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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.对于抛物线,下列说法正确的是()A.开口向下,顶点坐标 B.开口向上,顶点坐标C.开口向下,顶点坐标 D.开口向上,顶点坐标2.如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠ABC=60°,则∠AOC的度数是()A.100° B.110° C.120° D.130°3.下列事件为必然事件的是()A.打开电视机,它正在播广告B.a取任一个实数,代数式a2+1的值都大于0C.明天太阳从西方升起D.抛掷一枚硬币,一定正面朝上4.根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值(其中m>0>n),下列结论正确的()x…0124…y…mkmn…A.abc>0 B.b2﹣4ac<0 C.4a﹣2b+c<0 D.a+b+c<05.如图直角三角板∠ABO=30°,直角项点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数的y1=图象上,顶点B在函数y2=的图象上,则=()A. B. C. D.6.如图,一次函数y=ax+a和二次函数y=ax2的大致图象在同一直角坐标系中可能的是()A. B.C. D.7.如图,△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AED的位置,使得DC∥AB,则∠BAE等于()A.30° B.40° C.50° D.60°8.半径为的圆中,的圆心角所对的弧的长度为()A. B. C. D.9.已知关于的方程(1)(2)(3)(4),其中一元二次方程的个数为()个.A.1 B.2 C.3 D.410.为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率,小明做了大量重复试验.经过统计得到凸面向上的次数为次,凸面向下的次数为次,由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为()A. B. C. D.11.如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则△BEF与△DCB的面积比为()A. B. C. D.12.用配方法解方程,配方后得到的方程是()A. B. C. D.二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H,若AE+CH=6,则BG+DF为_________.14.如图,斜坡长为100米,坡角,现因“改小坡度”工程的需要,将斜坡改造成坡度的斜坡(、、三点在地面的同一条垂线上),那么由点到点下降了_________米(结果保留根号)15.已知:如图,在菱形ABCD中,F为边AB的中点,DF与对角线AC交于点G,过G作GE⊥AD于点E,若AB=2,且∠1=∠2,则下列结论中一定成立的是_____(把所有正确结论的序号都填在横线上).①DF⊥AB;②CG=2GA;③CG=DF+GE;④S四边形BFGC=﹣1.16.某一时刻身高160cm的小王在太阳光下的影长为80cm,此时他身旁的旗杆影长10m,则旗杆高为______.17.一组数据:﹣1,3,2,x,5,它有唯一的众数是3,则这组数据的中位数是__.18.二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____.三、解答题(共78分)19.(8分)如图,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点.抛物线的顶点为C,连结AC.(1)求A,D两点的坐标;(2)点P为该抛物线上一动点(与点A、D不重合),连接PA、PD.①当点P的横坐标为2时,求△PAD的面积;②当∠PDA=∠CAD时,直接写出点P的坐标.20.(8分)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,CD切⊙O于点C,AE⊥CD于点E(1)求证:AC平分∠DAE;(2)若AB=6,BD=2,求CE的长.21.(8分)如图,正方形FGHI各顶点分别在△ABC各边上,AD是△ABC的高,BC=10,AD=6.(1)证明:△AFI∽△ABC;(2)求正方形FGHI的边长.22.(10分)某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况,对报名参加A.跆拳道,B.声乐,C.足球,D.古典舞这四项选修活动的学生(每人必选且只能选修一项)进行抽样调查.并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)本次调查的学生共有人;在扇形统计图中,B所对应的扇形的圆心角的度数是;(2)将条形统计图补充完整;(3)在被调查选修古典舞的学生中有4名团员,其中有1名男生和3名女生,学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率.23.(10分)如图所示,小吴和小黄在玩转盘游戏,准备了两个可以自由转动的转盘甲、乙,每个转盘被分成面积相等的几个扇形区域,并在每个扇形区域内标上数字,游戏规则:同时转动两个转盘,当转盘停止转动后,指针所指扇形区域内的数字之和为4,5或6时,则小吴胜;否则小黄胜.(如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到指针指向某一扇形区域为止)(1)这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由;(2)请你设计一个对双方都公平的游戏规则.24.(10分)阅读下列材料,并完成相应的任务.任务:(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么?依据1:依据2:(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时,托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理:(请写出定理名称).(3)如图(3),四边形ABCD内接于⊙O,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C是弧BD的中点,求AC的长.25.(12分)如图,四边形内接于,是的直径,点在的延长线上,延长交的延长线于点,点是的中点,.(1)求证:是的切线;(2)求证:是等腰三角形;(3)若,,求的值及的长.26.综合与探究如图1,平面直角坐标系中,直线分别与轴、轴交于点,.双曲线与直线交于点.(1)求的值;(2)在图1中以线段为边作矩形,使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上.线段交轴于点.直接写出点,,的坐标;(3)如图2,在(2)题的条件下,已知点是双曲线上的一个动点,过点作轴的平行线分别交线段,于点,.请从下列,两组题中任选一组题作答.我选择组题.A.①当四边形的面积为时,求点的坐标;②在①的条件下,连接,.坐标平面内是否存在点(不与点重合),使以,,为顶点的三角形与全等?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.B.①当四边形成为菱形时,求点的坐标;②在①的条件下,连接,.坐标平面内是否存在点(不与点重合),使以,,为顶点的三角形与全等?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、A【详解】∵抛物线∴a<0,∴开口向下,∴顶点坐标(5,3).故选A.2、C【分析】直接利用圆周角定理求解.【详解】解:∵∠ABC和∠AOC所对的弧为,∠ABC=60°,∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°.故选:C.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.3、B【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可.【详解】解:A、打开电视机,它正在播广告是随机事件;B、∵a2≥0,∴a2+1≥1,∴a取任一个实数,代数式a2+1的值都大于0是必然事件;C、明天太阳从西方升起是不可能事件;D、抛掷一枚硬币,一定正面朝上是随机事件;故选:B.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.注意掌握必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.4、C【分析】用二次函数的图象与性质进行解答即可.【详解】解:如图:由抛物线的对称性可知:(0,m)与(2,m)是对称点,故对称轴为x=1,∴(﹣2,n)与(4,n)是对称点,∴4a﹣2b+c=n<0,故选:C.【点睛】本题考查二次函数图像的性质,熟练运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键.5、D【分析】设AC=a,则OA=2a,OC=a,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标,写出A和B两点的坐标,代入解析式求出k1和k2的值,即可求的值.【详解】设AB与x轴交点为点C,Rt△AOB中,∠B=30°,∠AOB=90°,∴∠OAC=60°,∵AB⊥OC,∴∠ACO=90°,∴∠AOC=30°,设AC=a,则OA=2a,OC=a,∴A(a,a),∵A在函数y1=的图象上,∴k1=a×a=a2,Rt△BOC中,OB=2OC=2a,∴BC==3a,∴B(a,﹣3a),∵B在函数y2=的图象上,∴k2=﹣3a×a=﹣3a2,∴=,故选:D.【点睛】此题考查反比例函数的性质,勾股定理,直角三角形的性质,设AC=a是解题的关键,由此表示出其他的线段求出k1与k2的值,才能求出结果.6、B【分析】根据a的符号分类,当a>0时,在A、B中判断一次函数的图象是否相符;当a<0时,在C、D中判断一次函数的图象是否相符.【详解】解:①当a>0时,二次函数y=ax2的开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限,A错误,B正确;②当a<0时,二次函数y=ax2的开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限,C错误,D错误.故选:B.【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的图象,利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解.7、C【解析】试题分析:∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置,∴∠BAE=∠CAD,AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°."∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°."∴∠BAE=50°.故选C.考点:1.面动旋转问题;2.平行线的性质;3.旋转的性质;4.等腰三角形的性质.8、D【分析】根据弧长公式l=,计算即可.【详解】弧长=,
故选:D.【点睛】本题考查弧长公式,解题的关键是记住弧长公式,属于中考常考题型.9、C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可.【详解】解:(1)ax2+x+1=0中a可能为0,故不是一元二次方程;(2)符合一元二次方程的定义,故是一元二次方程;(3),去括号合并后为,是一元二次方程;(4)x2=0,符合一元二次方程的定义,是一元二次方程;所以是一元二次方程的有三个,
故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程,注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以.10、D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率,根据大量重复试验下,随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案.【详解】∵凸面向上的次数为420次,凸面向下的次数为580次,∴凸面向下的频率为580÷(420+580)=0.58,∵大量重复试验下,随机事件发生的频率可以作为概率的估计值,∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58,故选:D.【点睛】本题考查利用频率估计概率,熟练掌握大量重复试验下,随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键.11、D【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,AB∥CD,根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF,根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,E为AB的中点,∴AB=DC=2BE,AB∥CD,∴△BEF∽△DCF,∴==,∴DF=2BF,=()2=,∴=,∴S△BEF=S△DCF,S△DCB=S△DCF,∴==,故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质,能熟记相似三角形的性质是解此题的关键.12、A【分析】将方程的一次项移到左边,两边加上4变形后,即可得到结果.【详解】解:方程移项得:x2−4x=1,
配方得:x2−4x+4=1,
即(x−2)2=1.
故选A.【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,解题的关键是熟记完全平方公式.二、填空题(每题4分,共24分)13、6【分析】作EM⊥BC,HN⊥AD,易证得,继而证得,利用等量代换即可求得答案.【详解】过E作EM⊥BC于M,过H作HN⊥AD于N,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴,∴,∵四边形ABCD为矩形,且EM⊥BC,HN⊥AD,∴四边形ABME、EMHN、NHCD均为矩形,∴,AE=BM,EN=MH,ND=HC,在和中,∴(HL),∴,∴,故答案为:【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识,灵活运用等量代换是解题的关键.14、【分析】根据直角三角形的性质求出AC,根据余弦的定义求出BC,根据坡度的概念求出CD,结合图形计算,得到答案.【详解】在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴AC=AB=50,BC=AB•cos∠ABC=50,
∵斜坡BD的坡度i=1:5,
∴DC:BC=1:5,
∴DC=10,
则AD=50-10,
故答案为:50-10.【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键.15、①②③【分析】①由四边形ABCD是菱形,得出对角线平分对角,求得∠GAD=∠2,得出AG=GD,AE=ED,由SAS证得△AFG≌△AEG,得出∠AFG=∠AEG=90°,即可得出①正确;②由DF⊥AB,F为边AB的中点,证得AD=BD,证出△ABD为等边三角形,得出∠BAC=∠1=∠2=30°,由AC=2AB•cos∠BAC,AG,求出AC,AG,即可得出②正确;③由勾股定理求出DF,由GE=tan∠2•ED求出GE,即可得出③正确;④由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值,即可得出④不正确.【详解】∵四边形ABCD是菱形,∴∠FAG=∠EAG,AB=AD,BC∥AD,∴∠1=∠GAD.∵∠1=∠2,∴∠GAD=∠2,∴AG=GD.∵GE⊥AD,∴GE垂直平分AD,∴AE=ED.∵F为边AB的中点,∴AF=AE,在△AFG和△AEG中,∵,∴△AFG≌△AEG(SAS),∴∠AFG=∠AEG=90°,∴DF⊥AB,∴①正确;连接BD交AC于点O.∵DF⊥AB,F为边AB的中点,∴AFAB=1,AD=BD.∵AB=AD,∴AD=BD=AB,∴△ABD为等边三角形,∴∠BAD=∠BCD=60°,∴∠BAC=∠1=∠2=30°,∴AC=2AO=2AB•cos∠BAC=2×22,AG,∴CG=AC﹣AG=2,∴CG=2GA,∴②正确;∵GE垂直平分AD,∴EDAD=1,由勾股定理得:DF,GE=tan∠2•ED=tan30°×1,∴DF+GECG,∴③正确;∵∠BAC=∠1=30°,∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半,即为1,FGAG,S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF211,∴④不正确.故答案为:①②③.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题综合性强,有一定难度.16、20m【解析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式,计算即可.【详解】解:设旗杆的高度为xm,根据相同时刻的物高与影长成比例,得到160::10,解得.故答案是:20m.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的性质是解题的关键.17、1【解析】先根据数据的众数确定出x的值,即可得出结论.【详解】∵一组数据:﹣1,1,2,x,5,它有唯一的众数是1,∴x=1,∴此组数据为﹣1,2,1,1,5,∴这组数据的中位数为1.故答案为1.【点睛】本题考查了数据的中位数,众数的确定,掌握中位数和众数的确定方法是解答本题的关键.18、y=2(x+2)2﹣1【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答.【详解】由“左加右减”的原则可知,将二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+2)2,即y=2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=2(x+2)2向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为:y=2(x+2)2﹣1,即y=2(x+2)2﹣1.故答案为:y=2(x+2)2﹣1.【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.三、解答题(共78分)19、(1)A(1,0),D(4,3);(2)①当点P的横坐标为2时,求△PAD的面积;②当∠PDA=∠CAD时,直接写出点P的坐标.【分析】(1)由于A、D是直线直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+6x﹣5的交点,要求两个交点的坐标,需可联立方程组求解;(2)①要求△PAD的面积,可以过P作PE⊥x轴,与AD相交于点E,求得PE,再用△PAE和△PDE的面积和求得结果;②分两种情况解答:过D点作DP∥AC,与抛物线交于点P,求出AC的解析式,进而得PD的解析式,再解PD的解析式与抛物线的解析式联立方程组,便可求得P点坐标;当P点在AD上方时,延长DP与y轴交于F点,过F点作FG∥AC与AD交于点G,则∠CAD=∠FGD=∠PDA,则FG=FD,设F点坐标为(0,m),求出G点的坐标(用m表示),再由FG=FD,列出m的方程,便可求得F点坐标,从而求出DF的解析式,最后解DF的解析式与抛物线的解析式联立的方程组,便可求得P点坐标.【详解】(1)联立方程组,解得,,,∴A(1,0),D(4,3),(2)①过P作PE⊥x轴,与AD相交于点E,∵点P的横坐标为2,∴P(2,3),E(2,1),∴PE=3﹣1=2,∴=3;②过点D作DP∥AC,与抛物线交于点P,则∠PDA=∠CAD,∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴C(3,4),设AC的解析式为:y=kx+b(k≠0),∵A(1,0),∴,∴,∴AC的解析式为:y=2x-2,设DP的解析式为:y=2x+n,把D(4,3)代入,得3=8+n,∴n=-5,∴DP的解析式为:y=2x-5,联立方程组,解得,,,∴此时P(0,-5),当P点在直线AD上方时,延长DP,与y轴交于点F,过F作FG∥AC,FG与AD交于点G,则∠FGD=∠CAD=∠PDA,∴FG=FD,设F(0,m),∵AC的解析式为:y=2x-2,∴FG的解析式为:y=2x+m,联立方程组,解得,,∴G(-m-1,-m-2),∴FG=,FD=,∵FG=FD,∴=,∴m=-5或1,∵F在AD上方,∴m>-1,∴m=1,∴F(0,1),设DF的解析式为:y=qx+1(q≠0),把D(4,3)代入,得4q+1=3,∴q=,∴DF的解析式为:y=x+1,联立方程组∴,,∴此时P点的坐标为(,),综上,P点的坐标为(0,-5)或(,).【点睛】本题是一次函数、二次函数、三角形的综合题,主要考查了一次函数的性质,二次函数的图象与性质,三角形的面积计算,平行线的性质,待定系数法,难度较大,第(2)小题,关键过P作x轴垂线,将所求三角形的面积转化成两个三角形的面积和进行解答;第(3)小题,分两种情况解答,不能漏解,考虑问题要全面.20、(1)见解析;(2)125【解析】(1)连接OC.只要证明AE∥OC即可解决问题;(2)根据角平分线的性质定理可知CE=CF,利用面积法求出CF即可;【详解】(1)证明:连接OC.∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∵∠AEC=90°,∴∠OCD=∠AEC,∴AE∥OC,∴∠EAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OAC,∴AC平分∠DAE.(2)作CF⊥AB于F.在Rt△OCD中,∵OC=3,OD=5,∴CD=4,∵12•OC•CD=12•OD•∴CF=125∵AC平分∠DAE,CE⊥AE,CF⊥AD,∴CE=CF=125【点睛】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质,熟练掌握这些知识点是解答的关键.21、(1)见解析;(2)正方形FGHI的边长是.【分析】(1)由正方形得出,从而得出两组对应相等的角,由相似三角形的判定定理即可得证;(2)由题(1)的结论和AD是的高可得,将各值代入求解即可.【详解】(1)四边形FGHI是正方形,即(两直线平行,同位角相等);(2)设正方形FGHI的边长为x由题(1)得的结论和AD是的高∴,解得故正方形FGHI的边长是.【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理与性质,熟记判定定理和性质是解题关键.22、(1)200、144;(2)补全图形见解析;(3)被选中的2人恰好是1男1女的概率.【分析】(1)由A活动的人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以B活动人数所占比例即可得;
(2)用总人数减去其它活动人数求出C的人数,从而补全图形;
(3)列表得出所有等可能的情况数,找出刚好抽到一男一女的情况数,即可求出所求的概率.【详解】(1)本次调查的学生共有30÷15%=200(人),扇形统计图中,B所对应的扇形的圆心角的度数是360°×=144°,故答案为200、144;(2)C活动人数为200﹣(30+80+20)=70(人),补全图形如下:(3)画树状图为:或列表如下:男女1女2女3男﹣﹣﹣(女,男)(女,男)(女,男)女1(男,女)﹣﹣﹣(女,女)(女,女)女2(男,女)(女,女)﹣﹣﹣(女,女)女3(男,女)(女,女)(女,女)﹣﹣﹣∵共有12种等可能情况,1男1女有6种情况,∴被选中的2人恰好是1男1女的概率.【点睛】本题考查了扇形统计图,条形统计图,树状图等知识点,解题时注意:概率=所求情况数与总情况数之比.23、(1)不公平(2)【解析】解:列表或画树状图正确,转盘甲
转盘乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)和为2
(2,1)和为3
(3,1)和为4
(4,1)和为5
(5,1)和为6
2
(1,2)和为3
(2,2)和为4
(3,2)和为5
(4,2)和为6
(5,2)和为7
3
(1,3)和为4
(2,3)和为5
(3,3)和为6
(4,3)和为7
(5,3)和为8
4
(1,4)和为5
(2,4)和为6
(3,4)和为7
(4,4)和为8
(5,4)和为9
(1)数字之和一共有20种情况,和为4,5或6的共有11种情况,∵P(小吴胜)=>P(小黄胜)=,∴这个游戏不公平;(2)新的游戏规则:和为奇数小吴胜,和为偶数小黄胜.理由:数字和一共有20种情况,和为偶数、奇数的各10种情况,∴P(小吴胜)=P(小黄胜)=.24、(1)同弧所对的圆周角相等;两角分别对应相等的两个三角形相似(2)勾股定理(3)AC=【分析】(1)根据圆周角定理的推论以及三角形相似的判定定理,即可得到答案;(2)根据矩形的性质和托勒密定理,即可得到答案;(3)连接BD,过点C作CE⊥BD于点E.由四边形ABCD内接于⊙O,点C是弧BD的中点,可得∆BCD是底角为30°的等腰三角形,进而得BD=2DE=CD,结合托勒密定理,列出方程,即可求解.【详解】(1)依据1指的是:同弧所对的圆周角相等;依据2指的是:两角分别对应相等的两个三角形相似.故答案是:同弧所对的圆周角相等;两角分别对应相等的两个三角形相似;(2)∵当圆内接四边形ABCD是矩形时,∴AC=BD,BC=AD,AB=CD,∵由托勒密定理得:AC·BD=AB·CD+BC·AD,∴.故答案是:勾股定理;(3)如图,连接BD,过点C作CE⊥BD于点E.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BAD=60°,∴∠BCD=120°,∵点C是弧BD的中点,∴弧BC=弧CD,∴BC=CD,∴∠CBD=30°.在Rt△CDE中,DE=CD·cos30°,∴DE=CD,∴BD=2DE=CD.由托勒密定理得:AC·BD=AB·CD+BC·AD.∴AC·CD=3CD+5CD.∴AC=.【点睛】本题主要考查圆的内接四边形的性质与相似三角形的综合,添加辅助线,构造底角为30°的等腰三角形,是解题的关键.25、(1)见解析;(2)
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