第02讲 菱形的判定、判定与性质综合（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第02讲菱形的判定、判定与性质综合掌握菱形的判定定理学会利用菱形的判定与性质综合解题菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.考点一：菱形的判定例1．在下列条件中，能够判定为菱形的是（

）A． B． C． D．例2．如图，添加下列条件不能判定是菱形的是（

）.A． B． C．平分 D．例3．下列条件中能判断四边形是菱形的是（

）A．对角线互相垂直 B．对角线互相垂直且平分C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分例4．如图所示，四边形，当，时，再下列选项中，添加一个条件，使得四边形是菱形的是（

）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．有一个内角是直角例5．在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(

)A． B． C． D．例6．在平行四边形的对角线与相交于点O，，，，则四边形（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形例7．如图，在中，对角线、交于点O，请添加一个条件：____________，使平行四边形为菱形（不添加任何辅助线）．例8．如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（

）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形考点二：利用菱形的判定与性质求长度、角度、面积例9．如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（

）A． B． C． D．例10．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接，若，，则的长为（

）A． B． C． D．例11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（）A． B．四边形面积不变C． D．四边形周长不变例12．如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（

）个．A．4 B．3 C．2 D．1考点三：利用菱形的判定与性质解答证明例13．如图，在中，，为的中点，，，交于点，连结，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则四边形的面积是________．例14．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．(1)判断四边形的形状，并进行证明；(2)若，，求四边形的面积．例15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，，．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．例16．如图，的对角线，相交于点，点作的垂线，与，分别相文于点，，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，的面积是2，求的面积．例17．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，过点B作，，连接，，，线段交于点H．(1)若，求证：四边形为菱形；(2)在（1）问的基础上，若，，求四边形的面积．一、单选题1．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（

）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形2．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（

）A．4 B． C．2 D．3．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E．若，，则的值为（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．5．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F．(1)求证：；(2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．一、单选题1．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（

）A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直2．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（

）A．2 B．4 C． D．3．如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是A． B． C． D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（

）A．6 B．12 C．24 D．485．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（

）A． B． C． D．6．如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．57．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（

）．A． B． C． D．8．在中，，，，点D（不与C重合）是线段上的动点，将沿翻折得，当时，四边形的面积为（

）A． B． C． D．9．已知菱形在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，点是对角线上的一个动点，，当最短时，点的坐标为（）A． B． C． D．10．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形．12．若▱ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是________．13．四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件_____．14．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为_____，面积为_____．16．如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．17．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为______．18．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是______（请填写正确的序号）三、解答题19．已知：如图，在中，，O为垂足．求证：是菱形．20．如图，四边形的对角线与交于点，若，，(1)求证：四边形是平行四边形(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件，使四边形是菱形21．如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是菱形．22．如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．23．如图，线段，D是线段AC上一点，连接DE交AB于点F，若AF＝BF，求证：(1)DF=EF；(2)连接AE，BD，若△ABC是等边三角形∠E=30°，求证：四边形ADBE是菱形．24．如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．25．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别在，上，连接，，，．(1)求证：；(2)若，求菱形的周长．26．已知在