吉林省BEST学校联合体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

吉林省“BEST合作体”2023—2024学年度下学期期末考试高二数学试题本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟，考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷客观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的．1.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设集合是4与6的公倍数，，则（）A. B. C. D.3.已知，则的最小值为（）A.8 B.10 C.12 D.144.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数是（）A. B.C. D.5.设等差数列的公差为，前项和为，若，则（）A. B. C.1 D.26.已知函数则下列说法正确的是（）A.是上增函数 B.的值域为C.单调递减 D.若关于的方程恰有一个实根，则7.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.8.已知，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（）A.函数的一个周期是B.函数的一个周期是C.若，则D.若当时，，则当时，11.已知数列满足，，则（）A.是递减数列 B.C D.第Ⅱ卷主观题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．12.若，则__________.13.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则________14.已知集合，A是M子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为_______．四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.15.已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.已知函数．（1）若，求在上的最值；（2）若在R上单调递减，求a的值．17.医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．（1）求k的值；（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）18.对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．（1）求的值：（2）若，求数列的前项和（3）对互不相等质数，证明：，并求的值．19.已知函数在上的极小值点从小到大排列成数列，函数．（1）求在处的切线方程；（2）求的通项公式；（3）讨论的零点个数．

吉林省“BEST合作体”2023—2024学年度下学期期末考试高二数学试题本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为120分钟，考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷客观题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的．1.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】由，即，得到或，所以得不出，当时，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：A.2.设集合是4与6的公倍数，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可.【详解】由题意可知：，显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B.3.已知，则的最小值为（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】将变为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】因为,,当且仅当，即时取得等号，即的最小值为12，故选：C4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】选项A，对求导，得到，即可求解；选项B，利用奇函数的判断方法，可得为奇函数，再对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C，因为的定义域为，不具有奇偶性，即可求解；选项D，利用的性质即可求解.【详解】对于选项A，易知函数的定义域为，又在上恒成立，得到的减区间为，，所以选项A错误，对于选项B，由，得到，关于原点对称，又，所以为奇函数，又，得到在区间上恒成立，即在其定义域上是增函数，所以选项B正确，对于选项C，因为的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以选项C错误，对于选项D，由性质知，在其定义域上不具有单调性，所以选项D错误，故选：B.5.设等差数列的公差为，前项和为，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据等差数列下标和性质以及的公式计算出，然后计算公差。【详解】，故。故选：C6.已知函数则下列说法正确的是（）A.是上的增函数 B.的值域为C.单调递减 D.若关于的方程恰有一个实根，则【答案】D【解析】【分析】利用基本函数图象，作出的图象，由图知的增区间为，，值域为，即可判断出选项A，B和C的正误，选项D，将方程恰有一个解转化成与的图象只有一个交点，再数形结合，即可求出结果.【详解】因为，其图象如图所示，对于选项A，由图知，时，，所以选项A错误，对于选项B，由图知，当时，，所以选项B错误，对于选项C，由图知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以选项C错误，对于选项D，由，得到，令，，因为关于的方程恰有一个实根，所以与的图象恰有一个交点，由图知，故选：D.7.若，，，则正数大小关系是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.【详解】由，则为与交点的横坐标，由，则为与交点的横坐标，由，即，则为与交点的横坐标，作出，，，的图象如下所示，由图可知，.故选：B8.已知，，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】令，根据题设，将问题转化成为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，再利用与互为反函数，再结合图象，即可求出结果.【详解】由，得到，令，得到所以为函数与交点的横坐标，由，得到，所以为函数与交点的横坐标，又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称，又关于对称，由，得到，所以，得到，故选：C.关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成求函数与交点的横坐标及与交点的横坐标之和，再利用与互为反函数，即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】分析】根据求导公式计算判断各选项.【详解】因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确.故选：BD10.已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（）A.函数的一个周期是B.函数的一个周期是C.若，则D.若当时，，则当时，【答案】BCD【解析】【分析】选项A，根据条件得到，，即可求解；选项B，根据条件得到，即可求解；选项C，利用选项A和B，可得，再求出，即可求解；选项D，利用选项C中结果，结合条件得到，即可求解.【详解】对于选项A，因为为奇函数，所以，令，得到，即有，故可得，又为偶函数，所以，即有，所以，得到，所以，即函数的一个周期是，所以选项A错误，对于选项B，因为为奇函数，所以，又，所以，即，所以函数的一个周期是，所以选项B正确，对于选项C，由选项A和B知，，又，，所以，故选项C正确，对于选项D，因为当时，，所以当时，，所以，所以选项D正确，故选：BCD.11.已知数列满足，，则（）A.是递减数列 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据已知条件，判断出，即可判断数列的单调性，进而判断A；将表示为，再根据即可判断B；根据将表示为再根据有判断C；由，得，化为即可判断D.【详解】对于A：易知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故A错误；对于B：由选项A的判断知，所以，由，得，所以，，即，故B正确；对于C：由，得，则所以，故C错误；对于D：由，得，即，所以，故D正确.故选：BD第Ⅱ卷主观题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．12若，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据指数与对数的互化可得，结合对数的换底公式和运算性质即可求解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：1.13.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则________【答案】##【解析】【分析】利用函数的周期性结合奇偶性可求出答案.【详解】因为，所以函数的周期，所以，又为偶函数，所以，所以.故答案为：.14.已知集合，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为_______．【答案】1895【解析】【详解】解析：先构造抽屉：．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A，可从集合M中去掉前100个抽屉中的数，剩下个数，作为第101个抽屉．现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A，于是，满足A包含于M，且当时，．所以的最大值为．故答案为：1895.四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.15.已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于的方程，解出值即可；（2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可.【小问1详解】设数列的公差为，由已知有，即，解得（舍），，；【小问2详解】，.16.已知函数．（1）若，求在上的最值；（2）若在R上单调递减，求a的值．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由时，可得，则，当时，；当时，；当时，，所以函数在单调递增，在上单调递减，在单调递增，又由，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.【小问2详解】解：由函数，可得，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，则满足，整理得且，解得.17.医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．（1）求k的值；（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）；（3）可以.【解析】【分析】（1）把，代入计算即得.（2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得.（3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得.【小问1详解】依题意，，解得，所以k的值为.【小问2详解】血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为．由，得，两边取对数得：，解得，所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持.【小问3详解】设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，则，由，得，即，两边取对数得：，解得，又，所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持．18.对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．（1）求的值：（2）若，求数列的前项和（3）对互不相等的质数，证明：，并求的值．【答案】（1）（2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）先找出的所有正因数，再根据题设定义，即可求解；（2）由题设定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法，即可求出结果；（3）先分别求出及的正因数，由丰度指数的定义，证明，再利用结论求解即可.【小问1详解】因为的所有正因数为，所以，得到.【小问2详解】因为共有个正因数，它们为，所以，得到，所以，令①，则②，由①②得到，所以，故.【小问3详解】因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，的正因数均为个，分别为和，的正因数有个，分别为，所以，，因为，所以.方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．19.已知函数在上的极小值点从小到大排列成数列，函数．（1）求在处切线方程；（2）求的通项公式；（3）讨论的零点个数．【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数几何意义，即可求解；（2）使用导数判断的单调性，再得到全部的极小值点，即可求解；（3）构造，然后考虑在上的零点个数，再利用是偶函数得到的零点个数，最后利用和零点个数相等，即可求解.【小