《数学教育学》复习指导

《数学教育学》复习指导

胡久忠一、《数学教育学》期末考试重点内容分析数学教育学的对象

第一章数学教育发展概述

国际数学教育改革的特点（数学课程目标，数学课程内容，数学教学与评价）

绪论数学教育学的对象

数学课程目标改革的特点：

1.数学课程目标更加关注人的发展，关注学生数学素质的提高；

2.数学课程目标面向全体学生；

3.数学课程目标关注个别差异，而不是统一模式；

4.数学课程目标更加注重联系现实生活实际。具体表现为：①注重问题解决；②注重数学应用；③注重数学交流；④注重数学思想方法；⑤注重培养学生的态度情感与自信心。

数学课程内容的改革特点：

1、数学课程内容的设计应考虑全体学生的需要。

2、数学课程内容范围应有所扩展，选择更多与学生生活密切联系的内容。

3、数学课程内容的选择应符合现代社会的需要，让学生学习现代社会所必需的、有用的数学。

4、考虑数学本身的发展，将现代数学中的新的内容和新的技术引入数学课程之中。

数学教学的改革特点：

1、强调学生在教学过程中的主动参与，教师在教学过程中，更多地是充当学生学习活动的促进者、学习环境的营造者。

2、充分注重学生的个别差异。

3、注重让学生在多样的学习活动中体验数学。

4、注重计算器与计算机等先进技术的应用。

数学学习评价改革的特点：

1、评价主体多样性

2、评价内容的多元化和开放性

3、评价方式的多样性高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。

第二章数学课程目标和内容

高中数学课程目标（总目标，具体目标）义务教育数学课程目标（总体目标，具体领域、总体目标的理解）

1、获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。

2、提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

3、提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

4、发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。

5、提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

6、具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

第三章数学学习的基本理论

数学学习过程的理解（数学认知结构，数学学习过程分析，“建构学说”）所谓数学认知结构就是学习者头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。数学学习过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程，数学学习过程可分为四个阶段：

1、输入阶段：实质上就是创设学习情境，给学生提供新的学习内容。学生原有数学认知结构与新学习内容之间发生认知冲突，使学习者心理上产生学习新知的需要。

2、相互作用阶段：相互作用有同化和顺应两种基本形式。同化，就是把新学习的内容纳入原数学认知结构中去，从而扩大原有认知结构的过程。顺应，就是改造原有认知结构，以适应新学习内容的过程。

3、操作阶段：通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，初步形成新的数学认知结构的过程。

4、输出阶段：通过解决数学问题，使初步形成的认知结构臻于完善，学生的能力得到发展，从而达到预期目标。数学学习的“建构学说”认为，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程。一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流、反省来主动建构。

1、任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由“外”到“内”的转化过程。

2、已有知识、经验等构成新的建构活动的必要基础。

3、与具体的、零散的知识相比，整体性的知识更为重要。

4、尽管数学知识的“建构”活动最终是学生相对独立地完成，但必定是在一定的“社会环境”之中完成。第四章数学教学过程、原则和方法

数学教学过程的分析（联系绪论）数学教学原则（具体与抽象相结合，严谨性与量力性相结合）几种数学教学模型的基本框架

数学教学过程是教师利用一系列手段（教科书、教具、技术手段）来实现的控制过程，是师生信息交互传递过程，是由师生双方协同活动来完成的。教师、学生与课程是传递系统的三个基本构成要素。教师与学生为信息传递和接收的主体，课程（知识）是这个传递系统的客体。数学教学论、数学课程论、数学学习论是数学教育学的主要对象。

教师、学生、教学内容、教学模型与方法是教学过程的最基本成分，这四个成分互相依存、互相联系、互相制约、互相作用。

1、教师是教学目的贯彻者，是教学活动的组织者和引导者。

2、学生是教师的工作对象，是教学效果和教学质量的体现者，离开学生，教师的活动就要落空。学生是教学的主体，必须充分调动学生学习的自觉性和积极性。

3、教学内容是教师和学生学的客观依据，离开教学内容教学失去了依据，教学质量失去评价的标准。

4、教学模型与方法是教师实现教学目标的重要措施。教师和学生是最活跃的两个基本成分，是教学过程的主要矛盾。充分发挥教和学的积极性和主动性，是提高数学教学质量的关键。例如，对抽象与具体相结合原则的理解与贯彻。高度的抽象性是数学学科的一大特征，其研究对象是形式化的思想材料，数学抽象有着丰富的层次，逐级抽象，且还伴随着高度的概括性，数学的抽象性还表现广泛使用符号。数学的抽象必须以具体素材为基础，任何数学概念、命题，甚至数学思想都有具体现实原理。数学抽象不仅以具体性为基础，而且还以广泛的具体性为归宿。在数学教学中，贯彻具体与抽象结合的原则，应从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的数学概念，上升为理论，再由抽象到具体应用理论去指导实践。

1、数学概念的阐述，注意从实例引入。

2、对于一般性的数学规律，注意从特例引入。

3、注意运用有关理论，解释具体现象，解决具体问题。

4、具体、直观仅是手段，培养抽象思维能力才是目的。第五章数学基础知识的教学

概念的分类、定义，概念的教学命题演算，蕴含命题的四种形式，逆命题的制作。数学证明的逻辑分析，数学命题的教学反证法、同一法、数学归纳法数学思想方法的教学（具体数学思维方法的应用）

何谓数学思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普通指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中所采用的各种方式、手段、途径等。数学思想与数学方法是紧密联系的。思想指导方法，方法体现思想。数学思想方法是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用，要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握。数学思想方法的教学过程一般通过“多次孕育、初步形成、应用发展”三个阶段，应用“化隐为显、循序渐进、学生参与”三条原则。（1）深入挖掘蕴含在教材内容中的思想方法（2）紧密结合教材，有计划、有步骤地系统开展数学思想方法的教学。（3）展现同数学思想方法相联系的思维活动过程。（4）加强数学思想方法的训练，逐步提高学生运用数学思想方法分析问题和解决问题能力。第六章数学思维

发散思维、直觉思维含义、特征与培养

第七章数学技能和数学能力的培养

数学能力的结构；数学技能的形成数学实践能力的培养

数学能力的结构：数学观察力、数学记忆力、空间想象力、数学思维力、数学化能力

数学能力培养的基本途径：（1）提高学生学习的自觉性、积极性，是培养能力的前提。（2）学好数学基础知识，是培养能力的基础。（3）改进教学方法和教学组织，是培养能力的关键。（4）注意各学科知识的渗透、综合是培养能力的重要措施。（5）提高教师的知识和业务水平，是培养能力的重要条件。

几种数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学实践能力）及其培养。例如，在中学数学教学过程中培养学生数学实践能力途径：（1）教学内容的选择应符合现代社会的需要，让学生体会数学的价值。（2）面对实际问题，鼓励学生尝试从数学角度，探索问题的解决办法。（3）面对新的数学知识时，让学生能主动寻找其实际背景，并探索其应用价值。（4）重视数学在其它学科中的应用，搜集数学在各种领域广泛应用的实际例子。（5）结合实际问题开展数学建模活动，开展研究性学习。二、试卷题型（类似综合练习）

1、

填空（15分）2、

问答题（40分）3、

解答、证明题（30分）4、

作业评讲题（15分）三、几个例子：

1、“等腰三角形顶角平分线是底边上的中线。”四种命题形式。P:△ABC中AB=AC；q：△ABC中∠BAD=∠DAC；r:AD是BC边上的中线；原命题：或或逆命题：若三角形一角的平分线是对边的中线，则这三角形两边相等；偏逆命题：

等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线；否命题：

若三角形两边不等则这两边夹角的平分线不平分对边。若△ABC中AB≠AC或AD不平分∠BAC，则AD不是BC边的中线逆否命题：若三角形一角的平分线不平分对边，则该三角形的另两边不等.

若△ABC中AD不是BC的中线，则AB≠AC或AD不平分∠BAC。原命题的否定命题等腰三角形顶角平分线不是底边的中线。

2、证明：圆内非直径两弦必不能互相平分。

P:两弦AB、CD非直径，q:两弦AB、CD不能互相平分证明1：设两弦AB、CD互相平分于M，（

）连AC，CB，BD，DA，则，四边形ACBD为平行四边形∴∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC而∠ADB+∠ACB=180°，∠DAC+∠DBC=180°∴AB，CD是直径（）∴原命题成立。

DABMC逻辑分析：，利用逆否命题反证法。证明2：设非直径两弦AB，CD互相平分于M，

连OM，则OM⊥AB，OM⊥CD

从而AB，CD重合（）与已知矛盾。∴原命题成立逻辑分析：归谬反证法

DMABOC3、同一法的理论依据是同一原理：两个互逆命题，如果条件与结论中所含事项都是唯一存在的，且他们所指的是同一对象时，那么当其中一个命题正确时，另一个命题也正确。同一法步骤如下：①先作出符合命题结论的图形。（逻辑上构成逆命题或偏命题的假设）②证明所做图形符合已知条件（证明逆命题或偏逆命题）③根据唯一性，确定所作图形与已知图形符合（确定符合同一原理）。④肯定原命题成立

例：用同一法证明，并对证明进行逻辑分析。正方形ABCD内一点P，若∠PCD=∠PDC=15°，则△PAB为正三角形。证明：在正方形作点P’，

使△P′AB为正三角形；（作出符合结论的图形，构成偏逆命题的假设）

连P’C，P’D，则∠AP’D=∠ADP’=75°；∴∠P’DC=15°同理，∠P’CD=15°。

DCBP’PA（证明所作图形符合已知条件，即证明了逆命题）由在线段CD同侧，底角等于15°的等腰三角形顶点是唯一的，从而P、P’重合。（根据唯一性，判断所作图形与已知图形重合，即判断原命题符合同一原理）∴△PAB为正三角形。（断定原命题成立。）

4、讲评作业：（如有错误，指出错误之处，写出正确解答）用数学归纳法证明：若，

,则证明：n=1时，命题成立;假设n=k时命题成立,即当时，当时，由归纳假设，∴∴∴对一切正整数命题成立。解答：应用归纳法假设错误，从而出现特例证明：当时命题成立，假设时命题成立，即时，有；当时，若时，命题显然成立，若不全为1，则至少一个大于1而另一个小于1，不妨设，由归纳假设∴∴对正整数n,原命题成立。5、综合练习（一）的第六题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们的棱长相等，问