2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 阶段综合提升 第2课 导数在研究函数中的应用（教师用书）教案 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用阶段综合提升第2课导数在研究函数中的应用（教师用书）教案新人教A版选修1-1主备人备课成员教学内容本节课的教学内容来自新人教A版选修1-1《高中数学》第3章“导数及其应用”的阶段综合提升部分，第2课“导数在研究函数中的应用”。课程主要围绕导数的基本概念、求导法则以及导数在研究函数性质中的应用展开。具体内容包括：

1.导数的定义与性质：利用极限的概念引入导数的定义，探讨导数的几何意义，以及导数的计算法则。

2.求导法则：主要包括幂函数、指数函数、对数函数及其它常见函数的求导法则。

3.导数在研究函数中的应用：主要包括导数判断函数的单调性、极值以及最大值和最小值问题。

4.实例分析：通过具体例子，让学生掌握导数的基本运算，以及如何利用导数研究函数的性质。

5.练习题：针对本节课的内容，设计一些具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。具体包括：

1.数学抽象：通过对导数概念的学习，让学生理解导数的基本含义和几何意义，提高从具体问题中抽象出数学模型的能力。

2.逻辑推理：通过对导数性质和求导法则的探讨，培养学生运用逻辑推理方法分析和解决问题的能力。

3.数学建模：学会利用导数研究函数的单调性、极值等性质，培养学生将现实问题转化为数学模型并进行分析的能力。

4.数学运算：掌握导数的计算方法，提高学生进行数学运算的能力，为解决实际问题奠定基础。重点难点及解决办法1.重点：导数的定义与性质、求导法则、导数在研究函数中的应用。

解决办法：通过具体例子和练习题，让学生多次实践，加深对导数概念和性质的理解，同时引导学生运用归纳总结的方法掌握求导法则。

2.难点：导数在研究函数性质中的应用，如判断单调性、求极值等。

解决办法：通过实际例题，让学生学会如何运用导数判断函数的单调性，求函数的极值，同时引导学生运用数形结合的思想方法，将导数与函数图像相结合，更直观地理解导数在研究函数性质中的作用。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教A版选修1-1》高中数学第3章“导数及其应用”的阶段综合提升部分，第2课“导数在研究函数中的应用”的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些函数图像和导数的图形表示，以帮助学生更直观地理解导数的概念和性质。此外，还可以准备一些求导的例子和练习题的视频讲解，以便学生在课后进行自主学习和复习。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，如果安排了实验课，需要准备一些函数图像的实验器材，如滑轨、小车、尺子等，以让学生通过实验观察和验证导数的概念。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。可以将教室布置成小组合作的形式，设置一些小组讨论区，以便学生能够在课堂上进行分组讨论和合作学习。同时，如果需要进行实验操作，可以设置一些实验操作台，以保证实验课的顺利进行。

5.教学工具：准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等，以便进行课件演示和多媒体教学。同时，准备一些教学辅助工具，如白板、粉笔、黑板等，以便在课堂上进行板书和讲解。

6.网络资源：确保教学过程中可以正常访问网络资源，以便在课堂上进行相关的网络搜索和信息查询。

7.教学反馈表：准备一些教学反馈表，以便在课程结束后收集学生对课程内容的理解情况和教学资源的满意度，以便进行教学反思和改进。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解“导数及其应用”的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习导数的概念、性质和应用等内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确本节课的教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习导数的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入导数学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的导数的基本概念和性质，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为导数的新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解导数的概念、性质和求导法则，结合实例帮助学生理解。

突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕导数在研究函数中的应用问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验导数知识的应用，提高实践能力。

在导数新课呈现结束后，对导数知识点进行梳理和总结。

强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对导数知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决导数问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与导数内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合导数内容，引导学生思考导数在现实生活中的应用，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习导数的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的导数的概念、性质和应用等内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的导数内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。教学资源拓展（一）拓展资源

1.导数基本概念与性质的深入探讨：可以引导学生阅读《数学年鉴》或《数学分析》等相关书籍，以加深对导数基本概念和性质的理解。

2.数学杂志与期刊：推荐学生阅读《数学通报》、《数学进展》等数学专业杂志，以了解导数及相关领域的最新研究动态和应用案例。

3.网络学术资源：鼓励学生访问国内外数学学术网站，如“数学arXiv”、“MathOverflow”等，以获取最新的学术研究成果和讨论。

4.数学软件与工具：学生可以利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行导数的计算和图像绘制，以加深对导数应用的理解。

5.数学竞赛与挑战：鼓励学生参加数学竞赛或在线数学挑战，如“美国数学竞赛”（AMC）等，以提高解决实际问题的能力。

（二）拓展建议

1.导数与微积分：引导学生学习微积分的基本概念和定理，如微分方程、积分等，以建立对导数更全面的理解。

2.导数在物理中的应用：介绍导数在物理学中的运用，如速度、加速度的计算，以及导数在研究物理系统变化规律中的应用。

3.导数在经济与管理中的应用：探讨导数在经济学中的运用，如边际分析、最优化问题，以及导数在管理决策中的作用。

4.导数与几何学：引导学生研究导数在几何学中的应用，如曲线的切线和法线，以及曲率的概念。

5.导数的编程实践：建议学生学习编程语言（如Python、C++等），并尝试编写程序来实现导数的计算和应用。

6.数学史与故事：引导学生阅读有关导数历史和数学家的故事，以了解导数的发展过程和其在数学史上的重要地位。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了导数的基本概念、性质和求导法则，重点掌握了导数在研究函数中的应用，包括判断函数的单调性、求极值等问题。通过实例分析和练习，同学们应该已经了解了导数在解决实际问题中的重要性。希望同学们能够通过练习题和课后作业，进一步巩固所学知识，并能够在生活中发现和应用导数。

当堂检测：

1.填空题：

（1）函数f(x)在点x=a处的导数记为f'(a)，则f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的______。

（2）若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f'(x)在区间（a，b）内的符号为______。

（3）函数f(x)=x^2在点x=1处的导数为______。

2.选择题：

（1）下列函数中，哪个函数在点x=0处的导数为1？

A.f(x)=x

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

（2）已知函数f(x)在点x=1处的导数为0，且f(1)=1，则函数f(x)在区间（0，2）内的________。

A.单调递增

B.单调递减

C.存在极值

D.无法确定

3.解答题：

（1）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)。

（2）判断函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间（0，1）内的单调性。

（3）已知函数f(x)=e^x在点x=0处的导数为1，求f'(x)。

请同学们根据所学知识，认真完成当堂检测，以检验自己对导数的理解和掌握程度。重点题型整理1.导数的定义及其几何意义

（1）求函数f(x)=x^2在点x=1处的导数，并解释其几何意义。

答案：f'(1)=2，几何意义为在点x=1处的切线斜率为2。

（2）求函数f(x)=lnx在点x=2处的导数，并解释其几何意义。

答案：f'(2)=1/2，几何意义为在点x=2处的切线斜率为1/2。

2.导数的四则运算法则

（1）已知函数f(x)=x^2-2x+1和g(x)=x^3，求(f+g)(x)和(f-g)(x)的导数。

答案：

(f+g)(x)=x^2-2x+1+x^3，求导后得(f+g)(x)=2x^2+3x^2=5x^2

(f-g)(x)=x^2-2x+1-x^3，求导后得(f-g)(x)=2x^2-3x^2=-x^2

（2）已知函数f(x)=x^2-2x+1和g(x)=x^3，求(f*g)(x)的导数。

答案：

(f*g)(x)=x^2-2x+1*x^3=x^5-2x^4+1x^3，求导后得(f*g)(x)=5x^4-8x^4+3x^3=0

3.反函数的导数

（1）已知函数f(x)=x^2，求其反函数f^(-1)(x)的导数。

答案：

f^(-1)(x)=±√x，求导后得f^(-1)(x)=1/2√x

（2）已知函数f(x)=lnx，求其反函数f^(-1)(x)的导数。

答案：

f^(-1)(x)=e^x，求导后得f^(-1)(x)=1

4.复合函数的求导

（1）已知函数u(x)=x^2-2x+1，求复合函数y=f(u(x))=u^2(x)的导数。

答案：

y=u^2(x)，求导后得y'=2u(x)*u'(x)=2(x^2-2x+1)*1=2x^2-4x+2

（2）已知函数u(x)=x^2-2x+1，求复合函数y=f(u(x))=√u(x)的导数。

答案：

y=√u(x)，求导后得y'=1/(2√u(x))*u'(x)=1/(2√(x^2-2x+1))*(2x-2)=1/(2x-2)

5.隐函数的求导

（1）已知函数f(x)=x^2-2x+1和g(x)=x^3-3x^2+2x+1，求隐函数y=f(x)-g(x)的导数。

答案：

y=f(x)-g(x)=(x^2-2x+1)-(x^3-3x^2+2x+1)=-x^3+x^2-x+1，求导后得y'=-3x^2+2x-1教学反思与总结这节课，我们学习了导数的基本概念、性质和应用，通过实例分析和练习，同学们应该已经了解了导数在解决实际问题中的重要性。在教学过程中，我采用了讲解和练习相结合的方式，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，运用导数的概念和性质来解决问题。通过小组讨论和互动探究，同学们表现出了较高的学习积极性，能够主动参与课堂讨论，提出自己的观点和疑问。

在教学过程中，我发现学生们在理解导数的几何意义方面存在一定的困难，对于导数在研究函数性质中的应用，如判断函数的单调性和求极值等，需要更多的实例和练习来加深理解。在今后的教学中，我计划增加更多的实际例子，让学生通过观察函数图像和切线斜率的变化，来更直观地理解导数的几何意义。

在教学管理方面，我采用了小组合作学习的方式，鼓励学生们积极参与讨论和解决问题。我发现这种方式有助于提高学生的学习兴趣和合作精神，但也存在一些问题，如个别学生不愿意参与讨论，或者讨论过程中出现一些混乱。在今后的教学中，我计划更加注重课堂纪律的管理，确保每个学生都能积极参与到学习中。

总体来说，这节课的教学效果较好，学生们在知识、技能和情感态度等方面都有所收获。通过这节课的学习，学生们应该已经掌握了导数的基本概念、性质和应用，能够运用导数来解决实际问题。在今后的教学中，我将继续改进教学方法和策略，提高教学效果，同时注重学生的情感态度培养，激发学生的学习兴趣和主动性。板书设计1.导数的定义与性质

-导数的定义：导数是函数在某一点变化率的极限

-导数的性质：导数反映了函数在某一点的斜率

2.求导法则