

状况进行争论了吗？

25在"已知，求〃的问题中，你在利用公式时留意到了吗?（时,应有）

需要验证，有些题目通项是分段函数。

26.你知道存在的条件吗?（你理解数列、有穷数列、无穷数列的概

念吗?你知道无穷数列的前项和与全部项的和的不同吗？什么样的无

穷等比数列的全部项的和必定存在？

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?（数列是

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特别函数，但其定义域中的值