高中数学：崇仁中学高一数学寒假作业六答案

第06练函数的概念与表示

积累运用

【知识梳理】

i.函数的概念

一般地，设4,8是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,

概念按照某种确定的对应关系了,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，

那么就称力为从集合A到集合B的一个函数

三对应关系

要定义域工的取值范围

素值域与x的值相对应的y的值的集合{/WIxGA}

2.区间

设a,b^R,且a<b,规定如下:

定义名称符号数轴表示

闭区间—l----1_.

一ab

{x\a<x<h}开区间3,b)—I___I_.

ab

半开半

[mb)—I___I_►

闭区间ab

半开半

3，一-J___I_.

闭区间ah

[x\x^a][a,+0°)-I________.

a

{小(〃，-I_______

>a}+0°)a

______I—>

{x|xWa}(­°°,a]a

(—8,)--------1—>

{x\x<a}aa

R(—°°,+°°)

,

3.同一个函数

1）前提条件：（1）定义域粗回；（2）对应关系相同.

2）结论：这两个函数为同一个函数.

4.常见函数的值域

1)一次函数贝x)=ox+伙”W0)的定义域为R，值域是R.

2)二次函数犬%)=加+加+°3*0)的定义域是R,

当。>0时，值域为史子，+8),

当“<0时，值域为(-8,4%”.

5.求函数的定义域

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次

根式的被开方数非负；③y=x。要求/0;④实际问题：若y=f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问

题的约束.

(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

(3)对于抽象函数的定义域：

①若式x)的定义域为［a,b\,则Hg(x)］中，g(.x)e［a,b］,从中解得x的解集即Hg(x)］的定义域.

②若_/［g(x)］的定义域为［m，n］,则由何小，用可确定g(x)的范围,设“=g(x),则/［g(x)］=/(")，又_/(〃)

与7U)是同一个函数，所以g(x)的范围即兀v)的定义域.

③已知力9(X)］的定义域，求力〃(刈的定义域，先由力研》)］中x的取值范围，求出夕(x)的取值范围，即./(X)

中的x的取值范围，即〃(x)的取值范围，再根据夙x)的取值范围便可以求出力〃(刈中x的取值范围.

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号

“U”连接.

6.求函数值域的常用方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.

(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.

(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于A%)

=ax+6+、cx+d(其中a,b,c,d为常数,且acWO)型的函数常用换元法.

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求

值域.

7.函数的表示法

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

函数三种表示法的优缺点比较

优点缺点

一是简明、全面地概括了变量间的关系；

解析不够形象、直观，而且并不是所有的函数

二是可以通过用解析式求出任意一个自

法都可以用解析式表示

变量所对应的函数值

列表不通过计算就可以直接看出与自变量的它只能表示自变量取较少的有限值的对

法值相对应的函数值应关系

图象直观形象地表示出函数的变化情况，有利只能近似地求出自变量所对应的函数值，

法于通过图象研究函数的某些性质有时误差较大

段函数

1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.

2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交

集是空集.

3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

9.求函数解析式的四种常用方法

⑴换元法：设尸g(x),解出x,代入/(g(x)),求剂的解析式即可.

(2)配凑法：对/(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可.

(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.

(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求

解.

【易错点拨】

1.求函数定义域时非等价化简解析式导致错误.

2.用换元法求值域时，忽略中间变量的取值范围.

3.误认为_/(g(x))与人风x))中含义相同.

4.求函数解析式时易忽视定义域.

5.作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.

6.求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.

墟」________

［基础过关练

1.(2021・四川•雅安中学高一期中)下列图象中不能作为函数图象的是()

【答案】B

【解析】

本题考查函数的定义和函数图像的含义.

能作为函数图象，需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得

出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交

点.则B不能作为函数图象.故选B

x-3,x>5

2.（2021・河北・石家庄市第六中学高一期中）若函数/（x）=j〃x+2）,x<5,则式为=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

fx-3,x>5

,•W=L/+2x%<5-/.X2）=X2+2）=X4）=y（4+2）=X6）=6-3=3.

故选：B.

3.（2021.黑龙江.哈尔滨市第六中学校高一期中）函数y=7三+（2x+l）°的定义域为（）

【答案】B

【解析】

3x?/f1—2x>0]।

要使函数y=1—=2X+1有意义，则有<解得且X#-；

Jl-2x'[2x+l=022

所以其定义域为（Y°，g）

故选：B

4.（2021.陕西.西安市第七十五中学高一期中）下列各组函数中，是同一函数的是（）

A.，。)=彳°与8(力=1B./(x)=|M与g(x)=%?

C./(x)=A-4Jgg(x)=x-2D.f(x)=x+\,xe(O,l)与g(x)=W+l,xe(0,l)

x+2

【答案】D

【解析】

对于A,/(x)=x°的定义域为{xlxwO},g(x)=l的定义域为/?,故它们的定义域不同，故不是同一函数；

对于B,/(x)=wvg(x)=ym=x对应法则不同，故不是同一函数；

对于C,由于/(©=三二1的定义域为{x|xx-2},g(x)=x-2的定义域为R,故它们的定义域不同，故不

x+2

是同一函数；

对于D,/(x)=x+Lxw(0,l)与g(x)=|X+l=x+l,xe(O,l),定义域与对应法则均相同，故是同一函数.

故选：D

5.(2021•浙江・乐清市知临中学高一期中)己知函数/(兀+1)=寸+2犬—3,则/(x)=()

A.x2+4xB.x2—4

C.x2+4x-6D.x2-4x-\

【答案】B

【解析】

因为〃X+1)=(X+1)2-4,所以f(x)=Y-4.

故选:B

6.(2021.四川.射洪中学高一期中)已知函数月U)的图象如图所示，则产/U)的定义域是，值

域是.

【答案】[-3,3][1,5]

【解析】

解：由函数图像可知，函数的定义域为「3,3],值域为[1,5],

故答案为：[-3,3],[1,5]

7.（2021・广东•珠海市第二中学高一期中）集合A={x|xS5且/1}用区间表示

【答案】（T»,1）U（1,5]

【解析】

因为集合4={》除5且存1},表示从负无穷到5（包括5）去掉1,所以用区间表示为（f,l）U（l，5l.

8.（2021・天津•崇化中学高一期中）求下列函数的定义域：

⑴"锦P；

(2)/(x)=(2x+l)°-

【答案】(1){x|x4-l或xN4且XH-3}；(2){x|-l<x40且

【解析】

X2-3X-4>0

（1）要使函数有意义，只需

-2*0'

解彳导光<一1或XN4且"-3

所以定义域为卜上4-1或X"且XW-3}

—!——i>o

（2）要使函数有意义，只需x+1一

2x+lw0

-l<x<0

,1

XW——

2

2

所以定义域为{x|—l<xV0且X*-；},

9.（2021•河北•石家庄市第二十七中学高一期中）（1）求函数y=2x->/ri的值域;

3r-1

（2）求函数y=J的值域.

X+1

【答案】⑴:+8）⑵卜|k3}

【解析】

（1）设f=则x=/+l.•.y=2（/+l）-r=2/-f+2（f20）

•,・当'=，时，>min=~——+2=—

4/m,n848

.二y=2x—Jx—l的值域为,+8

O

⑵y=\3("4=3」

x+lX+lX+1

4cOr_1

•.・----工0yw3.•r=：3的值域为{y|"3}

x+1

10.（2021・宁夏・银川二中高二期末（理））已知函数/（x）=|x+l|T2x-3|

（2）求不等式的/。）＞1的解集.

【答案】（1）图象见解析；（2）。,3）

【解析】

x-4,x<-1

3

⑴f(x)=<3x-2,-,

-x+4,x>-

2

函数y=/*）的图象如图所示:

(2)由f(x)的表达式及y=/(x)的图象知，/(x)=l时，x=l或x=3,/。)>1时，l<x<3,

所以不等式的/(x)>l的解集为(1,3).

II.(2021・广东・深圳市南山外国语学校(集团)高级中学高一阶段练习)(1)已知函数y=/(x)的定义域

为[-2,3],求函数丫=小上3)的定义域；

x-2

(2)已知函数y=/(3x—7)的定义域为[―2,3],求函数y=/(x-l)+/(1—X)的定义域.

【答案】(1)Aju。,#；(2)[-1,3].

【解析】

〃3X-7)f-2<3x-7<3-<x<—

(D对于函数°,有°n，解得33,

-x-2[x-2*0[户2

因此，函数>=这二D的定义域为K，21U(2,：]；

x-2JV3.

(2)因为函数y=〃3x-7)的定义域为[―2,3],即—24x43,则—1343x—742,

所以,函数y=f(x)的定义域为[-13,2],

-13<x-l<2

对于函数y=/(x-i)+〃i—x)解得一14x43,

-13<l-x<2

因此,函数y=〃xT)+〃lr)的定义域为[-L3].

12.(2021・全国•高一专题练习)根据下列条件，求函数/(x)的解析式;

(1)已知f(x)是一次函数，且满足3/(x+l)—2f(xT)=2x+17；

(2)已知/(x+J=+y；

(3)已知等式/(工一力=，(X)一)，(2》一丫+1)对一切实数*、丫者口成立，且〃0)=1；

(4)知函数/(x)满足条件2/(x)+f6J=3x对任意不为零的实数x恒成立

【答案】(1)/(x)=2x+7；(2)f(x)=x3-3x(x>2x<-2)；(3)/(x)=x2+x+1；(4)f(x)=2x-(x0).

【解析】

(1)设/(幻=丘+仇2工0),则

3f(x+l)-2f(x-1)=3[k(x+l)+b]-2[k(x-V)+b]=kx-^-b+5k=2x+17

fk=2[k=2

所以77u，解得：L＞所以/(X)=2X+7；

+5k=17[b=7

-

-3

,4+£l=F=1-30+£|,

令f=x+L山双勾函数的性质可得，4-2或fN2,

X

f(t)=t3-3t,

f(x)=x3-3x(x22或x4-2)

(3)因为/(x—y)=/(x)-y(2x-y+l"l一切实数x、y都成立，且〃o)=i

令x=y则〃0)=/(x)-x(2x-x+l),又因为f(O)=l

所以/(O)=/(x)-x(x+l