浙江省温州市九年级上学期第二次月考数学试题

温州市2022学年第一学期九年级学业水平第二次检测数学试题选择题部分一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，选择正确才给分）1.设正方形的中心为点，在以五个点、、、、为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】不妨设正方形的面积为1．容易知道，以五个点、、、、为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，这样的三角形也有4个，它们的面积都为．所以以五个点、、、、为顶点可以构成个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法．要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种．因此，所求的概率为．2.函数经点．时，x的取值范围为或．m可能为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．【详解】解：∵当时，，∴，∵当，x的取值范围为或，∴或是方程的两个根，∴，∴，∴，∴是函数的对称轴，又∵，x的取值范围为或，∴，∴，∵函数经点，∴，∴，∴，∴，∴，∴m可能取值为1，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．3.中，，，，，连接CD，则CD最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过作且使，连接，根据条件证明，根据相似的性质得出，由于点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于点，然后根据三角形三边的关系得出当与重合时，最大，然后根据勾股定理求出，则可得出长，即的最大值，从而得出的最大值．【详解】解：如图，过作且使，连接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于点，则，在中，，∴，当与不重合时，在中，，当与重合时，，综上所述，，即，∴，∴的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形三边的关系，解题的关键是根据条件，作辅助线构造三角形相似以及作辅助圆找出动点B的运动轨迹．4.点，在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：①当t＋1＜2时，需满足x＝t＋3时的函数值不大于x＝t＋1时的函数值，②当t＋1＞2时，需满足x＝t＋2的函数值不小于x＝t的函数值，分别列出不等式即可得到答案．【详解】∵，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝2，对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，分两种情况：①当t＋1＜2时，需满足x＝t＋3时的函数值不大于x＝t＋1时的函数值，如图：∴，解得t≤0；②当t＋1＞2时，需满足x＝t＋2的函数值不小于x＝t的函数值，如图：∴，解得，综上所述，对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t≤0或，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式．5.已知抛物线交x轴于点，．，是抛物线上两个点．若，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，若a＞0时，抛物线开口向上，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，由于点到对称轴的距离越大，函数值越大，所以y1＞y2＞0；若a＜0时，抛物线开口向下，|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，利用点到对称轴的距离越大，函数值越小得到y1＜y2＜0，从而得到|y1|＞|y2|．【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为A（1，0），B（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，若a＞0时，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴y1＞y2＞0；若a＜0时，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴y1＜y2＜0，∴|y1|＞|y2|．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的对称性以及函数的增减性，理解抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，函数值越大；抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小是解题的关键．6.如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度．【详解】解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴△PHD∽△HBD，∴，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝6，在Rt△ACB中，AB10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴△AHP∽△ACB，∴，即，∴AP＝5，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出∠HDP＝90°．7.如图，已知在正方形ABCD中，连结AC，在AC上截取AE＝AD，作△ADE的外接圆交AB于点F，连结DF交AC于点M，连结EF，下列选项不正确的是（）A.B.AM＝ECC.∠EFB＝∠AFDD.S四边形BCMF＝S四边形ADEF【答案】D【解析】【分析】连接FG，根据正方形的性质得到∠DAF＝∠ADC＝90°，由圆周角定理得到∠DGF＝90°，推出四边形AFGD是矩形，得到DG＝AF，求得＝，故A正确；根据等腰三角形的性质得到∠ADE＝∠AED，等量代换得到∠EFB＝∠AFD，故C正确；推出△DEF是等腰直角三角形，得到DE＝EF，根据全等三角形的性质得到∠AEF=∠ADF=∠CDE，再证明△ADM≌△CDE即可得到，故B正确；连接BE，求得S四边形ADEF＝S△ADE+S△AEF＝S△ADE+S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，由于S四边形BCMF＜S△ABC，得到S四边形BCMF＜S四边形ADEF，故D错误．【详解】解：连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DF是圆的直径，∴∠DGF＝90°，∴四边形AFGD是矩形，∴DG＝AF，∴＝，故A正确；∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AFD＝∠AED，∠BFE＝∠ADE，∴∠EFB＝∠AFD，故C正确；∵DF是圆的直径，∴∠DEF＝90°，∵∠DFE＝∠DAC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝EF，∵∠CDE+∠ADE＝∠AEF+∠AED＝90°，∴∠CDE＝∠EAF，∴△CDE≌△AEF（SAS），∴∠AEF=∠ADF=∠CDE，又∵AD=CD，∠DAM=∠ECD=45°，∴△ADM≌△CDE，∴AM=CE，故B正确；连接BE，∵AE＝BC＝AD，CE＝AF，∠CAF＝∠BCE＝45°，∴△AEF≌△CBE（SAS），∴S四边形ADEF＝S△ADE+S△AEF＝S△ADE+S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，∵S四边形BCMF＜S△ABC，∴S四边形BCMF＜S四边形ADEF，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，正确的作出正方形是解题的关键．8.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解．【详解】解：如图，设交于点，∵是正三角形，，∴∴设过的抛物线解析式为，将点代入，得∴∴抛物线解析式为，∵四边形是正方形，且关于轴对称，∴设，∵在上，∴，解得（舍去）∵，设直线的解析式为，∴∴∴直线的解析式为∵在上，∴的横坐标为代入得∴∴∴阴影部分面积为故选D【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键．9.如图，在矩形ABCD中，，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于，且，即．连接CG，则CG最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于H，证明，得=定值，则点G在射线HF上运动，故当时，CG的值最小，再证，可知，利用等积法求出HE的长即可．【详解】解：如图，作于H，连接HG延长HG交CD于F，作于E，∵四边形ABCD为矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴=定值，∴点G在射线HF上运动，∴当时，CG的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，∵，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴CG的最小值为．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题的关键．10.勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示，延长交于过作于设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB＝，可得AB＝BG＝FG＝AF＝a，再利用相似三角形的性质分别用含的代数式表示，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长交于过作于设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB＝，∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，∴△AKI∽△ACB，∴，∴IK＝，∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝∴AK＝，同理可得：△AEJ∽△BAC，∴，∴AJ＝，同理可得：△ABC∽△HIN，∴，∴，∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握利用相似三角形的性质寻求边与边之间的关系是解题的关键．非选择题部分二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11.A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：如图，据圆上的八个点如同东南西北四个方位及其偏位，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，所以任取三点能构成直角三角形的概率是=，故答案为：．点睛：此题是一个求概率的题目，解题时，首先确定构成的直角三角形在所有三角形中占的比例，根据这个比例即可求出能构成直角三角形的概率．12.已知二次函数的图象过点，，．若点，，也在二次函数的图象上，则，，的大小关系的是______．【答案】【解析】【分析】求出抛物线解析式，把横坐标代入，求出，，的值，比较大小即可．【详解】解：把，，代入得，，解得，抛物线解析式为；把，，分别代入得，；；；则，，的大小关系的是．【点睛】本题考查了求二次函数解析式和比较函数值大小，解题关键是熟练运用待定系数法求出二次函数解析式．13.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解．【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，解得：h＞；当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥，故h的取值范围是h≥．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键．14.如图，已知点E为知形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，延长DE交以CD为直径的半圆于点F，当AE＝20，BE＝15，DF＝24时，则矩形AD边的长为______．【答案】【解析】【分析】如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．求出ET，EH，可得结论．【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，交AB于点T，连接CF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵∠AEB=90°，AE=20，BE=15，

∴AB=，∵ET⊥AB，∴AE•EB=AB•ET，

∴ET==12，

∴AT=DH=，∵CD是直径，

∴∠CFD=90°，

∴CF=，∵∠EDH=∠CDF，∠EHD=∠CFD=90°，

∴△DHE∽△DFC，

∴，∴，∴EH=，∴AD=BC=HT=ET+EH=12+=，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15.如图是一款上铺的收纳挂篮（如图1），其侧截面可看作直角梯形，现有一长方体形状的物体放置在该挂篮中，当物体如图2放置时，AB∥PQ，正方形DMEC为露出挂篮部分，此时，当物体如图3放置时，与Q重合，四边形为露出挂篮部分，此时，且，则到PQ的距离为___．【答案】（＋40）cm【解析】【分析】过点N作NG⊥A′D′于G，过点D′作D′H⊥PQ于H，交MN于T，过点A′作A′K⊥D′H于K，利用正方形面积和梯形面积求得：C′D′=CD=A′Q=20cm，C′N=8cm，D′F=12cm，MF=C′N=8cm，运用勾股定理求得FN=4cm，再根据△D′FT∽△NFG，△A′FM∽△NFG，即可求得答案．【详解】解：∵S正方形DMEC=400cm2，

∴CD=DM=AB=20cm，

∴C′D′=CD=A′Q=20cm，

∵S四边形D′C′NF=200cm2，D′F=C′N，

∴×（D′F+C′N）×C′D′=200，

即×C′N×20=200，

∴C′N=8cm，

∴D′F=12cm，

∴MF=C′N=8cm，

过点N作NG⊥A′D′于G，过点D′作D′H⊥PQ于H，交MN于T，

过点A′作A′K⊥D′H于K，

则D′G=C′N=8cm，FG=4cm，NG=20cm，

∴，

∵∠NFG=∠D′FT，∠D′TF=∠NGF=90°，

∴△D′FT∽△NFG，

∴，即，

∴D′T=，

∵∠NFG=∠A′FM，∠NGF=∠M=90°，

∴△A′FM∽△NFG，

∴，即，

∴A′M=40，A′F=，

∵∠M=∠P=∠FA′Q=90°，

∴∠MA′F+∠QA′P=∠QA′P+∠A′QP=90°，

∴∠MA′F=∠A′QP，

∴△A′FM∽△QA′P，

∴∴，

∴A′P=，

∵四边形A′PHK、A′KTM为矩形，

∴TK=A′M=40，KH=A′P=，

∴D′H=D′T+TK+KH=+40+=（+40）cm，

故答案为：（+40）cm．【点睛】本题考查了矩形性质，正方形和梯形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形和直角三角形．16.在⊙O中，半径为（1）如图1，若B为上一个点（不与A、重合），且的度数为，若为弦的中点，为弦的中点，___________．（2）如图2，若的度数为的度数为度数为，点为弦的中点，点为弦的中点，求线段=___________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）连接，如图，先判断为等腰直角三角形，则，然后根据三角形中位线性质得到的长；（2）连接、，过点作于，如图二，先由圆心角定理得到，，，再利用垂径定理得到，，接着利用含角的直角三角形三边的关系计算出、、、，然后利用勾股定理计算的长．【详解】解：（1）连接，如图所示：∵的度数为，∴，，为等腰直角三角形，，∵为弦的中点，为弦的中点，；（2）如下图，连接、，过点作于，的度数为，的度数为，的度数为，，，，∵，，，，，点为弦的中点，点为弦的中点，，，，，，，∴在中，，中，，∴在中，，，，在中，，即的长为，故答案为，．【点睛】本题考查圆周角定理，涉及到圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线性质和垂径定理以及三角形函数，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．三、解答题（本题共8小题，共80分，无特定要求的解答时需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；（2）①当时，求的值；

②若，求的值（用含的式子表示）；（3）若，且，试比较和的大小．【答案】（1）直线（2）①；②（3）当时，；当时，【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴，计算即可；（2）①将代入，计算即可；②若，则，解方程并根据，即可得出的值．（3）根据题意得到和，作差，结合且，分两种情况讨论的符号确定大小即可得到结论．【小问1详解】解：，抛物线的对称轴为直线；【小问2详解】解：①当时，；②当时，，，，解得，，，；【小问3详解】解：，，，，，且，，且需分两种情况讨论的符号，当时，，即，；当时，，即，；综上所述，当时，；当时，．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数对称轴、求二次函数自变量及函数值、二次函数与一元二次方程的关系、不等式及比较函数值大小等知识点，熟练掌握二次函数图像上的点的坐标特点及二次函数的图像与性质是解题的关键．18.如图，在中，AB是直径，，C是弧PB上一点，过点C做，垂足是E，交于D，交AP的延长线于点F，连结CA，CB，PC，PD．（1）证明：；（2）若，求β与α满足的关系式；（3）连结AD，若，求．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可证明；（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的性质进行求解即可；（3）根据直径所对的圆周角为直角可得，根据题意可设，则，再根据圆弧所对的圆周角相等得出，再根据含的直角三角形的性质求出，最后根据相似三角形的判定和性质和高相同时两三角形的面积比等于底之比进行求解即可．【小问1详解】连接BC，∵，AB为直径，∴，∴，又∵四边形APCB为的内接四边形，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】连接OP，∵，∴，∴，∵，，∴；【小问3详解】连接PB，∵AB为直径，∴，∵，∴设，则，在中，，由（2）知，∴，∴在中，，又由（1）知，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、含的直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．19.已知抛物线（a，c为常数，）经过点C（0，﹣1），顶点为D．（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；（2）当时，点E（0，3），若，求该抛物线的解析式；（3）将点E（0，3）向左平移4个单位得到点F，连接EF，若抛物线与线段EF恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围．【答案】（1）（1，2）（2）（3）或【解析】【分析】（1）将、C（0，﹣1）代入，即可求解；（2）求出点，由，可得，求出a的值即可确定该抛物线的解析式；（3）分两种情况讨论：当时，函数经过点F时，，解得，可知当时，抛物线与线段EF恰好有一个公共点；当时，若，可有，再由，解得，此时抛物线与线段EF恰好有一个公共点．【小问1详解】解：当时，有，∵抛物线经过点C（0，﹣1），∴，∴，∴该抛物线的顶点D坐标为（1，2）；【小问2详解】∵∵抛物线经过点C（0，﹣1），∴，∴，∴点，∵点E（0，3），∴，，∵，∴解得，∵，∴，∴该抛物线的解析式为；【小问3详解】∵点E（0，3）向左平移4个单位长度，∴点F（4，3），如图1，当时，函数经过点F时，，解得，∴当时，抛物线与线段EF恰好有一个公共点；如图2，当时，若，则，∴，令，解得，此时抛物线与线段EF恰好有一个公共点．综上所述，当或时，抛物线与线段EF恰好有一个公共点．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合、分类讨论的思想分析问题是解题关键．20.如图，是的直径，点C是上一点，，D是直径上一动点，连接并过点D作的垂线，与的其中一个交点记为点E（点E位于直线上方或左侧），连接．已知，设A、D两点间的距离为，D、E两点间的距离为，A、E两点间的距离为．x/cm012344.556y1/cm01.352.213.003.974.504.945.20y2/cm01.101.581.560.953.00小雪根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：（1）照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了与x的几组对应值，请将表格补充完整；（2）在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点，并画出函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当时，的长度约为___________．【答案】（1）0.76，0（2）见解析（3）3.85或5.75．【解析】【分析】（1）当时，延长交于点K，过点C作于G，过点E坐于F，过点O作于H，连接，利用勾股定理可求得，再由，可得出，再证得，求得，即可求得答案；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用（2）中的图象即可得出：当时，即时，满足条件的x的值为或．【小问1详解】如图，延长交于点K，过点C作于G，过点E坐于F，过点O作于H，连接当时，，∴，∵是的直径，∴∵∴，∵∴∴∴在中，在中，∵∴∵∴∴∴∴，即∴，在中，∴∵，∴∴，即∴，∴∴当时，∵，∴，∵∴点D与点G重合，∵∴点E与点A重合，∴故答案为：0.76，0；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象，可得：当时，即时，，∴的长度约为或，故答案为：3.85或5.75．【点睛】本题是圆的综合题，考查了解直角三角形，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，掌握直角三角形30度角的性质，勾股定理，圆的性质是解题的关键．21.如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．（1）求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．（2）求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．【答案】（1）电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米（2）电缆AC形成的抛物线的二次项系数为【解析】【分析】（1）根据题意，作出图形，把题中各个相关线段长度求出来，由跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，得到电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；再根据，利用相似比得到两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米；（2）以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，利用待定系数法设抛物线的解析式为，联立方程即可得到电缆AC形成的抛物线的二次项系数为或，然后检验舍去不符合题意的值即可．【小问1详解】解：连接，过作于，设江面所在直线为，电缆AC下垂的最低点距江面的高度为，如图所示：AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，米，AB的中点为P，米，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，米，塔底B距江面的垂直高度为6米，米，P，D离江面的垂直高度相等，，，跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求，米，电缆最低点与河岸EB的垂直高度米；由题意及图形可知，，即，，解得米，两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）为米；【小问2详解】解：以中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：由（1）知米，米，、，设抛物线的解析式为，则，由②①得，由②①得，将，代入③得，由一元二次方程求根公式解得或，当时，对称轴，故不符合题意，舍去，电缆AC形成的抛物线的二次项系数为．【点睛】本题是一道实际应用问题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，体现了数学来源于生活，服务于生活的本质，灵活使用数形结合是解决问题的关键．22.如图，四边形ABCD内接于，AC为对角线，点B是的中点，过点D作与AB，AC交于点F，G，与交于点E，．（1）求证：．（2）求证：．（3）若．①当时，求BC的长②直接写出的最大值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）①；②9【解析】【分析】（1）连接BD，根据已知条件可得，，进而可得；（2）连接AE，由弦与弧的关系可得，根据，，，可得，进而可得，即可证明；（3）①由四边形ABCD内接于，得出，证明，设，则，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据解方程求解即可；②由①可得BC•DG=CG•AG，进而得出关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【小问1详解】解：如图1，连接BD，，，，∵点是的中点，，，，【小问2详解】如图2，连接AE，，，，，又，，，.【小问3详解】①如图2，，，，∵四边形ABCD内接于，，，，，，，，，即，，，又，，，设，则，由得，由得，，又∵点D是的中点，，，，，，，，，，②由①知：BC•DG=CG•AG，设CD=x，则CG=CD=x，∴AG=6x，∴BC•DG=x•（6x）=（x3）2+9，∴当x=3时，BC•DG有最大值，最大值=9．【点睛】本题考查了与圆有关的定理，相似三角形的判定和性质，求二次函数函数的最值等知识，解决问题的关键是作辅助线，寻找和转化复杂的数量关系．23.如图所示，电脑绣花设计师准备在长120cm，宽8cm的矩形ABCD模板区域内设计绣花方案，现将其划分为区域Ⅰ（2个全等的五边形），区域Ⅱ（2个全等的菱形），区域Ⅲ（正方形EFGH中减去与2个菱形重合的部分），剩余为不刺绣的空白部分：点O是整副图形的对称中心EG∥AB，H，F分别为2个菱形的中心，MH＝2PH，HQ＝2OQ，为了美观，要求MT不超过10cm．若设OQ＝x（cm），x为正整数．（1）用含x的代数式表示区域Ⅲ的面积；（2）当矩形ABCD内区域Ⅰ的面积最小时，图案给人的视觉感最好．求此时MN的长度；（3）区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的刺绣方式各有不同．区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，区域Ⅱ与区域Ⅲ每平方厘米所用的针数分别为a，b针（a，b均为整数，a＞b），区域Ⅲ的面积为正整数．这时整个模板的总针数为12960针，则a+b＝．【答案】（1）x2（cm2）；（2）72cm；（3）5【解析】【分析】（1）由题意根据区域Ⅲ的面积＝正方形EFGH的面积﹣4×△JQH的面积进行分析求解；（2）根据题意构建二次函数，求出自变量的取值范围即可解决问题；（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，由区域Ⅲ的面积＝x2是整数，可得x＝9，由区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，可以假设区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数分别为29k，19k，由区域Ⅱ的面积＝32x2，区域Ⅲ的面积＝x2，设区域Ⅱ的总针数为y．则有＝，可得y＝48k，根据整个模板的总针数为12960针，构建方程求出k，即可解决问题．【详解】解：（1）∵OQ＝x，∴HQ＝2OQ＝2x，OH＝3x，HF＝6x，∴菱形EFGH的面积为18x2（cm2），设EH交MQ于J．∵∠JHQ＝45°，tan∠JQH＝2，HQ＝2x解得这个三角形的面积为：x2（cm2），∴区域Ⅲ的面积为：18x2﹣4×x2＝x2（cm2）．（2）令区域Ⅰ的面积为y，则y＝2×[40（60﹣3x）﹣4x2]＝﹣8x2﹣240x+4800，∴该函数的对称轴为：直线x＝﹣15，∵a＝﹣8＜0，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵，∴7.5≤x＜10，x为正整数，∴x＝8，9，∴当x＝9时，区域Ⅰ面积最小，此时MN＝8x＝72cm．（3）由（2）可知：7.5≤x＜10，∵区域Ⅲ的面积＝x2是整数，∴x＝9，∵区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数之比为29：19，∴可以假设区域Ⅰ与区域Ⅲ所用的总针数分别为29k，19k，∵区域Ⅱ的面积＝32x2，区域Ⅲ的面积＝x2，设区域Ⅱ的总针数为y．则有＝，∴y＝48k，∵整个模板的总针数为12960针，∴29k+48k+19k＝12960，∴k＝135，∴a+b＝＝5．故答案为：5．【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质和菱形的性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意并学会利用参数构建方程解决问题.24.如图，∠BAO=90°，AB=8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP=m．（1）求证：∠BDP=90°．（2）若m=4，求BE的长．（3）在点P的整个运动过程中．①当AF=3CF时，求出所有符合条件的m的值．②当tan∠DBE=时，直接写出△CDP与△BDP面积比．【答案】（1）详见解析；（2）的长为10；（3）m的值为或；与面积比为或．【解析】【分析】由知，再由知、，据此可得，证≌即可得；

易知四边形ABEF是矩形，设，可得，证≌得，在中，由，列方程求解可得答案；

分点C在AF的左侧和右侧两种情况求解：左侧时由知、、，在中，由可得关于m的方程，解之可得；右侧时，由知、、，利用勾股定理求解可得．作于点G，延长GD交BE于点H，由≌知，据此可得，再分点D在矩形内部和外部的情况求解可得．【详解】如图1，，，，、，，，≌，．，，，，，四边形ABEF是矩形，设，则，，，，，≌，，≌，，在中，，即，解得：，的长为10．如图1，当点C在AF的左侧时，，则，，，，在中，由可得，解得：负值舍去；如图2，当点C在AF的右侧时，，，，，，在中，由可得，解得：负值舍去；综上，m的值为或；如图3，过点D作于点G，延长GD交BE于点H，≌，，又，且，，当点D在矩形ABEF的内部时，由可设、，则，，则；如图4，当点D在矩形ABEF的外部时，由可设、，则，，则，综上，与面积比为或．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理、三角形的面积等知识点．选择题25.连续掷两次骰子，出现点数之和等于的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列举出所有情况，看点数之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图所示：

123456111213141516121222324252623132333435363414243444546451525354555656162636465666共有36种等可能的情况，点数之和等于4的情况为13，22，31共3种，于是P（点数之和等于4）=．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法与运用，由于两次实验出现的情况较多，用列表法较好．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26.已知大小一样的矩形和矩形如图1摆放，，现在把矩形绕点A旋转，如图2，交于点M，交于点N，若，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设与交于点H，由已知可得、都是等腰直角三角形，由勾股定理可得、的长，从而可求得的长．【详解】设与交于点H，如图，∵四边形、四边形都是矩形，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，同理，是等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，由勾股定理得：，∴．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等腰直角三角形是问题的关键．27.图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是（）A.4 B.6 C.4﹣2 D.10﹣4【答案】D【解析】【分析】由于在运动过程中，原点始终在上，则弧的长保持不变，弧所对应的圆周角保持不变，等于，故点在与轴夹角为的射线上运动，顶点的运动轨迹2应是一条线段，且点移动到图中位置最远，然后又慢慢移动到结束，点经过的路程应是线段.【详解】如图3，连接，是直角，为中点，半径，原点始终在上，，，连接，则，，点在与轴夹角为的射线上运动，如图4，，如图5，，总路径为：，故选：.【点睛】本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图像的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解.28.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为CD、BC的中点，把△ADE沿AE翻折得到△AD'E，延长AD'交BC于点G，连接EG，M是AB边上一点，连接FM，把△BMF沿MF翻折，点B的对应点B'恰好落在AG上，则B'D'的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点作于，由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．【详解】解：如图，过点作于，点、分别为、的中点，，，把沿翻折得到△，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，把沿翻折，，，，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，先利用折叠性质和勾股定理求出，在利用相似三角形求出，的长是本题的关键．29.如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间距离为4，∴DE=CF=4，∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，∴PQ∥DE∥CF，∵AD=5，∴,∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，∵,∴，∴，因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；∵CD＝3，∴EF=CD=3，∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，因此当时，对应图像为，即为一条线段；∵∠ABC＝45°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10，∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10x，同理可得，Q2P2=P2B=10x，，因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．30.已知函数y=x+1图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线y交于点A、D．若AB+CD=BC，则k的值为_____．【答案】##0.75【解析】【分析】分类讨论k的正负性是否符合题意，得出k大于0时符合题意，则先求出点C、B坐标，设点A的坐标是(m，n)，过点A作AEx轴于E点，根据相似三角形的性质和轴对称的性质得出关于m、n的方程即可求解．【详解】解：当时，，不符合题意；当时由题意可知符合题意，已知函数y=x+1的图像与x轴、y轴分别交于点C、B，把x=0代入，y=1；y=0代入，x=1；∴B、C的坐标分别是(0，1)、(−1，0)，∴OB=1，OC=1，BC=，设点A的坐标是(m，n)，过点A作AE⊥x轴于E点，∵AEOB，∴△CBO∽△CAE，∴，函数y=x+1的图像与函数y=的图像都关于直线y=−x对称，由对称性可得AB=CD，又∵AB+CD=BC，∴BC=2AB=2CD，AC=3AB∴=，即，解得m=，n=，∴点A的坐标是，∵点A在双曲线y=上，∴k=×=，故答案：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，将距离问题转化为求点的坐标的问题成为解答本题的关键．31.如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．【答案】##【解析】【分析】连接，取中点，连接，求得，点在以为圆心，以为半径的圆上，求得当共线且点在的延长线上时，最大，求解即可．【详解】解：连接，取中点，连接，如下图：∵，中点∴∴点在以为圆心，以为半径的圆上∴当共线且点在的延长线上时，最大延长交于点，如上图：∵△ABC为⊙O的内接等边三角形∴垂直平分，∴∴，∴，∴∴的最大值为故答案为：【点睛】此题考查了圆与内接正三角形的性质，涉及了直角三角形的性质，勾股定理，三角形外心的性质，解题的关键是理解题意，利用性质确定出点的运动轨迹．32.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为（1）求双曲线与抛物线的解析式．（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．【答案】（1），（2）或（3）的最大值是，，，时，随的增大而减小【解析】【分析】（1）根据直线解析式求出点、、的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据抛物线和双曲线解析式求出点、的坐标，然后根据平行于轴的直线上两点间的距离的求法求解即可；（3）分点在、、上三种情况，根据直线、抛物线和双曲线的解析式表示出，再根据二次函数的增减性解答．【小问1详解】解：令，则，解得，令，则，所以，点，，时，，所以，点，设双曲线解析式为，则，解得，所以，双曲线解析式为，点的纵坐标为，，解得，点，抛物线过点、，，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】当时，，整理得，，解得，，点的坐标为或，，解得，点的坐标为，或；【小问3详解】①点在上时，，，随的增大而减小，②点在上时，，，时，有最大值为，时，随的增大而减小，③点在上时，，，由图可知，随的增大而减小，综上所述，的最大值是，，，时，随的增大而减小．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，反比例函数解析式），二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，综合题，但难点不大，（2）要注意点有两个，（3）要注意分情况讨论．33.线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．在如图所示的6×6方格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．②保留作图痕迹．（1）在图1中找出格点D使得四边形为平行四边形；（2）在图2中，在边上作点E，使得．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取格点D，满足，，即可得到答案；（2）取格点，，满足，，，连接交于，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，四边形即为所求作的平行四边形；理由如下：由勾股定理可得：，，∴四边形是平行四边形．【小问2详解】如图，取格点，，满足，，，连接交于，即为所作的点，理由如下：∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练的利用平行四边形的判定与相似三角形的性质进行作图是解本题的关键．34.在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，P是AD延长线上一点，连接BP，CP．（1）如图1，若∠APB＝90°，求证：CD•BD＝AD•PD；（2）如图2，AC＝BC＝3，∠APB＝45°．①若CD＝1，求AD•PD的值；②如图3，M为PB的中点，当点D从点B运动到点C的过程中，直接