高中数学试题：数列与不等式30大题（有答案）

数列与不等式综合问题30道

1.已知数列｛anJ是等差数列，bn=a1+a：+an(n=1,2,3,…).证明：数列｛、｝是等差数列.

2.己知曲线C:xy=1,me上的点An(xn,yn)作斜率为kn=一一工的直线交曲线C于另一点

An+lGn+lJn+l)，点列｛An｝的横坐标构成数列(xn｝,其中X1=

(1)求Xn与Xn+i的关系式;

(2)令bn=」7+；，求证：数列｛、｝是等比数列；

(3)若Cn=3n—tbn(t为非零整数，n£N+),试确定t的值，使得对任意n6N+，都有Cn+1>

cn成立.

2n+2

3.设n€N*,xn是曲线y=x+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标，

(1)求数列｛Xn｝的通项公式；

(2)记Tn=x：x>-xgn-i，证明：Tn>^.

4.已知数列｛aj满足ax=2an+1-an=1.

(1)求数列｛aQ的通项公式；

(2)证明：ai+az+…+an<1

n

5.已知数列｛a"的前n项和为Sn，点(n,§)在直线y=1x+y±.数列｛、｝满足bn+2-2bn+1+

bn=0(nGN+),b3=11,且其前9项和为153.

(1)求数列｛a。,｛、｝的通项公式.

(2)设Cn=高不：7芯［二，数列&｝的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n6N+都成

立的最大正整数k的值.

6.已知数列｛aj是等比数列，首项a1=l,公比q>0,其前n项和为S1,,且Si+a1，S3+a3,

S2+a2成等差数列.

(I)求数列｛aj的通项公式：

11

(2)若数列｛几｝满足an+1=g)"，Tn为数列也工的前n项和，若Tn2m恒成立，求m的最

大值.

2

7.已知｛a"是正整数组成的数列，a1=1，且点(Va；,an+1)(n6N*)在函数y=x+1的图象上；

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若数列｛bn｝满足bl=1,bn+1=bn+2an,求证：bn-bn+2<b„+1

8.x,y€R+，且xwy,若a,x,y,b依次成等差数列，<:,亡,e9依次成等差数列，试比较a+b与

yx

c+d的大小.

9.已知数列｛aj的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn=(写了.

(1)求an与an_i(n>2)之间的关系式，并求｛an｝的通项公式；

(2)求证：白+止+…+止<2.

31、2%

10.在等比数列｛an｝和等差数列｛bn｝中，ax=bx>0,a3=b3>0,a1*a3,试比较a5和b5的

大小.

11.设数列｛aj的前n项和为Sn，且ai=l,an+1=1+Sn(n6N*).

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若数列｛、｝为等差数列，且bi=a「公差为四.当nN3时，比较%+]与1+瓦+b?+

al

•••+bn的大小.

12.已知数列｛aj中，a1=1,an+1=-^-(neN*).

an+3

(1)求证：｛/+：｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式；

(2)设以=(3厂1)吟间，记其前门项和为1'11,若不等式2时1入<2呀叽+11对一切n€N*

恒成立，求人的取值范围.

13.已知数列｛a"的前n项和为Sn，a1=l,Sn=an+1-3,数列｛、｝的前n项和为丁2点

-1

(an,bQ在函数y=nx图象上.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵求均

(3)试比较Tn和Bn=g—《的大小，并证明.

14.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，非常数等比数列｛、｝的公比是q，且满足：ai=2,瓦=

1,S2=3b2，a2=bg•

⑴求an与bn；

(2)设Cn=2bn-入-3等，若数列｛.｝是递减数列，求实数人的取值范围.

15.某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费

用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？

最小值是多少？

16.是否存在一个等差数列｛a。｝，使件是一个与n无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请

52n

说明理由.

17.函数f(x)=篇,数列｛aj满足a1=1,an+1=f(an),neN\

(1)求证：数列｛2｝是等差数列；

(2)令bn=an_「an(n22),瓦=3,Sn=bx+b2+-+bn,若Sn<比署对一切n6N*成

立，求最小正整数m.

18.已知常数p满足0<p<1,数列—｝满足X]=p+/Xn+1=-2.

⑴求X2，X3,X4；

(2)猜想｛xn｝的通项公式(不用给出证明)；

(3)求证：xn+1>Xn对n£N*成立.

19.设b>0,数列｛aj满足a】=b,an=嗯不。>2).

an_i+n_1

(1)求数列｛an｝的通项公式;

n+1

(2)证明：对于一切正整数n,2an<b+1.

20.已知常数P满足0<P<1,数列｛Xn｝满足X1=P+：Xn+1=-2.

(1)求X2，x3,x4;

(2)猜想｛Xn｝的通项公式，并给出证明；

(3)求证：Xn+1>Xn对n6N*成立.

21.设M=10a2+81a+207,P=a+2,Q=26-2a,若将IgM,IgQ,IgP适当排序后可构成公差

为1的等差数列｛aj的前三项.

(1)求a的值及｛an｝的通项公式；

(2)记函数Kx)=anx2+2an+ix+an+2(neN*)的图象在x轴上截得的线段长为、，设及=

；(趾2+b2b3H---+bn-ibn)(n22),求..

22.己知数列｛aj的首项a1=£an+1=n=1,2,3,-

(1)求证：｛2-1｝是等比数列，并求出｛aQ的通项公式；

(2)证明：对任意的x>0,an1一(二7-x),n=1,2,3

(3)证明：n—gNa1+a2+…+an>

23.在数列｛aj中，a1=1,33^^4-an-=0(n>2).

⑴证明数列｛J是等差数列；

(2)求数列｛aQ的通项；

(3)若入an+-三2人对任意n>2的整数恒成立，求实数A的取值范围.

an+l

24.在数列｛a"中，at=1,3anan_x+an-an_t=0(n>2).

(1)证明：数列｛£｝是等差数列；

(2)求数列｛aQ的通项；

(3)若入an+工2人对任意的整数恒成立，求实数X的取值范围.

an+i

25.已知数列｛a"中，a=1,a=p且="一”而(n=2,3,4,…).

x24n-an

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)求证:对一切neN*,Wa?+a?4---F<-.

6

26.已知数列｛aj满足ax=1,an+1=(n6N*).

(1)证明：数列｛、一,｝为单调递减数列；

(2)记Sn为数列｛lan+1—anl｝的前n项和，证明：Sn<|(nGN*).

x

27.己知a>0,函数f(x)=aecosx(xG[0,+<»)).记xn为f(x)的从小到大的第n(nGN*)个极值

点.

⑴证明:数列｛f(Xn)｝是等比数列;

(2)若对一切neN\xn<|f(xn)l恒成立，求a的取值范围.

28.设数列｛aj的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1,其中a2力0.

(1)求证：｛an｝是首项为1的等比数列；

(2)若求证：Sn<4-an),并给出等号成立的充要条件.

29.设数列｛aj定义为a=a,a=1+--------n>1.

xn+1a1+a2+…

(1)证明：存在正实数a,使得ara2,23成等差数列；

(2)求实数a的取值范围，使得当n32时，0<an<1.

30.已知数列心口｝满足a】=-1,an+1=结吟吧受⑺eN*).

(1)证明：数列｛辞+§是等比数列；

(2)令以=三，数列｛bj的前n项和为Sn，

an+z

(i)证明：bn+1+bn+2+…+b2nV/

(ii)求证：当nN2时,S>2停+日+・・・+沙

数列与不等式30大题答案

1.设｛an｝公差为d,则

n(n-1)'

a1+a2++sn1n—1

bn==-na+~-2-d=ai+d

nnt~2~-

所以bn+i-bn=(a[+]d)—(a[+*d)=Mbj=a1(

根据等差数列的定义，得｛、｝是首项为a「公差为2的等差数列.

2.(1)依题意得：在±0=--L-.

xn+l-xnXn+2

又AnGn，yn)和An+1(xn+1,yn+1)在曲线C:xy=1上，

11

所以Xn.i

Xn+LXnXn+2

所以XnXn+1=Xn+2,即X.i=罕.

xn

1,1_Xn+1

(2)bn-------H——-------------

Xn-233(xn—2)

xn+i++

所以誓=3(xn+i-2)

xn+i•

3(xn-2)

将(1)中的结论代入整理得沪=一2.

所以数列｛bn｝是首项为bl=—=+：=-2,公比q=-2的等比数列.

X1一23

(3)由(2)知bn=(-2)n,要使Cn+T>Cn恒成立,即

n+1n+1nnnn

cn+1-cn=[3-t(-2)]-[3-t(-2)]=2-3+3t(-2)>0.

恒成立,

n—1

©恒成立，

当n为奇数时，t<(|)nT恒成立,

所以t<1.

nr恒成立,

当n为偶数时，t>—1

所以t>—|.

所以-|vtvl,

因为t为非零整数，nGN+

所以t=—1.

3.(1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.

从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).

令y=0,解得切线与X轴交点的横坐标Xn=l-^=忘.

所以数列｛XJ的通项公式Xn=缶.

(2)由题设和(1)中的计算结果知

2

Tn=X?X|-X^n_1记针•••(*;

当n=1时，T]=L

4

z

当n?2时，因为好n_】=(甯)2=嗡声〉-(-2-n---l-)----l=--2-n---2=T，所以

(2n)22n

2

12n-11

X-X-X•••X——

23n4n,

综上可得，对任意的neN*,均有Tn、/.

4.(1)由已知可得2an+i-an=1=2-1,所以2an+i-2=an—1,即2(an+i-1)=an—1,所以

31=5又期=也所以%―1=»1=i

-

an-12

所以数列｛an-1｝是以-T为首项，3为公比的等比数列,

所以an_]=_gxC)nT,所以an=]_(£)n

(2)证明：因为

+

a1+a2+…+an=n—1(1)+…+G)

那><()

n—14-(I)0

所以ai+a#…+a”=1_

nn

因为n是正整数,

n

所以0<住丫<1,所以o<i-ey<i,所以上目

->0,

所以”上%<].

5.(1)由已知得¥='+所以Sn=，2+£n.

当n22时，有

an=Sn-S「i

1_111,11

=2M+彳n-2(n--彳(n-1)

=n+5.

当n=l时，at=Sx=6也符合上式，所以

an=n+5.

由bn+2-2bn+1+bn=0(nGN+)知｛bn｝是等差数列，

9(bi+bg)

由｛bn｝的前9项和为153,可得=9b5=153,得

2

b5=”,

又b3=ll，所以｛、｝的公差d*3.

因为b3=bi+2d,所以bi=5,所以bn=3n+2.

3

(2)Cn—(2n-l)(6n+3)

Tn=21(1/-13+13-15+"'+2^1T_2^T1i)\

=41_^n)，

因为n增大时，又增大，所以｛TJ是递增数列，所以

1

Tn2T1=

所以Tn>捺对一切neN+都成立，只要T1=1>撩即可，解得k<19,所以kmax=18.

6.(1)由题意可知:2(S3+a3)=(Si+aj+(S24-a2),

所以S3—S]+S3-S2=a1+a2-2a3,

即4a=a于是—=q2=-,

3lta14

因为q>0,所以q=g;

因为ai=l,所以an=G)nT.

⑵因为an+1=G「"，

所以®"=所以bn=n-2nT,

所以Tn=lxl+2x2+3x22+…+n-2n-1……①，

所以2Tn=1x2+2x22+3x23+…+n•211……②，

所以①一②得：一耳=1+2+22+…+2n-1-n-2n=i^-n-2n=(l-n)2n-1,

1—2

所以Tn=l+(n-l)2n,

因为Tn2m恒成立，只需(Tn)minNm,

n+1nn

因为Tn+1-Tn=n-2-(n-l)-2=(n+l)-2>0,

所以｛Tn｝为递增数列，所以当n=l时，(Tn)min=l,

所以mWl,所以m的最大值为1.

7.(1)由已知得an+i—an=l,又a1=1,所以数列｛aj是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an=1+(n—1)x1=n.

(2)证法一：由(1)知an=n,从而bn+i-bn=2L

bn=(bn一bn-1)+(bn-i一bn_2)+…+(b2-bl)+bx

=2n-1+2n-2+-2+l

因为

bn-bn+2一畸+1=(2n-l)(2n+2-1)-(2n+1-l)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2.2n+1+1)

=-5-2n+4-2n=-2n<0,

所以bn-bn+2<.

n+1n

证法二：因为b2=l,bn+1-2=bn-2,

n

bn-%+2-%+i=(bn+1-2)(bn+1+2H1)-b^+1

+1nn+1

=2"-bn+1-2-bn+1-2"-2

=2n(bn+1-2n+1)

nn

=2(bn-2)=-

=2n(bl-2)=-2n<0,

所以bn,bn+2VI^n+1,

8.由题意知a+b=x+y,c+d=£+?,所以

(a+b)—(c+d)

=x+y-停+.

x2y+xy2-(x3+y3)

—xy

xy(x+y)—(x+y)(x2-xy+y2)

-xy

(X+y)(x—y)2

-xy•

因为x,yWR+且xHy,

所以x+y>0,xy>0,(x-y)2>0.所以一出里学让<0,所以a+bVc+d.

2

9.(1)v4Sn=(an+l)……①

・•・4S.i=*+1尸……②

・・.由①一②得

a

n-3n-i-2(an+an_1)=0(an+an_x)(an-an_x-2)=0.

an>0,・•・an-an_!=2(n>2).

2

・•・{an)是公差d=2的等差数列.而4al=(a14-1)=>ax=1,an=2n-1.

2

(2)由(1)知sn=吐G尸况=n,

1,11

v~<-----=----*N2),

n2n(n-l)n-1

111

—+—+…+

S；

SiS2

1

=2一—V2.

n

10.设等比数列｛aj的公比是q，等差数列｛bj的公差时d.

由a3=b3及a[=%>0,得a[q2=^+2d=>q2=1+—；

由a1力a?=q2H1,从而d力0.

a$-bg=a1q4—(b1+4d)=(b1+2d)(1+g)-b1-4d=->0.

所以a5>b5.

11.(1)因为an+i=1+Sn，……①

所以当n22时，an=1+Sn-i，……②

由①②两式相减，得an+1—an=an,即an+1=2an(n＞2),

因为当n=l时，a2=1+ax=2,

所以也=2,

ai

所以包±l=2(n€N*).

an

所以数列｛a"是首项为1,公比为2的等比数列，

所以an=2nT.

(2)因为bn=l+(n-l)x2=2n-l,

2

所以bn+1=2n+1,1+bi+b2+…+0=1+N"：。=n+1,

因为(n2+1)—(2n+1)=n(n-2),

由nN3,得n(n—2)>0,

所以当n之3时，bn+1<1+bi+b?+…+、.

12.(1)证明：因为数列｛aj中，al,a=^-(nGN*)，

1=n+1an+3

所以上+：=3(工+9，

an+i2Van2)

又所以左+斗是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以工+：=:X3nT=9，

an222

所以an=/彳

(2)因为儿=(3=1).去0=目，

所以Tn=1x强+2x；+3x*+n...①

11111

2Tn=1X2+2x52+3x53+…+nX—,②

①-②，得

11111n

2Tn=环+/及+…+布一诃

_1n

=!-1

nlr

因为不等式2「i入＜2-rn+n对一切nWN*恒成立,

所以人＜n对一切n6N*恒成立,

所以入＜4—1对一■切nCN*恒成立，

2口一＜2

设g(n)=4-六，则g(n)是递增函数，

所以入＜g(l)=2.所以入＜2.

13.(1)当n=l时，S1=a2-3,所以a2=4；

当nN2时，由Sn=an+i-3,得Sn-i=an-3,两式作差，得

an=an+l-an/

即

a

n+i=2ani

所以数列｛aj从第二项起是等比数列，所以

=｛上2nT,：22=an=你,n=1

n>2.

(2)因为点(a^bn)在直线y=nx-i上，所以

nLn=1,

bn=-(五n，nN2.

dn

n=1时，T]=1；

34n

所

①以

+-++-

nZ2时，因为区=1+套+一

23242n

1123

-②

=++-+

2-Tn2-

2324

由①一②得

所以nZ2时，国=［一等，经检验，n=l时也成立.

综上，又=|-噤.

2z

一、TDn+2.nn-n-2(n-2)(n+l)

⑶Tn-Bn=--+-=^^=---,

所以n=1时，Ti-Bi<0,所以Tj<Bi；

n=2时，T2-B2=0,所以T2=B2；

n23时，Tn-Bn>0,所以Tn>Bn.

14.(1)设等差数列｛a"的公差为d,

2

则2+a2=3q,Ka2=q,

即有q2-3q+2=0,

解得q=2或1(舍去)，

即有a2=4,d=2,

n-1

则an=2n；bn=2.

nn

(2)cn=2bn-A-3^=2-3A,

由题意可得cn+1<cn对n6N*恒成立，

即有2n+1-3n+1A<2n-3n入,

即2入3n>2n,B|J2入>(|)n对n€N*恒成立,

由转11)=(I)"为递减数列,

即有f(n)的最大值为K1)=|，

则有2人＞|,解得人＞/

故实数人的取值范围为0,+8).

15.设这种汽车使用x年时，它的年平均费用为y万元，则

10+0.9x+(0.2+0.4+0.6+…+0.2x)

V=--------------------------x--------------------------

10+0.9x+32+-x)x

_2

X

_O.lx2+x+10

X

10

—O.lx4------F1N3.

当且仅当O.lx=?,BPx=10时ymin=3.

因此，使用10年时，年平均费用最小，最小值是3万元.

16.假设存在一个等差数列｛a",使二=上且a】为首项，d为公差.

32n

由件=k,得

52n

ain+吟2

2ain+^^d

整理，得

d(l—4k)n—(2a1—d)(2k—1)=0,........①

①式是关于n的一元一次方程，且对neN*都成立.

d(l-4k)=0,

只需即

(2a1-d)(2k-l)=0,

rd=0,d=2ax,

k.=1或

l2k=z

(i)当d=0时，四=3

32nZ

(ii)当d=2a1时，色=%

52n4

17.(1)证明：由己知得an+i=R，两边取倒数得上=工+:,又2=1'所以｛R是首项为1,

aa

zan+3n+ln3

公差为|的等差数列；

(2)由(1)得白=1+|(n—1),所以an=5r?

⑵；2n+i)

所以bn=anan-i=­=AS?—肃)(n之2).

所以

Sn=bt4-b2++bn

9/111111\

=3d—I--------1----------F…H-----------------------)

2\35572n-l2n+1/

92n-2

=3+—x——-----

23(2n+1)

3(n-1)

=3+—--------

2n+l

9-9

=5-dTS").

22n+1

显然当nN2fthSn单调递增且Sn<，又Si=3,S2=y,所以3WSn<:

若Sn<比答对一切neN*成立，则gw吧等，解得最小正整数

m=2012.

2

18.(1)X2=X：—2=(p+；)—2—p2+

X3=X4-2=(p2+/丫-2=p4+/，

X4=X；-2=(p4+_2=p8+i

(2)猜想：Xn=p2"T+京

—

(3)因为xn+1=x„—2,xn=x^-i2,

所以Xn+1-Xn=-X-i=(Xn+Xn_i)(Xn-Xn_J,

2

而由(2)知道，xn=p+p2：-i>0,

所以Xn+1-Xn的符号与Xn-Xn_i的符号相同，

依次类推，我们只需要证明X2—X]>0.

因为X2—Xi=(p2+-(p+；)=(p-1)(p-a),

而Ovpvi,所以pviva，所以p—1V0,p——<0,

所以X2-Xi>0,所以Xn+i-Xn>0，即Xn+i>Xn.

19.(1)因为an=也%」，所以

an-l+n-1

_b—n-i

nan-i+n-1'

所以

n1n—11

—=---------1—.

anban_!b

①当b=l时;

nn—1

-------------=1,

^n-1

则｛£｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以

n

14-(n—1)x1=n,

即

an=1；

②当b>0且b41时,

n+1=1/n—1+1\

a^l-bb(an_1l-b)

当n=1时，

11_1

a1.1-bb(l—by

所以｛2+汽｝是为首项，i为公比的等比数列，所以

D

n

2L+J_=J_.fh,

3n1-b1-b\b/

所以

n_11_1-bn

nn，

an(1—b)b1-b(1—b)b

所以

n(l-b)bn

an=1-b"-

综上所述，

rn(l-b)bn

b>0且bH1,

an=1-bn

(Lb=1.

(2)①23b=1时，

n+1

2an=b+1=2;

②当b>0I.b。1时，

1-bn=(1-b)(l+b+…+bn-2+bn-】).

1

要证2an<bn+1+1,只需证辿陪4bn+1+1,即证

1-b"

2n(l—b)1

1-bnWb+而

即证

2n1

------------------------<b----

l+b+-+bn-2+bn-1-bn，

即证

(b+(1+b+…+bn-2+bn-1)>2n,

即证

/1111\

(b+b2+•••+bx+bn)+(而+即+…+阳+u”2n.

因为

(b+b2+…+bn-1+bn)+仁++…+：+9

\bnbn_1b2b/

=(b+0+W+W)+•••+(2+6)+[n+3)

所以原不等式成立，所以对于一切正整数n,

n+1

2an<b+1.

z

20.(1)x2=xf-2=(p+-2=p+^,

X3=x；-2=(p2+a了-2=p，+/

X4=XA2=(p4+罪-2=p8+

(2)猜想：Xn=P2nT+卡?.

下面用数学归纳法证明：

当n=1时，Xi=p+结论成立，

假设当n=k时，结论成立，即Xk=p2kT+卢；

当n=k+]时，因为Xk+i=x^_2,所以Xk+1=(p2k-'+京9-2=P2k+^,

即n=k+lR'寸，结论成立，

所以xn=p2"T+而对n6N*成立.

(3)因为xn+1=x1-2,xn=x„_j2,

所以Xn+l-Xn=X2-xL=(Xn+Xn_J(Xn-xQ,

2

而由(2)知道，Xn=p+>0,

所以Xn+1—Xn的符号与Xn-Xn-i的符号相同，

依次类推，我们只需要证明X2-X]>0.

2

因为x2-X1=(p+.)一(P+；)=(P-1)(P-看)，

而0<p<l,所以p<l</,所以p-l<0,p/<0，

所以X2-Xi>0,所以xn+1-xn>0,即Xn+1>Xn.

21.(1)依题意有一2<a<13,

可得

M-P=10a2+80a+205>0,

M-Q=10a2+83a+181>0,

所以M最大.

又P-Q=-24+3a.

当一2<a<8时，P<Q,lgP+l=lgQ,解得a=?满足IgM=1+IgQ.

当8<a<13时，P>Q,IgP=1+IgQ,解得a=亍，不满足IgM=1+IgP.

所以｛aQ的前三项为IgP，IgQ，IgM,此时a=[.

因此an=IgP+(n-1)x1=n—21g2.

=

(2)因为2an+13n+an+2»

2

所以f(x)=0时,anx+(an+an+2)x+an+2=0,即(x+l)(anx+an+2)=0.

所以6=1叼—*2|=|管—1|=图.

又因为an=n—21g2>0,所以

2

bn=—

an

所以

所以

Tn=7(bib2+b2b3d-----F1.1、)

4L\3^a?)\a233/'^n-1an，」

11

=———

alan

11

1—21g2n—21g2

n—1

"(1-21g2)(n-21g2)(n-2)-

22.⑴)an+1=，

2an+l