高中数学经典例题100道

例1判定以下关系是否正确

(l){a}c{a}

(2){1,2,3}={3,2,1}

(3)0^{0}

(4)0G{0}

分析空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

解依据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的.

说明：含元素0的集合非空.

例2列举集合{1,2.3}的全部子集.

分析子集中分别含1,2,3三个元素中的0个，1个，2个或者3个.

解含有。个元素的子集有：0;

含有1个元素的子集有{»，{2},{3}；

含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}；

含有3个元素的子集有{1,2,3).共有子集8个.

说明：对于集合A,我们把。和A叫做它的平凡子集.

例3已知{a,b}cA^：{a,b,c,d},则满足条件集合A的个数为

分析A中必含有元素a,b,又A是{a,b,c,d}真子集，所以满意条件的A有：{a,

b},{a,b,c}{a,b,d}.

答共3个.

说明：必需考虑A中元素受到的全部约束.

例4设U为全集，集合M、NSU,且NqM,则

]

A.CyM^CuNB.MQ&N

C.CVMCCVND.M3&N

分析作出4图形.

答选C.

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较便利.

图1-3

点击思维

例5设集合A={x|x=5—4a+az,aeR},B={y|y=4b2+4b+2,b£R},则下列关系

式中正确的是

[]

A.A=BB.AqB

C.A5BD.A^B

分析问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x=5—4a+a2=（2—a）2+l>l,

22

y=4b+4b+2=（2b+l）+l>l,所以它们的值域是相同的，因此A=B.

答选A.

说明：要留意集合中谁是元素.

例6设全集U（U卢0）和集合M,N,P,且M=QN,N=QJP，则

M及P的关系是

[]

A.M=CuPB.M=P

C.M^PD.M尊P

分析可以有多种方法来思索，一是利用逐个验证（解除）的方法;二是利用补集的性质：

M=CuN=Cu（CuP）=P；三是利用画图的方法.

答选B.

说明：一题多解可以熬炼发散思维.

例7下列命题中正确的是

A.Cu（CuA）={A}

B.若ACB=B,则A±B

C.若人={1,<p,{2}},则{2}拳A

D.若人={1,2,3},B={x|xcA},则A6B

分析D选择项中A6B好像不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支.

•；D选择支中，B中的元素，xqA,即x是集合A的子集，而A的子

集有0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3）,而B

是由这全部子集组成的集合，集合A是其中的一个元素.

AA6B.

答选D.

说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以留意.

例8己知集合人={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知非空集合C是这样一

个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个

子集，求集合C.

分析逆向操作：A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中；B中元素加

2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7.

答C={4}或{7}或{4,7}.

说明：逆向思维实力在解题中起重要作用.

例9设S={1,2,3,4},且M={xGS|x2—5x+p=0},若C$M={1,4},则p=.

分析本题渗透了方程的根及系数关系理论，由于CsM={L4},

且M^S,

；.M={2,3}则由韦达定理可解.

答p=2X3=6.

说明：集合问题经常及方程问题相结合.

例10已知集合5={2,3,a2+2a-3},A={|a+l|,2},。$人=匕+3},求a的值.

分析欲求a的值，需充分挖掘补集的含义，ACS,CsAcS.

S这个集合是集合A及集合CsA的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集

合问题，须要留意元素的互异性及分类探讨思想方法的应用.

解由补集概念及集合中元素互异性知a应满意

a+3=3①

|a+l|=a2+2a-3②

（1）4

a2+2a-3^2③

a2+2a-3^3④

a+3=a2+2a-3①

一|a+l|=3②

或⑵；+2a-3*2③

a2+2a-3^3④

在⑴中，由①得a=0依次代入②③④检验，不合②，故舍去.

在⑵中，由①得a=-3,a=2,分别代入②③④检验，a=-3不合②，故舍去，a=2

能满意②③④.故a=2符合题意.

说明：分类要做到不重不漏.

例11（1993年北京高考题）集合M={x|x=?+亍，kGZ},N={

knn,

X|x=^-+y,kWZ}贝（J

[]

A.M=N

D.M及N没有相同元素

分析分别令k=…，-1,0,1,2,3,…得

JTn3n5n7n

M={…，―,—丁，丁’…}，

H兀3兀5”

N={…，—冗，

f244

易见，M^N.

答选C.

说明：推断两个集合的包含或者相等关系要留意集合元素的无序性

典型例题一

例1下列图形中，满意唯一性的是().

A.过直线外一点作及该直线垂直的直线

B.过直线外一点及该直线平行的平面

C.过平面外一点及平面平行的直线

D.过一点作已知平面的垂线

分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的精确理解是解本题的关键.要

留意空间垂直并非肯定相关.

解：A.过直线外一点作及这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线

可以作多数条.事实上这多数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面.

B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线及该直线平行，但可以作多数个平面和

该直线平行.

C.过此点作平面内任始终线的平行线，这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点及

平面平行的直线应有多数条.

D.过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点A、平面a,过点A有两条

直线A3、AC都垂直于a,由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为

£,a及夕的交线为/,则必有AB，/,AC±l,又由于A3、AC、/都在平面夕内，

这样在厂内经过A点就有两条直线和直线/垂直，及平面几何中经过一点有县仅有一条直线

及已知直线垂直相冲突.

故选D.

说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命

题来证明.在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的

垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中经常用到.

典型例题二

例2已知下列命题：

(1)若始终线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;

(2)平面内及这个平面的一条斜线垂直的直线相互平行；

(3)若平面外的两条直线，在这个平面上的射影相互垂直，则这两条直线相互垂直；

(4)若两条直线相互垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则

这两条直线在这个平面上的射影相互垂直.

上述命题正确的是().

A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(3)、(4)D.(2)、(4)

分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简洁应用.应用这两个定理时要特殊留意“平

面内”这一条件，同时要留意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.

解：(1)已知直线不肯定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来推断垂直关系；

(2)平面内及这个平面的一条斜线垂直的直线必定及斜线在平面内的射影垂直，所以它

们之间也平行；

(3)依据三垂线定理可证明直线及另始终线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线

垂直；

(4)依据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性.

故选D.

说明：(3)中若始终线及另始终线的射影垂直，则有另始终线必及这始终线的射影垂直.如

在正方体48CD—4409中，E、/分别为棱A4和8g上的点，G为棱上的点，且

EF1FCJEG,求ND、FG.

典型例题三

例3如图，在正方体A8CD—中，E是的中点，。是底面正方形ABCD的

中心，求证：0后_1平面47。1.

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法.依据线面垂直的判定方法，要证明OE_L平面

ACD},只要在平面ACQ内找两条相交直线及OE垂直.

证明：连结巴。、A。、BD,在△43。中，

,/E、O分别是48和DB的中点，

AEOHBQ.

•：B.4_1_面A4QD,

ZM,为DB】在面AA.D.D内的射影.

又•:AD}

/.ADl1DB1.

同理可证，B.DVD.C.

又,/AD}nCD]=Di,AD]、u面ACD,,

8Q_L平面ACp.

•/B\DI/EO,

EO_L平面ACD].

另证：连结AE、CE,D0,设正方体。用的棱长为a,易证4£=CE.

又•:AO^OC,

：.OEA.AC.

在正方体。与中易求出:

DQ=个DD；+DC?

OE=^BE2+0B2

*=g.+用炉=样[+闫=|联

,/D。+0E?=DF，

：.DQLOE.

VD}OC\AC^O,DQ、ACu平面AC。1，

二OEL平面ACD].

说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在

证明线线垂直时既要留意三垂线定理及其逆定理的应用，也要留意有时是从数量关系方面找

垂直，即勾股定理或余弦定理的应用.

典型例题四

例4如图，在aABC中，NB=90°,SAJ•平面ABC,点A在S3和SC上的射影分

别为M、N,求证：MNA.SC.

分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思

想.欲证SC_LMN,可证SC_L面AMN,为此须证SC_LAN,进而可转化为证明4N_L

平面SBC,而已知ANLSB,所以只要证AN,8c即可.由于图中线线垂直、线面垂直

关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线

垂直.SR、

证明：，面ABC,BCu平面ABC,

：.SA±BC.\

；Z8=90。，即ABLBC,8AnSA=A,ZV/

BC_L平面1s43.

•••ANu平面SAB.

BC±AN.

又•••ANLS3,SBCBC=B,

：.4N_L平面SBC.

,/SCu平面SBC,

AN上SC,

又：AM，SC,AM^AN^A,

：.SC_L平面AMN.

：MNu平面AMN.

SC1MN.

另证：由上面可证AN，平面SBC.

MN为AM在平面SBC内的射影.

,/AMISC,

：.MN工SC.

说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证

明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明经常是在这种相互转化的过程中实现

的.本题若改为下题，想想如何证：已知S4_L。。所在平面，AB为。。的直径，C为。。

上随意一点（。及A、8不重合）.过点A作SB的垂面交S3、SC于点/、N,求证：

典型例题五

例5如图，A8为平面a的斜线，8为斜足，A//垂直平面a于”点，8C为平面a内

的直线，ZABH—0,ZHBC-a,ZABC=P,求证：cos/?=cosa-cos^.

分析：本题考查的是线面角的定义和计算.要证明三个

角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形

中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三

角形则须要用三垂线定理或逆定理.

证明：过〃点作〃。垂直6C于。点，连AO.

,/AHLa,

A0在平面a内射影为“£）.

BC±HD,BCua,

：.BC1AD.

在A3”中有:①

在.RfABHD中有:②

在/?/△中有:③

由①、②、③可得：cos/?=COS0-COSCt.

说明：由此题结论易知：斜线及平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的

一切角中最小的角.若平面的斜线及平面所成角为。，则斜线及平面内其它直线所成角夕的

范围为.

典型例题六

例6如图，已知正方形ABCD边长为4,CG_L平面ABC。，CG=2,E、E分别是

AB.A。中点，求点5到平面GE户的距离.

分析：此题是1991年高考题，考查了直线及直线、直线及平面等位置关系以及逻辑推理

和空间想像实力.本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化

为求另一点到该平面的距离.为此要找寻过点8及平面GEE平行的直线，因为及平面平行的

直线上全部点到平面的距离相等.

证明：连结BD、AC,E尸和8。分别交AC于

H、0,连GH,作OK_LG〃于K.

•••A8CD为正方形，E、尸分别为AB、AD的中

点，

C.EFHBD,”为A0中点.

VBD//EF,3。二平面GFE,

BD//平面GFE.

：.8。及平面GFE的距离就是。点到平面EfG的距离.

•：BD±AC,：.EFLAC.

；GC_1_面ABC。，GC_L石厂.

,:GCHAC=C,

：.EE上平面GCH.

•；OKu平面GCH,

EFA.OK.

又♦：OK1GH,GHCEF=H,

平面GE产.

即OK长就是点B到平面GEF的距离.

•.•正方形边长为4,CG=2,

：.AC=472,HO=0,HC=3近.

在心△“CG中，HG=^HC2+CG2=V22.

HOGC_2VTT

在中，OK=

HG—11

说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是干脆法.由该点向平面引垂线，干脆计算

垂线段的长.用此法的关键在于精确找到垂足位置.如本题可用下列证法：延长CB交FE的

延长线于“，连结GM,作BP上ME于P,作BN//CG交MG于N,连结PN,再作

BH±PN于H,可得平面GFE,8H长即为3点到平面EFG的距离.二是转移

法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的

面积.求顶点究竟面的距离，可逆用体积公式.

典型例题七

例7如图所示，直角A4BC所在平面外一点S,且S4=SB=SC.

(1)求证：点S及斜边AC中点D的连线SO面ABC；

(2)若直角边区4=BC,求证：面S4C.

分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直.

证明：(1)在等腰ASAC中，。为AC中点，.•.SO_LAC.

取A3中点E,连。石、SE.

VED//BC,BC±AB,：.DE±AB.

又SEJ_A3,二A3,而SEO,，ABLSD.

SOJ_面ABC(AB、AC是面ABC内两相交直线).

(2),：BA^BC,：.BD1AC.

又：SO_L面ABC,SO_L8。.

♦••SQCIAC",3£>_1面必。.

说明：证明线面垂直的关键在于找寻直线及平面内的两条相交直线垂直.找寻途径可由

等腰三角形底边上的中线及底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等.

典型例题八

例8假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

已知：allb,aVa.求证：b±a.

分析：由线面垂直的判定定理知，只需在。内找到两条相交直线及。垂直即可.

证明：如图所示，在平面a内作两条相交直线m、n.

aLa,a±m,a±n.

又,：b//a,从而有bA.n.

由作图知加、"为a内两条相交直线.

bA.a.

说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线及平面的垂直关系不

明确或不易证出时，可以考虑证明及已知直线平行的直线及平面垂直.

典型例题九

例9如图所示，已知平面an平面夕=EE，A为a、夕外一点，A3_La于3,

AC_L分于C,C£)J_a于。.证明：BD工EF.

分析：先证A、B、C、。四点共面，再证明，平面43。。，从而得到

证明：VABLa,CD工a,：.ABHCD.

；.A、B、C、。四点共面.

VABLa,AC_L尸，a^/3=EF,：.ABLEF,ACLEF.

又ABDAC=A,平面ABCO.

，EF上BD.

说明：及线面平行和线线平行交替运用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结

论.即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直.本题证明“A、B、。、

。四点共面”特别重要，仅由平面ABC,就断定则证明是无效的.

典型例题十

例10平面a内有一半圆，直径A3,过A作S4_L平面a,在半圆上任取一点连

SM、SB,且N、”分别是A在SM、S3上的射影.

⑴求证：NHA.SB；

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？

(3)这个图形中有多少个直角三角形？

(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

分析：留意利用直线及直线、直线及平面垂直的有关学问进行推断.

(1)证明：连AM、BM.如上图所示，

A3为己知圆的直径，二AM±BM.

平面a,BMcza,：.SA±MB.

：AA/nSA=A,平面SAM.

•••ANu平面SAM,ABMLAN.

,:ANLSM于N,AN_L平面SMB.

于H,且N"是AH在平面SMB的射影，SB.

解(2)：由⑴知，SA_L平面AMB,BMJ■平面SAM,AN_L平面SMB.

•・•SB_LA"且SB，"N,S3_L平面AAW,

.•.图中共有4个线面垂直关系.

(3)：54，平面4M8,二八四3、A5AM均为直角三角形.

平面SAM,MAM、均为直角三角形.

•••4"_1平面5加3,，人4附、MNM、AAN”均为直角三角形.

•.•53_1平面47”,；.45/£4、岫HA、MHN、A8HN均为直角三角形.

综上，图中共有11个直角三角形.

⑷由SAJ.平面AMB知，SAYAM,SAYAB,SA1BM.

由BM,平面SAM知，BM±AM,BMISM,BMLAN.

由AN_L平面SMB知，ANLSM,AN±SB,ANLNH.

由SB_L平面ANW知，SB1AH,SB工HN.

综上，图中共有11对相互垂直的直线.

说明：为了保证⑵⑶⑷答案不出错，首先应找准Q)的答案，由“线_L面”可得到“线，

面内线”，当”线，面内线”且相交时，可得到直角三角形；当''线"L面内线”且不相交时，

可得到异面且垂直的一对直线.

典型例题十一

例11如图所示，ZBAC=90°.在平面a内，PA是a的斜线，

ZPAB=ZPAC=60°.求PA及平面a所成的角.

分析：求PA及平面a所成角，关键是确定PA在平面a上射影A0的位置.由

ZPAB^ZPAC,可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定A。位置，构造直角

三角形则需用三垂线定理.

解：如图所示，过P作POLa于。.连结AO,

则AO为A尸在面a上的射影，NPAO为PA及平面a所成的角.

作OMLAC,由三重线定理可得PM_LAC.

作ONLAB,同理可得PN,AB.

由NPA5=NPAC,/PMA=/PNA=90°,PA^PA,

可得"MA也^PNA,：.PM=PN.

；OM、ON分别为PM、PN在a内射影，；.OM=ON.

所以点。在NBAC的平分线上.

设尸A=a,又NPAM=60°,N(MM=45°,

在APOA中，cos/PAO=----=——，

PA2

ZPAO=45°,即PA及a所成角为45°.

说明：

⑴本题在得出PA在面a上的射影为/BAC的平分线后，可由公式cosO=cosa-cos万

来计算PA及平面a所成的角，此时NPAC=6=60°,ZPAO=a,ZCAO=/3=45°.

(2)由PA及平面a上射影为N8AC平分线还可推出下面结论：四面体P—A3C中，若

ZPAB=ZPAC,NPBA=NPBC,则点A在面ABC上的射影为A4BC的内心.

典型例题十二

例12如图所示，在平面夕内有AABC,在平面月外有点S,斜线S4J_AC,

且斜线SA、SB分别及平面夕所成的角相等，设点S及平面夕的距离为4c〃z,AC1BC,

且AB=6cm.求点S及直线A3的距离.

分析：由点S向平面夕引垂线，考查垂足。的位置，连03、DA,推得DAJ_AC,

DBLBC,又NACB=90°,故A、B、C、。为矩形的四个顶点.

解：作5。_1平面夕，垂足为。，连。A、DB.

•：SA±AC,DB1BC,

由三垂线定理的逆定理，有：DAA.AC,DBA.BC,

又AC_LBC,ACB。为矩形.

又•••SA=SB,D4=Z)B,二ACB。为正方形，

.•.A3、8相互垂直平分.

设。为A3、CD的交点，连结S。，

依据三垂线定理，有SO,A3,则SO为S到A5的距离.

在RtkSOD中，SD=4cm,,

SO-5cm.

因此，点S到A3的距离为5cm.

说明：由本例可得到点到直线距离的作法：

⑴若点、直线在确定平面内，可干脆由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求.

⑵若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足

引直线的垂线得斜足，则这点及斜足的距离为点到直线的距离.

⑶处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的协助线，然后证明所作

距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算.

典型例题十三

例13如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD,过A且垂直于SC的平面交S3、

SC、S。分别于点E、F、G,求证：AEVSB,AGLSD.

分析：本题考查线面垂直的判定及性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思

想.由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可.欲证AELSB,可证平面SBC,

为此须证AELBC、AELSC,进而转化证明平面SA8、5。，平面4£尸6.

证明：平面ABC。，BCu平面ABCO,

：.SA±BC.

又,:ABCD为正方形，

BC1AB.

：.BC_L平面ASB.

,/AEu平面ASB,

：.BCLAE.

又；SC_L平面AEFG,

：.SC±AE.

AE_L平面SBC.

又；SBu平面SBC,

AAELSB,同理可证AG,SO.

说明：（1）证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，

三垂线定理及它的逆定理，以及及两条平行线中一条垂直就及另一条垂直.⑵本题的证明过

程中反复交替运用“线线垂直”及“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越

性.

典型例题十四

例14如图，求证：假如一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平

面内的射影在这个角的平分线上.

已知：N8AC在平面a内，点尸任。，PE.LAB,PFLAC,POVa,垂足分别是

E、F,0,PE=PF.求证：ZBAO=ZCAO.

证明：：POJLa,

：.0E为PE在a内的射影.

VABA.PE,A5u平面c,

ABLOE.

同理可证：ACLOF.

又；POLa,PE=PF,OE=OF,

：.ZBAO=ZCAO.

说明：本题是一个较为典型的题目，及此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个

角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这

个角的平分线所在的直线.由此结论和上一个例题很简洁求解下面这道题：已知

ZACB=90°,S为平面ACS外一点，NSC4=NSC8=60°,求SC及平面AC8所成角.

典型例题十五

例15推断题：正确的在括号内打“J”号，不正确的打“X”号.

(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()

(2)假如一条直线垂直于平面内的多数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()

(4)过点A垂直于直线。的全部直线都在过点A垂直于a的平面内.()

⑸假如三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平

面.()

解：(1)直线及平面平行，则直线及平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异

面，因此应打“X”号

(2)该命题的关键是这多数条直线具有怎样的位置关系.①若为平行，则该命题应打“X”

号；若为相交，则该命题应打“J”，正是因为这两种状况可能同时具备，因此，不说明面内

无这数条线的位置关系，则该命题应打“X”号.

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该

直线必垂直于三角形的第三边，.••该命题应打“J”.

(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面及已知直线垂直，②过一点有且只

有一条直线及已知平面垂直，依据第一个命题知：过点4垂直于直线a的平面惟一，因此，

过点A且及直线a垂直的直线都在过点A且及直线。垂直的平面内，.•.该命题应打“J”号.

(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c且a,b,c共点于。，

aLh,a±c,bDc-0,且h,c确定一平面，设为a,则a_L。，

同理可知b垂直于由a,c确定的平面，c垂直于由了确定的平面，

...该命题应打“4”号.

说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等学问来解答的问题.解答此类问

题必需作到：概念清晰、问题理解透彻、相关学问能敏捷运用.

典型例题十六

例16如图，已知空间四边形ABCD的边AD=BD,引BE_LC£),E为

垂足，作AH工BE于H,求证：Aa_L平面BCD.

分析：若证A”_L平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理，证A”垂直平面

BCD中两条相交直线即可.

证明：取A8中点尸，连DF,

•：AC^BC,J.CF1AB.

又二DELAB,二AB_L平面CDF,

又CDu平面CD/,CDJ_A3

又CDJ_BE,二。。，平面ABE,CDA.AH,

又AH，BE,.♦.A"，平面BCD.

典型例题十七

例17假如平面a及a外一条直线a都垂直h,那么。〃a.

己知：直线aaa,aJL直线)，bLa.求证：alia.

分析：若证线面平行，只须设法在平面a内找到一条直线〃，使得a〃a,由线面平行

判定定理得证.

证明：⑴如图，若。及匕相交，则由〃、匕确定平面夕，设/na=a.

bLaalia

V/?lcr

>n。J_af=>又〃ua}na〃a.

aua

a、b,dupaua

(2)如图,若a及b不相交,

则在。上任取一点A,过A作5〃匕，。、5确定平面夕，设/门。=。.

VbHb\bLa.

,}=〃_Laalia

hA.aJ又aua

>n又aua}=Q〃a

Vblibb±a

>=>acta

bA.a又b,a,au(3

典型例题十八

例18如图，已知在AABC中，ABAC=6Q°,线段平面48C,

AaJ_平面。BC,“为垂足.

求证：“不行能是ADBC的垂心.

分析：依据本题所证结论，可采纳反证法予以证明.

证明：如图所示，假设〃是AOBC的垂心，则

：A"，平面力BC,OC_L4”，

DC±平面AB",：.ABLDC.

又；DA_L平®4BC,AAB±DA,

A8J_平面。AC,

AABLAC,这及已知N8AC=60°冲突，

...假设不成立，故“不行能是ADBC的垂心.

说明：本题只要满意NBACV90。，此题的结论总成立.不妨赐予证明.

典型例题十九

例19在空间，下列哪些命题是正确的（）.

①平行于同一条直线的两条直线相互平行

②垂直于同一条直线的两条直线相互平行

③平行于同一个平面的两条直线相互平行

④垂直于不一个平面的两条直线相互平行

A.仅②不正确B.仅①、④正确

C.仅①正确D.四个命题都正确

分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4,因此该命题是正确的；②如图，直线a±

平面a,bua,cua,且Z?C|c=A,则a_Lh,a±c,即平面a内两条直交直线。，c

都垂直于同一条直线“，但b,c的位置关系并不是平行.另外，b,c的位置关系也可以是

异面，假如把直线。平移到平面a外，此时及a的位置关系仍是垂直，但此时，b,c的位置

关系是异面.

③如图，在正方体ABC。一A4GA中，易知4耳〃平面ABC。，44〃平面ABCD,

但4旦口49=4,因此该命题是错误的.

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.

综上可知①、④正确.

...应选B.

典型例题二十

例20设。，。为异面直线，为它们的公垂线

(1)若a,匕都平行于平面a,则ABLa；

(2)若a,。分别垂直于平面a、p,且则A3〃c.

分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明ABLa；证明线及线的平行，由于此时垂直

的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB//C.

图1图2

证明：(1)如图1,在a内任取一点P,设直线。及点P确定的平面及平面a的交线为a,

设直线6及点P确定的平面及平面a的交线为5

alla,blla,：.alld,bllb

又,；A3_La,AB±b,.'.ABA.a,ABLb,

ABA-a.

(2)如图2,过8作88'J_a,则58〃a,

则

又•.•AB，/?,」.AB垂直于由Z?和8月确定的平面.

'：bL(3,：.blc,BBYa,：.BB±c.

二c也垂直于由56,和b确定的平面.

板ciiAB.

说明：由第⑵问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线及线的平行，其关键是构

造出平面，使所证线皆及该平面垂直.如题中，通过作出协助线68,构造出平面，即由相

交直线人及确定的平面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得.

典型例题二十一

例21如图，在正方体A8C£>—A4GA中，石产为异面直线A。及AC的公垂线，求

证：EF//BDi.

分析：证明所〃89,构造及ER、8Q都垂直的平面是关键.由于ER是AC和4。

的公垂线，这一条件对构造线面垂直特别有用.

证明：连结4G，由于AC〃AG，EFA.AC,

：.EFAG.

又E/FA。，Aj£)nAG=A，

平面4G。.①

BB11平面AG2,AGu平面ABiCQi,

：.BB[±A,C,.

•.♦四边形为正方形，

4cl-LBQ1,B[DlABB[=,

AG_L平面BBQQ,

而BD{u平面BBQD，,AG_LBD1.

同理DC|J,BA，DC,AAjC1=C,,

B?_L平面4G。.②

由①、②可知：EFHBD-

典型例题二十二

例22如图，已知P为A4BC外一点，PA,PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a,

求P点到平面ABC的距离.

分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长.

解：过P作PO_L平面ABC于。点，连A。、BO、CO,

：.POLAO,POLBO,POA.CO

'：PA=PB=PC=a,

：.APAO彩"BOm"CO,

OA=OB-OC.

，。为A4BC的外心.

,/PA>PB、PC两两垂直，

:.AB=BC=CA=6a,AA3C为正三角形，

PO=y]PA2-AO2=—a.

3

因此点P到平面ABC的距离卫士。.

3

说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离

在某一个三角形中；最终在三角形中依据三角形的边角关系求出距离.

(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离经常用到勾股定理、正弦

定理、余弦定理及有关三角函数学问.

(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分留意，除了

上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不

断总结.

典型例题二十三

例23如图，已知在长方体ABC。—44GA中，棱A41=5,AB=12,求直线4G

和平面ABCR的距离.

分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后依据求点面距

的有关方法求解.

解：如图，•:B[C[HBC,且4Ga平面ABCQ,BCu平面

4G〃平面48CD1.

从而点用到平面A[BCD.的距离即为所求.

过点与作与于E,

BC±平面4ABB,,且4Eu平面A41BXB,

二BCtB[E.

瓦后，平面48cA.

即线段Bg的长即为所求,

在AM第中，台避二空泮二薪^^

直线B1G到平面A.BCD,的距离为—.

说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础学问以及计算实力和转化的数学

思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角

形求解，这种转化的思想特别重要，数学解题的过程就是将困难转化为简洁，将未知转化为

已知，从而求解.

典型例题二十四

例24AD,BC分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为

30°,AD=8cm,AB±BC,DC1BC.求线段的长.

分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线A。、BC所成的角、垂直关系

转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关学问计算出8c之长.

解：如图，在平面a内，过A作AE〃8C,过C作CE〃A8,两线交于E.

•:AE//BC,

ND4E就是A。、3C所成的角，

ZDAE^30P.

■:AB1BC,

四边形A3CE是矩形.连DE,

VBCrCD,BC1CE,且C£)nc£=c,

平面COE.

VAE//BC,，AE_L平面COE.•.•1)£<=平面COE,/.AEA.DE.

在R/AAEO中，得AE=4有，3C=AE=4百(cm).

说明：解决空间问题，经常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化

到平面上来，才能应用平面几何学问解题，而平移变换是转化的重要手段.

典型例题一

例1解不等式：(1)2X3-X2-15X>0；(2)(X+4)(X+5)2(2-X)3<0.

分析：假如多项式/(x)可分解为〃个一次式的积，则一元高次不等式/(x)>0(或/(x)<0)可用

“穿根法”求解，但要留意处理好有重根的状况.

解：(1)原不等式可化为

x(2x+5)(x—3)>0

把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根顺次标上数轴.然后从右上起先画线顺次经过三个根，其解集如

下图的阴影部分.

:•原不等式解集为

(2)原不等式等价于

(x+4)(x+5)2(x-2)3>0

x+5w0鼠。一5

<<z><

(x+4)(x-2)>0[x<-4g!u>2

.•・原不等式解集为{.X<一5或一5<x<T或r>2}

说明：用“穿根法”解不等式时应留意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转

化为不含重根的不等式，也可干脆用“穿根法”，但留