第03讲 充分条件与必要条件（2大考点9种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第03讲充分条件与必要条件(2大考点9种解题方法)

题型一：判断命题的充分不必要条件

题型二：根据充分不必要条件求参数

题型三：列新命题的必要不充分条件

考点一：充分条件与必要条件&

题型四:根据必要不充分条件求参数

题型五：充分条件的判定及性质

充分条件与必要条件

题型六：必要条件的判定及性质

」型七：充要条件的证明

考点二：充要条件《考题型八：探求命麴为真的充要条件

野型九：根据充要条件求参数

B考点考向

一、充分条件与必要条件

(1)一般地，“若°,则/为真命题，是指由p通过推理可以得出G这时，我们就说，由p可以推出(7,

记作A＜7,并且说，。是＜7的充分条件，q是〃的必要条件.

(2)几点说明

若月q,则夕是g的充分条件，q是。的必要条件

夕是＜7的充分不必要条件P=>g且中p

〃是0的必要不充分条件卢g且gp

P是。的充要条件阳q

0是q的既不充分也不必要条件"0且CfiP

二、充要条件

⑴如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有又有gp,就记作片仍

此时，。既是17的充分条件，也是g的必要条件，我们就说。是0的充分必要条件，简称为充要条件.

(2)如果。是。的充要条件，那么q也是。的充要条件.概括地说，如果p=q,那么。与。互为充要条件.

Q技巧方法

1.充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必

要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

2.若条件"g以集合的形式出现，即/={x|p(x)},5={x|g(x)},则由/U9可得，p是g的充分条件，

请写出集合/,6的其他关系对应的条件0,g的关系.

①若/呈8,则p是g的充分不必要条件；

②若A?8,则夕是q的必要条件；

③若则p是°的必要不充分条件；

④若4=8,则p是g的充要条件；

⑤若加8且施B,则p是g的既不充分也不必要条件.

3、充要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据p=>q,g=>p进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等

号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

⑶数学定义都是充要条件.

u考点精讲

考点一：充分条件与必要条件

题型一：判断命题的充分不必要条件

一、单选题

1.(2022•全国•高一专题练习)已知命题p：-l<x<2,命题q：x<-3或xN-1,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】因为(一1，2)京-0°，-3)[T*o),

所以P是q的充分不必要条件.

故选：A

2.(2021.湖南.衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习)已知「：4=｛月-5<犬<2｝,8=｛刈工<。｝,且473=8,

4：一次函数丫=奴+/。*。)单调递增.则〃是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意求得命题P，4对应参数的取值范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性.

【详解】对命题?：因为Au5=8，故可得。22；

对命题9：一次函数y=or+b（aHO）单调递增，故可得。>0,

因为［2,e）是（O,y）的真子集，故。是4的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2022・广东•化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是^的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两个命题中的x取值范围，分析是否能得到和gnp.

【详解】若x为自然数，则它必为整数，即/，土.

但x为整数不一定是自然数，如x=-2,即gNp.

故。是q的充分不必要条件.

故选：A.

二、多选题

4.（2022•全国•高一专题练习）可以作为x<-l或x>3的一个充分不必要条件是（）

A.x<-2B.x<lC.x>4D.x>2

【答案】AC

【分析】由充分不必要条件的定义即可得出答案.

【详解】可以作为x<-l或x>3的一个充分不必要条件是x<-2和x>4.

故选：AC.

三、填空题

5.（2021•江苏•高一专题练习）已知夕:“二2或分工3,则p是q的条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】命题“若P，则g"：假设4不正确，即”=2且6=3,则有a+b=5与已知矛盾，即假设是

错的，

于是得q是正确的，因此，“若p,则4”是真命题，即。是<7的充分条件，

命题“若%则，：显然当"=1*=4时，有a+6=5,而”=1,。=4满足。22或6r3,

于是得“若（7,则P”是假命题，即〃不是4的必要条件，

所以P是4的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

题型二：根据充分不必要条件求参数

一、单选题

1.（2022•湖南•长沙市南雅中学高二阶段练习）己知p：4斤>2,<?：m-x<0,若p是q的充分不必要条

件，则〃?的取值范围是（）

A.”<3B.m>3C.m<5D.m>5

【答案】c

【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据。是“的充分不必要条件，即可得答案.

【详解】命题P：因为>2,所以x-l>4,解得x>5,

命题q：x>m,

因为p是q的充分不必要条件，

所以m<5.

故选：C

二、多选题

2.（2022・河南・温县第一高级中学高一阶段练习）若“f-x-6<0”是“-2<x<a”的必要不充分条件，则实数

“的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】AB

［分析］利用必要不充分条件的定义直接判断.

【详解】由炉-%-6<0解得：-2<x<3.

因为“/-^^〈（^^"^〈^〈。”的必要不充分条件，

所以只需（-2,a）（-2,3）,

对照四个选项，a可以取1,2.

故选：AB

三、填空题

3.（2022•全国•高一专题练习）己知4Vx<-2,q:x£a,若。是4的充分不必要条件，则实数。的取值

范围是______

【答案】a>-2

【分析】根据P是4的充分不必要条件，可得{x[Y<x<-2}?{x|x4a},从而可得出答案.

【详解】解：因为P是4的充分不必要条件，

所以{x|-4cxe_2}]{中4。},

所以aN—2.

故答案为：a>-2.

四、解答题

4.（2022•江苏•高一单元测试）己知集合尸={x|a+lSx$2a+l},Q={x|-2<x<5}.

⑴若。=3,求©,P）c。；

（2）若“xGP”是“xG。”充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）{X|-24X<4},（2）a42

【分析】（I）将〃=3代入求出集合P,Q,再由补集及交集的意义即可计算得解.

（2）由给定条件可得PQ,再根据集合包含关系列式计算作答.

⑴因”=3,则2={x|4W烂7},则有Q『={x|x<4或x>7},又Q={*-2W烂5},

所以@P)cQ={x|-24x<4}.

（2）“工昼片是，比丘。”充分不必要条件，于是得PQ,

当a+l>2“+l,即a<0时，P=0,又Qr0,即0Q,满足PQ,则a<0,

a+1<2a+1a+1<2a+1

当Pw0时，则有*+12-2或■a+l>-2

,解得0〈a<2或0Wa<2,BP0<tz<2,

2a+1<52a+l<5

综上得：a<2,

所以实数。的取值范围是a<2.

5.（2022・重庆复旦中学高一开学考试）在①=8；②“xe4”是“xe8”的充分不必要条件;③A8=0

这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：

已知集合A={x|a-14x4a+l},B=|x|x2-2x-3<o!

(1)当a=2时，求AB-

（2）若,求实数”的取值范围.

【答案】（1）AU3={X|TWXW3}

⑵条件选择见解析，（9，-2）_（4,”）

【分析】（1）化简集合A与8之后求二者的并集（2）先判断集合A与8的关系，再求。的取值范围

（1）当a=2时，集合A={x|14x43},B={x|-l<x<3},

所以Au8={x|-14x43}；

（2）若选择①AUB=B,则A[B,

因为A={x|a-1VxVa+1},所以AH0,

又8={幻—1«》43},

fa—12—1

所以<1八，解得

[a+\<3

所以实数。的取值范围是[0,2].

若选择②，"xeA”是“xeB”的充分不必要条件，则AB,

因为A={x|a-1VxWa+1},所以Aw0,XB={x|-l<x<3},

所以解得04aK2,

a+l<3

所以实数。的取值范围是[0,2].

若选择③，A8=0,

因为A={x|a-14x4a+l},B={x|-1<x<3},

所以a—1>3或a+1<—1>

解得“>4或a<-2,

所以实数。的取值范围是（《,-2）（4,+w）.

6.（2022.全国•高一）已知非空集合P={x|a-14x46a-14},Q={x|-2<x<5}.

⑴若。=3,求做P）cQ：

（2）若“xeP”是“xeQ”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

1310

【答案】⑴[一2,2）（4,5].（2）

【分析】（1）根据集合的运算法则计算：

（2）根据充分不必要条件的定义求解.

（1）由己知2="|24尢<4},东?="|尤<2或%>4},

所以@尸）®={x|-24x<2或4<%45}=[-2,2）（4,5]；

a-1>-2

（2）。““是。虫”的充分不必要条件，则6a-14<5,解得13?4a19

56

<7-1<6a-14

所以。的范围是「413,1-91.

JO

题型三：判断命题的必要不充分条件

一、单选题

1.（2022•江苏•高一单元测试）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据等边三角形的定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角

形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.

故选：B.

2.（2022•全国•高一专题练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠

毁.专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，

那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外

表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器.则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故

原因认定”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可

判断出结果.

【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，

则“找到驾驶员座舱录音器''不能形成"初步事故原因认定”：

而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，

故“找到驾驶员座舱录音器‘'是''初步事故原因认定”的必要不充分条件，

故选：C.

3.（2020.安徽•合肥市第十中学高一期中）设集合4={R-l<x<3},8={x|0<xM2}则wA”是“ae8”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据集合的包含与充分必要条件的关系判断.

【详解】由题意集合B是集合A的真子集，因此“aeA”是的必要不充分条件，

故选:B.

二、多选题

4.（2021•广东•梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列命题正确的是（）

A.”“>1”是/<1”的充分不必要条件

a

B.若方程/+（加-3）*+机=0的两根都是负数，则相>9

C.设x,ywR,则“x2&且”是。2+/24”的必要而不充分条件

D.设a,beR,则“awO”是"abHO”的必要而不充分条件

【答案】AD

【分析】根据充分性、必要性的定义进行逐一判断即可.

【详解】A正确.“a>l”可推出“'<1”，但是当“2<1”时，。有可能是负数，所以/<1”推不出

aaa

所以"a>1”是"工<1”的充分不必要条件：

a

△=-3）2-4/n>0,

B错误.;,x{+x2=3-tn<0,m>9；

x}x2=m>0,

C错误.当x=3,y=3时，x2+y2>4,但是“血近且转血“不成立，所以+V推不出“*之夜且

所以“x22且yN2”不是+/>4”的必要条件

D正确,"aH0"推不出“"#0?但“ahHO"可推出"aL0",所以"awO”是“ab*0?的必要而不充分条件,

故选：AD

三、填空题

5.（2022•全国•高一专题练习）写出-l<x<2的一个必要不充分条件.

【答案】x<3（答案不唯一）

【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.

【详解】{x|-l<x<2}S{x|x<3},所以“x<3”是不等式成立的一个必要不充分条件.

故答案为：x<3.

题型四：根据必要不充分条件求参数

一、填空题

1.（2022•全国•高一）已知集合4=卜|*<一1,或x>2},B-{x\2a<x<a+3},若“xeA”是“xe8”的必要

条件，则实数”的取值范围是.

【答案】（,,-4）U（1,E）

【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与8的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出“

的范围.

【详解】•••“xeA”是xwB”的必要条件，.I8=A,

当8=0时，2a>a+3,贝lja>3；

当8/0时，根据题意作出如图所示的数轴，

2aa+3-12xT22aa+3x

[a+3>2a[a+3>2a

由图可知<。,或<cc，解得a<-4或Iva?3,

[a+3<-l[2a>2

综上可得，实数。的取值范围为（—,T）U（l,y）.

二、解答题

2.（2021•江西•丰城九中高一阶段练习）已知集合4={*|%21或xV-4},集合B={x[O<xW2}

（l）若C={x|24<x<l+4},且Cq（A8）,求实数”的取值范围.

（2）已知集合。={x|〃?4x4m+；,xeR-，若xeA3是xwO的必要不充分条件，判断实数m是否存在,

若存在求加的范围

13

【答案】(1)。25：(2)存在，m4].

【分析】(1)由集合交运算可得AnB={x|lMxV2},根据集合的包含关系并讨论C是否为空集，列不等式

组求参数范围：

(2)由题意。口AC8),列不等式组求参数范围.

⑴由题设AB={x\\<x<2},又Cq(A「B),

2a>1

当CX0时，<l+a42,可得

1+〃>2。

当C=0时，l+a«2a,可得

综上，〃的范围

(2)由题意。「(AcB),而m+，

tn>1

3

所以，结合(1)有1(等号不同时成立)，可得14机4K

m+—<22

I2

故存在实数加且14加4：.

2

3.(2022.江苏•高一单元测试)已知集合弁={幻°-1=*42+3},B={x|-l<x<4},全集U=R.

(1)当。=1时，求(QA)C8；

⑵若“xeB”是“xeA”的必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴C，A)cB={止14x<0}

⑵"-4或

【分析】(1)根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.

(2)若“xeB”是“xeA”的必要条件等价于AaB.讨论A是否为空集，即可求出实数”的取值范围.

(1)当a=l时，集合4={x[()VxV5},CuA={x|x<0或x>5},

(Q./4)nB={x|-l<x<0}.

⑵若“xe8”是“xeA”的必要条件，则AGB,

①当A=0时，a—1>2a+3,a<—4；

②AH0,贝iJaNT且a-12-l,2a+344,.-.0<a<1.

综上所述，a<-4或OWawg.

4.(2022•江苏•高一)已知p：x-2>0,4：or-4>0其中aeR.

(1)若P是。的充分不必要条件，求实数”的取值范围；

(2)若P是4的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)(2,+8),(2)[0,2)

a>0,

【分析】(1)由题意可得A臬从所以4今从而可求出实数。的取值范围，

一<2,

(2)由题意可得然后分a=0,a>0和。<0三种情况求解即可

(1)设命题p：A={x|x-2>0),即p：A={x|x>2},命题q：B={x\ax-4>0},

因为p是q的充分不必要条件，所以A茎8,.

a>0,

即4、解得。>2

-<2,

la

所以实数”的取值范围为(2,+8)

⑵由(1)得p：A=(A|X>2),q：B={x\ax一4>0},

因为。是g的必要不充分条件，

所以监A,

①当a=0时，B=0,满足题意；

②当a>0时，由吗,得±>2,即0<a<2；.

a

③当a<0时，显然不满足题意.

综合①②③得，实数。的取值范围为1。，2)

5.(2022•河南驻马店♦高一期末)己知集合4=卜侬-14*43T},B={x|-2<x+l<5).

⑴若AB=0,求实数，的取值范围；

(2)若“xeB”是“xeA”的必要不充分条件，求实数「的取值范围.

【答案】⑴(2”e(-l,y)

【分析】(1)首先求出集合8,再对A=0与Ar0两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可;

(2)依题意可得集合AB,分A=0与Ax0两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；

(1)解：由-2<x+l<5得解-3<x<4,所以8={x[-2<x+l<5}={x卜3cx<4},又A={x|2f-14x43-}

若A8=0,分类讨论：

4

当A=0,即2f-1>3T解得满足题意；

4

当AH0,即231437,解得时，

2f-l>4[3-f<-3

若满足A8=0,则必有14或，4；

t<-t<-

l3I3

解得

综上，若A8=0,则实数f的取值范围为fe(g,+8

(2)解：由“xwB”是“xeA”的必要不充分条件，则集合AB,

4

若A=0,即2，一1>3—,解得

[鹏

、434

右A#0,B|J2f—1<3—f>即,则必有，2f—1>—3,解得一l</4—,

3-,3

3-f<4

综上可得,t><

综上所述，当"xeB”是“xeA”的必要不充分条件时，，€(-1,物)即为所求.

题型五：充分条件的判定及性质

一、单选题

1.(2022・江苏盐城•高一期末)“〃>8”的一个充分条件是()

1111

2

<cQ>

A.-b---D.//7

4〃

【分析】依次判断选项中的”,6满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立.

【详解】对于A,当。<0<方时，满足无法得到a>b,充分性不成立，A错误;

ab

.、f/?<0[/?>0

对于B,当a。〉。?时，h(a-b)>0t/.乙或｛7,充分性不成立，B错误：

'7[a<b[a>b

对于C,当一』<-L<0时，a>h>0,可得至C正确；

ba

/、>0I6Z<0

对于D,当小时,4j)>。，产”犷充分性不成立，D错误.

故选：c.

2.（2022•贵州毕节•高一期末）对于实数x,"-3<x<0”是“x<2”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用定义法即可判断.

【详解】充分性：由—3<x<0,能推出x<2,所以—3<x<0是x<2的充分条件，

必要性：由x<2,不能推出-3<x<（）,所以—3<x<0是x<2的不必要条件.

故选A.

二、多选题

3.（2022.河南.永城市苗桥乡重点中学高一期末）使x-L,0成立的一个充分条件可以是（）

X

A.x<-lB.0<x<l

C.一掇!k1D.%,1

【答案】AB

【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解.

1V2-1

【详解】x——KOn------<0=>0<x<l^£x<-l,

xx

故使x-%,0成立的一个充分条件的X的范围应该是（-8,-1］（0,1］的子集.

故选：AB.

4.（2022・湖南•高一课时练习）（多选）下列“若p,则g”形式的命题中，p是q的充分条件的有（）

A.若xVl,则x<2B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似

C.若|%快】，贝1」在1D.若必>0,则a>0,b>0

【答案】ABC

【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可.

【详解】由x<l,可以推出x<2,所以选项A符合题意；

由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；

由因广，可以推出存1,所以选项C符合题意；

由出?>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-l,所以本选项不符合题意，

故选：ABC

三、解答题

5.(2022•江苏•高一)已知集合A={x卜24x46},B={x|l-/n<x<l+/n,m>0}.

(1)若AuB=A,求实数，〃的取值范围；

⑵若xeA^xe8的充分条件，求m的取值范围.

【答案】(1)(0,3],(2)[5,+^)

【分析】(1)根据AuB=A,由求解；

(2)根据xeA是的充分条件，由A包8求解.

(1)解：因为A={x|-24x46},B=[x\\-m<x<\+m,m>()],且AuB=A,

m>0

所以80,则T-〃亚-2,

1+m<6

解得0<，*43,

所以实数小的取值范围是(0，引；

(2)因为xeA是xe3的充分条件，

所以怂8,

m>0

贝1卜1-皿4-2,

\+m>6

解得机25,

所以m的取值范围是[5,+8).

题型六：必要条件的判定及性质

一、单选题

1.(2022•湖北•高一阶段练习)如果关于x的一元二次方程/+改+人=。的两个解是毛，巧(其中占<三)，

而且不等式/+女+》<0的必要条件是那么()

A.-1?%|x2?1B.玉4-1<14々

C.-1<X]<l<x2D.Xj<-1<x2<1

【答案】A

【分析】由必要条件的定义和一元二次方程的解可得选项.

【详解】解：因为不等式r+or+bvO的必要条件是关于x的一元二次方程/+6+。=0的两个

解是芭，x2(其中X1<W),

所以-1?%x2?1,

故选:A.

2.（2021.湖南.麻阳苗族自治县第一中学高一期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其

《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推

断，其中最后一句"攻破楼兰''是"返回家乡”的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分必要条件判断即可得解.

【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，

故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，

故选：A.

3.（2022・湖南・新化县教育科学研究所高一期末）“两个三角形相似''是"两个三角形三边成比例'’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；

反之：由“两个三角形三边成比例”可得到"两个三角形相似”，即必要性成立，

所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.

故选：C.

二、多选题

4.（2022•江苏•高一单元测试）（多选）下列“若p,则（?”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）

A.若x,y是偶数，则x+y是偶数B.若。<2,则方程N—2x+a=0有实根

C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D.若帅=0,则。=0

【答案】BCD

【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】A：x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数，因为x,y可以是奇数，不符合题意；

B：当方程2r+a=0有实根时，贝!］有（-2）?-4a*0=>a41,显然能推出a<2,符合题意；

c：因为菱形对角线互相垂宜，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；

D：显然由。=0推出必=0,所以符合题意，

故选：BCD

三、填空题

5.(2022•全国•高一)给出下列命题：

①己知集合A={xl/-4<0,且xeN},则集合A的真子集个数是4；

②“x=—l"是“_5》-6=0”的必要不充分条件；

③是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

④设,则“"0”是"而*0”的必要不充分条件

其中所有正确命题的序号是.

【答案】③④

【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的

推出关系，即可判断正误.

【详解】①A={x]-2<x<2,x€N}={0,l},故真子集个数为2?—1=3个，错误；

②由/一5工一6=0—6)(工+1)=0,可得％=6或x=-l,故“工二一1”是一5%一6=0”的充分不必要条件，错

误；

③由/(x)=x2+x+。开口向上且对称轴为了=-《，只需，(0)=。<0即可保证原方程有一个正根和一个负根,

故是“方程*2+》+〃=()有一个正根和一个负根，，的必要不充分条件，正确；

④当“W(),6=0时，而w0不成立；当必40时，“HO且故“awO”是“而*0”的必要不充分条件,

正确.

故答案为：③④

6.(2021•湖北孝感・高一期中)写出土彳<0的一个必要不充分条件

【答案】x<3(答案不唯一)

【分析】解分式不等式的解集，再写出一个集合真包含不等式的解集的条件；

x-2

【详解】—<0^-l<x<2,

X+1

{x|-l<x<2)c(x|x<3),所以x<3满足题意

故答案为：X<3

四、解答题

7.(2022•全国•高一专题练习)已知命题P：方程/+戊+/=0没有实数根.

(1)若「是真命题，求实数，的取值集合A；

(2)集合8=若reA是/€8的必要条件，求a的取值范围.

【答案】(l)4="|0vf<4},⑵/：

【分析】(1)列出关于f的不等式即可求得实数f的取值集合4

(2)分类讨论并列不等式组去求a的取值范围.

(1)若P是真命题，则△=»?—4f<0,解得0<f<4,则A={“O<f<4}.

(2)因为是feB的必要条件，所以8=4,

当8=0时，由2a—得aN2,此时8=A,符合题意；

2。—1<a+1

当840时，则有，2a-120,解之得;4a<2,

a+1<4

综上所述，a的取值范围为“zg.

考点二：充要条件

题型七：充要条件的证明

一、单选题

1.(2021.河南.高一阶段练习)已知实数小b,则“(a+l)|a+l|+S+l)M+U<0”是“a+6+2<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义判断，求解注意分类讨论.

【详解】当(a+l)|a+l|+S+l)|b+l|<0时，则a+1,》+1中至少有一个数小于0,不妨设此数为a+1,

若匕+1>0,则一(a+1)+(6+1)2=(—+a+2)(l-a)v0,因为b—a>0,所以a+b+2<0.

若b+l=0,则a+匕+2<0显然成立.

若匕+1<0,则a+b+2<0也显然成立，所以充分性满足；

当a+b+2<0时，则。+1,6+1中至少有一个数小于0,不妨设此数为a+1,

若b+l>0,则6-a>0,所以(a+l)-|a+l|+S+l)•物+1|=-(4+1丫+9+1)2=(匕+a+2)伍一a)<0,所以

(a+l)|a+l|(/?+l)|/?+l|<0.

若b+l=O,则a+l<6+l=0,此时(a+l)|a+l|+(b+l)M+U<0显然成立.

若6+1<0,此时(4+1)卜+1|+。+1)|。+1|<0也显然成立，所以必要性满足.

所以“(4+1),+1|+(/?+1)卜+1|<0”是“4+6+2<0''的充要条件.

故选：C.

二、填空题

2.(2022•江苏•高一)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中

选出适当的一种填空：

(1)MC中，/。=90°是482=4。2+3。2的；

(2)x>0是xNl的；

(3)x=2是W=4的；

(4)0cx<2是l<x<3的.

【答案】充要条件；必要而不充分条件；充分而不必要条件：既不充分又不必要条件.

【分析】根据充分性、必要性的定义逐一判断即可.

【详解】空1：由NC=90°能推出A4uAC'BC:由AB2=AC、BC2能推出NC=90。，

所以ABC中，NC=90。是AC?+BC?的充要条件；

空2；由x>0不一定能推出xNl,比如x=g,由xNl能推出x>0,

所以x>0是的必要而不充分条件；

空3：由x=2推出Y=4,由r=4不一定能推出x=2,比如x=-2,

所以x=2是/=4的充分而不必要条件；

空4：由0cx<2不一定能推出1cx<3,比如％=,，由1cx<3不一定能推出0<x<2,比如x=2.1,所

2

以0<x<2是l<x<3的既不充分又不必要条件.

故答案为：充要条件；必要而不充分条件；充分而不必要条件；既不充分又不必要条件.

三、解答题

3.(2022•湖南•高一课时练习)求证：(42+4；)(6+以"(4也+生优)2对任意实数为，/，瓦,b2成立，等

号成立的充分必要条件。色-4仇=0.

【分析】化简⑷+短岫2+仔)-(3+wa)?可得(3-02)2，再根据充分条件和必要条件的定义即可得

出结论.

【详解】证明：⑷+/2乂牙+&2）_（她+外包）2

=Qj6j4~6f|~^2~+Q/4-+Q2""4——〃「"］一-2%瓦61加2—〃2~4一

=+a；b：-2〃也生包

二（她-妙2）220，

当且仅当。也-出仇=。时，取等号,

所以当地-她=0时，（“；+。；）（斤+“）2（3+生4）2对任意实数”|，出，耳,打成立，等号成立，

当（4；+用）（月+记）44向+生&）2对任意实数4,a2,b1,与成立，等号成立时，afi2-a^=0,

所以（a；+W）传+以”（3+32）2对任意实数4,%，4，4成立，等号成立的充分必要条件哂-她=。.

题型八：探求命题为真的充要条件

一、单选题

1.（2022・全国•高一）“尸2”是“尸4=0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】对V-4=0求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案

【详解】由题，将尸2代入户4=0,等式成立，所以“L2”是“后4=0”的充分条件；

求解丁-4=0,得到户±2,故"齐=2”是“犬-4=0”的不必要条件；

故选：A

二、多选题

2.（2021♦黑龙江•齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（）

A.“9-2》=0"是晨=2”的必要不充分条件

B."x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件

C.当"0时，"2_4“c<0”是“方程加+法+c=o有解，，的充要条件

D.若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.

【详解】对A,由Y-2x=0得至lJx=0或x=2.所以由x=2可以得至l]x?一2x=0，反之，若x=0,满足x?-2x=0

成立，但显然得不到x=2.所以A正确；

对B,由x>2且y>3显然可以得到x+y>5,但若x=6,y=l,满足x+y>5,但不满足x>2且y>3.所以

B正确;

对C,a*0时，方程+fex+c=0有解-4ac20.所以由6?-4ac<0得不到方程ax?+bx+c=0有解，

反之方程62+反+c=0有解，也无法得到从-4ac<0.所以C错误.

对D,若〃是q的充分不必要条件，则g是p的必要不充分条件.所以D正确.

故选：ABD.

3.（2021・安徽•高一期中）已知。是『的充分不必要条件，9是，•的充分条件，s是r的必要条件，夕是s的必

要条件，下列命题正确的是（）

A.『是4的必要不充分条件B.『是,，的充要条件

C.「是'的充分不必要条件D.4是s的充要条件

【答案】BD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论.

【详解】由题意得，P=>r,〜p,qnr,r=>s,snq,所以g=s,5<=>r,qor,

所以「是s的充要条件，夕是5的充要条件，「是夕的充要条件，

故选：BD.

4.（2022.广东肇庆.高一期末）下列说法中正确的有（）

A.“x>3”是“x>2”的必要条件

B.“x>l”是“7>1”的充分不必要条件

C."x=2或x=-3”是“d+x—6=0”的充要条件

D.“a>b”是“/>从,，的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.

【详解】对于A,“x>2”成立，“x>3”不一定成立，A错误；

对于B,“x>l”可以推出“炉>[，，,

取x=-2,得/>1,但一2<1,

所以不能推出“x>l”，B正确；

对于C,V+x—6=0的两个根为x=2或x=—3,C正确；

对于D,"a"”不能推出“/>〃，，，同时也不能推出“”>6”，口错误.

故选:BC.

5.(2021.浙江・丽水外国语实验学校高一阶段练习)在整数集Z中，被5除所得余数为人的所有整数组成一

个“类”，记为因，即伙]={5n+布eZ},%=0,1,2,3,4.则下列结论正确的是()

A.2011e[l];B.Z=[0]51]52]53]54]；

C.-3e[3]；D.整数0，b属于同一“类”的充要条件是“"北⑼”.

【答案】ABD

【分析】根据因的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：2011除以5,所得余数为1,满足[1]的定义，故正确；

B：整数集Z就是由除以5所得余数为0」,2,3,4的整数构成的，故正确；

C：-3=5x(—1)+2,故—3矶3],故错误；

D：设。=5〃|+肛,6=5丐+”，《],%GZ,小，叱e(0,1,2,3,4),

则a-b-5^-%)+〃?1-叱；

若整数。，b属于同一“类”，则叫一吗=0,所以a-赤身；

反之，若a-be[0],则叫-瑕=0,即〃4=吗，a,6属丁,同一“类”.

故整数。，b属于同一“类”的充要条件是““-6e[0]”，正确.

故选：ABD.

三、解答题

6.(2022・湖南•高一课时练习)通过分析初中学过的数学知识，探讨逻辑用语和集合的联系.(例如，“若xN2,

则x>l,反之不然”可表述为[2,田)(1.-KX)).)

[分析】把逻辑用语的知识等价转化为集合的关系得解.

【详解】解：X22是xNl的充分条件，U\ix>2=>x>\,可表述为[2,+co)[l,+oo)；

xNl是xN2的必要条件，EPx>2=>x>l,可表述为U,+oo)[2,+<»);

XN2是xNl的充分不必要条件，即x22=xNl,xNl不能推出XN2,可表述为[2,y)[1,+a))；

xNl是XN2的必要不充分条件，即x