第21讲 探索三角形相似的条件及证明（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第21讲探索三角形相似的条件及证明1.相似三角形的概念.2.相似三角形的判定定理.3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）考点1：利用两角相等证明相似例1．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：．例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．例3．如图，在中，，且，．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．例4．如图，在中，，于D．求证：．例5．如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：（1）；（2）．考点2：利用两边对应成比例及其夹角相等证明相似例6．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？例7．如图，P是的边上的一点．（1）如果，与是否相似？为什么？（2）如果，与是否相似？为什么？如果呢？例8．已知：D、E是的边、上的点，，求证：．例9．如图，在中，，D是边上一点，．求证．考点3：利用三边对应成比例证明相似例10．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：（1），，∠A=40°，，；（2），，，，，．例11．如图，．（1）求，，的值；（2）证明与相似．例12．如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？例13．如图，已知．求证：．考点4：相似的传递性例14．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．(1)求证：(2)，．考点5：添加一个条件证明相似例15．如图，已知，相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可）例16．如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是_________．（写出一个即可）例17．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝_________时，△ABC与△DEF相似．例18．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．例19．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（

）A． B． C． D．例20．如图，要使，需要具备的条件是（

）A． B．C． D．考点6：判断三角形相似例21．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（）A．B．C．D．例22．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（

）A． B．C． D．例23．和符合下列条件，其中使与不相似的是（

）A．，，B．，，，，，C．，，，，D．，，，，，考点7：三角形相似有关比例变形式例24．如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点8：三角形相似的证明综合题例25．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：

(1)；(2)．例26．如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．(1)求的度数；(2)如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．①证明：；②证明：．一、单选题1．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．2．（2015·湖北荆州·统考中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．二、填空题3．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．三、解答题4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．5．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．一、单选题1．下列能判定的条件是(

)A． B．且C．且 D．且2．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（

）A．AB∥CD B．C． D．3．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A． B． C． D．4．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（

）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列说法中，正确的是（

）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.6．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（

）A． B．平分C． D．7．含角的直角三角板与含角的直角三角板如图放置，它们的斜边与斜边相交于点E．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：．证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴．A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤9．如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（）A． B．C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题11．如图，已知，则_______，理由是______．12．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．13．的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定”“一定不”）相似14．如图，若，则．15．如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是________（写出一个即可）．16．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是_______．(填序号)17．如图，在中，，则图中相似三角形共有______对．18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度三、解答题19．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：（l），，，，，；（2），，，，，．20．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？21．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．22．如图，在中，，，，．（1）求证：∽；（2）求的长度．23．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．24．如图，在四边形中，，，．求证：∽．25．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．26．如图1，在中，，将线