重难培优07截面问题（原卷版）

重难培优07立体几何的截面问题作截面的三种常用方法：作截面的三种常用方法：1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。2.延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。题型一 判断截面形状1．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（

）

A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形2．已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（

）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形4．在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形5．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（

）A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形题型二 作出截面形状7．四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）.8．四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面（图）.9．作出过三点的截面，其中为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）．(1)

(2)

10．单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？11．如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；12．如图，在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点．判断下列结论是否成立，并说明理由．(1)CM与PN是异面直线；(2)；(3)过P、A、C三点的正方体的截面一定是等腰梯形．题型三 截面的周长面积13．如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（

）A． B． C． D．14．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．15．如图，已知正方体的棱长为1，分别是线段上靠近的三等分点．过点作该正方体的截面，试求截面图形的周长和面积．16．正三棱台中，下底面的边长为a，侧棱与底面成角60°，过AB作截面垂直于，求截面面积.17．四棱锥的底面为矩形，，，高，O为底面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面积.题型四 截面切割几何体的体积18．在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（

）A． B． C． D．19．已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（

）A． B． C． D．20．（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（

）A．截面的形状可能是正三角形B．截面的形状可能是直角梯形C．此截面可以将正方体体积分成1：3D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值21．正三棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且，过B，，E三点作一个截面将棱台分成两部分，求这两部分的体积之比．22．如图，在正方体中，分别为棱的中点.

(1)请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明）(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.23．在如图所示的几何体中，，平面，，，，.(1)证明：平面；(2)过点作一平行于平面的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.题型五 截面的最值问题24．已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（

）A． B． C． D．25．在棱长为2的正方体中，平面，则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以为顶点的锥体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．26．如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为．

27．在三棱锥中，面，且，过作截面交于，则截面的最小面积为（

）A． B． C． D．28．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为29．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．(1)证明截面是矩形；(2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．1．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2．已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（

）A． B． C． D．3．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（

）A． B． C． D．4．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（

）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6．四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（多选）在正方体中，用垂直于的平面截此正方体，则所得截面可能是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形8．如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为

9．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为．10．如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于.11．已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面