高中数学：6-9平面向量数量积的坐标表示（学案）

第09讲平面向量数量积的坐标表示

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课程标准课标解读

1.理解与掌握平面向量数量积的坐标表

示及数量积的坐标公式；

2.掌握向量数量积坐标表示的相关运算通过本节课的学习，要求掌握与平面向量数量积有关的

公式及运算定律；计算、运算性质、运算定律，并能根据平面向量的平行、

3.掌握平面两向量的垂直、共线的坐标表垂直等位置关系，进行向量数量积的有关求值与待定参

示及判定方法与性质；数的解决问题.

4.能利用平面向量的位置关系求待定参数，

并能解决与数量积有关的计算、求值问题.

四场知识精讲

知识点

1.平面向量数量积的坐标表示

在平面直角坐标系中，设分别是X轴，y轴上的单位向量.由于向量

a=(尤।,X),=(x2,y2)分别等价于a=+yj,b-x2i+y2j,根据向量数量积的运

2

算，有a•b=(x"+yj)-(x2i+y2j)=x]x2i+

2

xxy2i-j+x2yxj-i+y,y2j,由于为正交单位向量，故『=f=],ij=J<=0,

从而=外%2+X%.即。2=%々+%％，其含义是：两个向量的数量积等于它们

对应坐标的乘积的和.

2.平面向量的模的坐标表示

(1)平面向量的模的坐标公式

若向量a=(x,y)，由于|a|=J^,所以|a阿+尸.

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.

(2)平面内两点间的距离公式

已知原点0(0,0),点A(X|，X),8(X2，>2)，则

AB^OB-OA=(x2,y2)-{xy,y})={x2-xx,y2-y^,于是

IABI=Jaf）?+（%-yr-

其含义是：向量A5的模等于A,B两点之间的距离.

3.平面向量垂直的坐标表示

已知非零向量a=（%,乂）,6=（*2，乂），则a_Lb=a・》=0u>5々+y%=0.

（如果a=（xi，%）,b=（X2，以），则a〃〃的充要条件为xi以-X2»=0）

4.平面向量夹角的坐标表示

已知非零向量8=（%,%），。是。与方的夹角，则

cos6=a&=x电+坐

\a\\b\斤天.后寿

【即学即练1】己知向量7=（1,1），向量：与向量1的夹角为夸，且％二=7,则『|的值

为（）

A.y/2B.1C.2D.g

【答案】B

【分析】先求出/卜再利用平面向量数量积的定义求出0.

【详解】.•卡卜后手=&,

由平面向量数量积的定义可得机,〃=，"•〃3芬=&〃x|--U-i,解得巾=1,故选:

B.

【即学即练2】.设向量：=（-1,2），7=（见1），如果向量:+2^与平行，那么的

值为（）

7135

A.--B.——C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】求出）+2^与2：-Z的坐标，根据两向量平行求出办的值，即得解.

【详解】a+2b=（-l+2m,4）,2a-ft=（-2-m,3）.所以（-1+2m）x3-4（-2-加）=0,；.m=一1

所以=-1x（-;）+2=|.故选：D

【即学即练3］若向量0=(6,I),h=(l,G),则q与匕的夹角为().

九c兀八兀一兀

A.-B.-C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出a,b的数量积，再由向量的夹角公式,

计算即可得到.

【详解】a=(6/)，b=(1,^3),•'a,b=>/3x1+1x5/3=2G，\a|=『=2,

距同可=2,

设“厉5夹角的余弦值为/•.•cos0=%;=14=q,所以e=g.故选：c.

\a\\b\2x226

【即学即练4】已知向量。=(一1,2),h=(2,t),且那么，等于()

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】A

【分析】根据向量平行的坐标运算列出方程，即可解出答案.

【详解】因为”=(一1,2),力=(2,f),且a〃方，所以王必=々y即—lx/=2x2,解得，=T.

故选：A

Ypp

【即学即练5】已知向量”=(1,2),b=(W,1),且向量6满足协("+。)=3,则向量4

在b方向上的投影为()

A.0B.巫C.2或夜D.2或逝

22

【答案】D

【分析】把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可.

j,r1

【详解】向量a=(l，2),b=(7/7,I),b-(a+z?)=3,可得："尸+m=0,解得团=0,m=-1,

H.h

当"7=0时，b=(0,1),向量。在b方向上的投影为一1=2,

闻

当〃?=-1时，彼=(-1,1),向量♦在很方向上的投影为半=4==《，故选：D.

网V22

【即学即练6］向量。=(-1,2),力=(1,3),下列结论正确的是()

A.a//iB.aS-hC.a//(a叫D.a_L(a-6)

【答案】D

［分析］由平面向量共线和垂直的坐标关系可判断各选项的正误.

【详解】由已知可得a-b=(-2,-1),因为-Ix3x2xl,则a与b不平行，A错；

因为a为=-1+6w0,则a与匕不垂直,B错；

因为（-I?工2x（-2）,则a与”6不平行，C错；

因为a・（£_,=（-1）x（-2）+2x（-1）=0故我,叫，D对.故选：D.

【即学即练7】已知向量a=（2,,〃），b=（2,4）,若必〃则,-6卜（）

A.75B.5C.2卡D.4石

【答案】B

【分析】由向量的数量积可得m=7,再利用向量的坐标运算即得.

【详解】由向量a=（2,w）,6=（2,4）,a_1_6，,2X2+4X〃?=0,所以5=-1,

<7=（2,-1）,/.a-h=（0,-5）,即卜-耳=5.故选：B

【即学即练8】在平面直角坐标系内，已知A（0,5）,5（-l,3）,C（3,f）.

（1）若f=l,求证：ABC为直角三角形；

（2）若存在实数兀，使A8=/UC，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2=-1,t=H.

【分析】（1）根据向量计算否./=（）,即可得证；（2）根据向量的数乘计算即可求解.

【解析】⑴A（0,5）,8（-1,3）,C（3J）,"1,...G=（T,_2）,宓=（4,-2），

.BC=-4+4=0'>,BC...△ABC为立角三角形

（2）由于A8=4AC，所以AB=（—l,-2）=4AC=（3；l,加一5丸），贝”—ZUALS）,

解得人r=ll.所以4=-1,r=ll.

【即学即练9】已知〃、b、c为同一平面内的三个向量，其中：=（1,2）.

（1）若°=（一2,%），且,〃〃，求c;（2）若b=（l,"z）,且〃与人垂直，求6.

【答案】（1）c=（-2,-4）（2）1=（心；）

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）由2与征垂直，可得24=0,根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可：

【解析】（1）•.飞=（一2#）,;=（1,2）且2//a，，（—2）x2—lx%=0,%=T,.•二=（-2,-4）.

（2）由“与石垂直，得b=0,即lxl+2x/n=0.

【即学即练10】己知。为坐标原点，0A=（3,1）,OB=（-1,2）,0C与0B垂直，BC与OA

平行，求点C的坐标.

【答案】(14,7).

【分析】设C(x,y),根据0C与08垂直，3。与次平行，列出方程组，解之即可得出答

案.

【详解】设C(x,y),则OC=(x,y),8C=OC-OB=(x+l,y—2),

f-x+2y=0[x=14

因为OC与OB垂直，BC与04平行，所以1X+I_3()，_2)=0'解得()，=7，

所以点C的坐标为(14,7).

【即学即练11】已知a,Ac是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).

(1)若|们=2岔，且a/lb，求〃的坐标；

(2)若，=Ji6,且2d+c；与4。-3；,垂直，求a与「的夹角。.

【答案】

(1)6=(2,4)或6=(-2,-4).

⑵0=-.

4

【分析】

(1)设匕=(x,y),根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可;

(2)由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案.

【解析】⑴设6=(x,y),因为川外，所以y=2x.①

义忖=2技所以V+y2=20.②，由①②联立，解得或所以匕=(2,4)或

ft=(-2,-4).

(2)由(2d+C)±(4a-3c),得(2。+[(4。-3»=8。2-3^2-2a-c=0,

又|。=6,」|=屈，解得』，=5,所以cos*'；,广6:师二坐。只[0,2,所以。与C的夹

角*•

U能力拓展

考法01

1.平面向量数量积的计算：

2.向量的模

若向量a=(x,y),则|a|=+/；

若点A(x,%),B{X2,y2),贝(J|AB|=9-

【典例1】

(1)设向量a=(x,x+1),b=(l,2),且Q_L力，则m.

(2)已知向量。=(m，4),b=(3,-2),且。〃b,则加=

(3)已知向量BA=(g与

),BC=则Z4BC=

(4)设平面向量a=(l,2),b=(-2,y),若。〃b,则|3a+”等于

【答案】(1)--；(2)-6；(3)30°；(4)75.

3

2

【解析】(1)山题意，W«*=0,x+2(x+l)=0,

(2)因为a〃4所以-2%-4x3=0,解得a=-6.

1V3V31

(3)由题意，得cosEABC_BA/C?22=6,所以NABC=30。.

~\BA\\BC\~1x12

(4)因为a〃A,所以1-y-2x(-2)=0,解得y=-4,从而3a+b=(l,2),|3a+W=石.

【名师点睛】(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题

时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积

的运算律将原式展开，再依据已知计算.

(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的

坐标即可求解.

【典例2】已知a=(3,-1),8=(1,-2),求如〃，卜卜卜［,<a,b>.

【答案】a-b—5^|«|=>/10,|^|=A/5,<a,b>=—.

【分析】

利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】

由题意可知:a-A=(3-1).(1,-2)=3xl+(-l)x(-2)=5,

|<z|-\la-a-^32+(—1)'=VlO,忖=\lb-b=yj[2+(—2)'="J5,

,a-h5\/2兀

又因为c°s<a加>=而=而而=飞-,且04<。,6>4万，所以<“力>=].

【典例3】如图，在矩形ABCZ)中，AB=6,3c=2,点E为边BC的中点，点F在边

C£>上，若ABAF=g,求AE-BF的值.

/»

AB

【答案】y/2

【分析】本题可以用向量加法法则进行向量替换，也可以建立直角坐标系用坐标法计算.

【详解】方法一：

AEBF=(AB+BE)(BA+AF)=ABBA+ABAF+BEBA+BEAF

=-AB2+AB-AF+BE-BA+BE(AD+DF)

=-AB?+AB-AF+BE-BA+BE•AD+BE-DF

-—2+>/2+0+2+0=>/2•

方法.以A为原点，AB,AD所在直线为x，V轴建立平面直角坐标系.

由应得网川.C0S/E44闽闭=应,所以阿=1.故

8(夜,0),网夜,1),F(l,2),

所以AE=(及,1),BF=(1-&,2),所以AE-BF=41-(l->/2)+lx2=&

【即学即练12】已知点A(2,3),B(6,1),O为坐标原点，P为x轴上一动点.

(1)若AP上BP，求点P的坐标；

(2)当AP.8P取最小值时，求向量AP与3尸的夹角的余弦值.

【答案】(1)(3,0)或(5,0)；(2)-".

65

【分析】

(1)根据题意设出点P(x,0),利用坐标表示出4P、BP，根据AP8P=0列方程求出x的

值；

(2)由APBP是关于x的二次函数，求出最小值对应的AP、8P的值，再求AP与BP夹

角的余弦值.

【详解】

根据题意，设点尸(x,0),又A(2,3),5(6,1),得AP=(X-2,-3),BP=(X-6,-\),

(1)由APJ_8P，即Q.B户=(#2)06)+(-3)><(-1)=在-8*+15=0,解得x=3或x=5,

二尸的坐标为(3,0)或(5,0)；

(2)APBP=(x-2)(x-6)+(-3)x(-1)=jr-8.r+15=(A-4)2-I,

当x=4时，APBP取得最小值-1，此时AP=(2,-3),BP=(-2,-l),lAPl=Vi5,lBPl=>/^，

/•AP与BP夹角的余弦值为：8$。=H溜广芯1芯

考法02

2.平面向量数量积的综合应用

【典例4】已知三点4(2,1),8(3,2),0(-1,4).

(1)求证：AB1AD-,

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.

【答案】(1)答案详见解析；(2)(0,5),2A/5.

【解析】(1)VA(2,1),B(3,2),D(-l,4),

二AB=(1,1),A。=(-3,3).贝IJAB-AZ)=lx(-3)+lx3=O,

ABA.AD'即

(2),/Afi1AD,四边形ABC。为矩形，A8=OC.

/、fx+1=1fx=0

设C点的坐标为(X,y),则。C=(x+l,y-4),从而有｛,B[H,

[y-4=l[y=5

；.C点的坐标为(0,5).又30=(-4,2),|8。|=2百，

矩形ABC。的对角线的长度为2行.

【名师点睛】利用向量的坐标运算解决图形问题，常见的题型有：

(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根

据向量间的关系求解.

(2)证明两线段垂直：求证两线段所对应的向量的数量积为0即可.

(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可.

【典例5】已知。=(2,1),忖=2君.

(1)若二/4，求b的坐标；⑵若(5〃-2匕)“〃+6),求“与人的夹角.

【答案】

⑴(4,2)或(T-2)；(2)

【分析】

（I）设6=2“=（24彳），利用向量的模长公式可求得实数2的值，即可得出向量b的坐标;

（2）由已知可得（5£-24（£+万）=0,可求得cos<〃,6>的值，利用平面向量夹角的取值范

围即可得解.

【解析】⑴因为://力，设6=猫=（24孙则|*向百7=石风=2百，解得；l=±2.

因此,匕=（4,2）或（工-2）.

（2）由已知可得W=j22+『=石,因为（5〃一2匕），,+匕），

则（5a-26）・（a+/?）=5/-2%"+3.•力=3a/-15=0,可得”/=5，所以，

,ab1

cos<a,b>=<；~~「J~~.=一

I4W2,

0<<a,b><7V,则<〃/>=?.

【典例6】己知是相互垂直的单位向量，a=3i+4j,b=4i+3j,c=ma+nb，cYa,

Id=1,求相与〃的值.

2424

in=---,m=—,

3535

［答案］5或5

177

【分析】i,j是相互垂宜的单位向量，不妨设i,j是尤丁轴正方向的单位向量，则可用坐标表

示题中向量，由=求出C的坐标，再由向量相等得出肛〃的方程组，解之可得.

【详解】是相互垂直的单位向量，不妨设是苍y轴正方向的单位向量，则

。=(3,4)/=(4,3),

所以c=±([,-]]=(3〃7+4〃,4m+3〃),

因为cj_。，4=1,

L41/42424

3/H+44H=—,3m+4〃=——,m=---,m-—,

5解得＜35-35

得，3或，35或

5

4"?+3〃=一二4m+3n=^,n=—n=——

577

【典例7】设向量a=（-3cosa2sin。）.

2

Jr2cos--1

（1）当。=?万时，求"的值：⑵若6=（3,-1）,且。〃力，求-----J的值.

3^sin0+-\

【答案】⑴限⑵|.

【分析】(1)直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案.

(2)根据向量平行得到的9=:，再化简利用齐次式计算得到答案.

(2)a//b-贝ij-3cos6+3x2sin，=0,所以tan6=g,故

血sin((9+%]sin，+cos，tan9+l3,

【点睛】本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考

查学生的计算能力和综合应用能力.

【典例8】在平面直角坐标系工力中，已知向量几=(6,1)，fib=(x,y)，C£>=(-2,-3).

且屈〃

(1)求x与y间的关系；

(2)若公_L访，求X与y的值及四边形ABC短的面积.

【答案】

(1)x+2)，=0

[x=2,[x=-6,

(2)।或，四边形A3C0的面积为16

[y=-^[y=3.

【分析】

(1)由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出船，威的坐标，利用平行关系即可得到

x与y间的关系.

(2)由(1)得到X与y间的关系以及利用AC1BD数量积为0,通过联立方程分别解出X，y，

并确定A"，砺坐标•最后，由四边形对角线垂宜，可宜接由对角线长度乘积的一半求出四

边形面积.

(1)由题意得启=/^+Bb+cb=(x+4,y-2)，«c=(x,y).

因为庭〃启，所以(x+4)y-(y-2)x=。，即x+2y=0……①

(2)由题意得启=/+fib=(x+6,y+l)，BD=BC+CD=(x-2,y-3y

因为砺，所以公.访=0，即(x+6)(x-2)+(y+l)(y-3)=0,

整理得/+9+4x-2y-15=0.......(2)

联立①②产+八4；一2<5=。,解得

x+2y=0

记四边形48co面积为S.

fx=2,TT1T->

当［=_］时，AC=(8,0)，80=(0,-4)，贝!|S=2AC8。=16,

fx=~I->

当q=3时，AC=(0,4)，访=(-8,0)，则S=；A2BD=16

[x=2,\x=-6,

综上।或，四边形ABC。的面积为16.

【典例9】已知向量W=（8,-4），1=（x,l>①”以共线，②N-刀，〉

（1）若，请从以上两个条件中任选一个，求x的值;

（2）当*=2时，求；与成夹角。的余弦值.

【答案】

21

（I）选择①，x=-2；选择②，x=—：

（2）

5

【分析】（1）选择①，根据：工共线即可得出8+4X=0,解出x即可；选择②，先求出

,；_，=（83_5），根据即可得出（。氤[0,然后进行数量积的坐标运算即可求

出工的值；

（2）x=2时，可得出向量Z的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos。.

【解析】（1）如果选择①，:工共线，，8+4X=0,解得X=—2：

如果选择②，a-b=C8-x,-5）'且尸a,（a_b）.a=8（8-x）+20=0，解得工=m・

—>—>

ab]23

cosd===

（2）当x=2时，6=（2,1），,a/=12，1“|=40,|6|=6，4x/5x755'

【典例10】已知。为坐标原点，&=（2,5），办=（3,1），6b=（6,3），则在线段。C上是

否存在点M,使得而,而若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2211

【答案】

【分析】假设存在点M,且O力=4ob=(6/l,3/l)(0</lMl),求出血，儿加的坐标，根据平面

向量互相垂直时，它们的数量积为零，得到方程,解方程求出;I,最后求出点M坐标.

【详解】

解：设存在点M,且血=，女=(62,3孙0</141)

必=(2-62,5-32)，MB=(3-62,l-3/l),

因为而_1_而,所以血血=0，

W（2-6A）（3-6A）+（5-3A）（l-3A）=0=>45A2-482+ll=0=>A=1i^A=p

:.OM=满足题意.

【即学即练13】已知点A(m,2),8(1,1),C(2,4),

(1)若ICA+C8I最小，求实数m的值：

(2)若CA与CB夹角的余弦值为《，求实数用的值.

【答案】(1)m=3；(2)m=4或帆=一12.

【分析】

(1)可得出C4=(,”-2,-2),CB=(-l,-3),从而得出|C4+CB|=J(,"-3)2+25,从而可得出

ICA+CB|取最小值时m的值；

、一机+8

然后解出〃?的值即可.

⑵根据题意即可得出,4+4、屈=7

【详解】

解：（1）由题意，CA=（〃?-2,-2）,CB=（-l,-3）

于是CA+CB=（m—3,—5）,

所以|C4+CB|=J（，W-3）2+25N5，

所以ICA+C8I的最小值为5,

此时m=3；

CACB一m+8

（2）由cos<CA,CB>=

\CA\-\CB\7（/M-2）2+4xVio

,-m+8亚

-I-----=

V（w-2）2+4xVio5

化简得病+8瓶-48=0,解得利=4或帆=-12.

【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向

量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.

【典例11】已知向量a=0,2cosx),b=y/3sinx,-^-1%€(0号)).

(1)若allb，求tan若的值;

(2)若f(x)=a-b,则函数/(x)的值域.

【答案】(1)立，(2)(亚指］

3

【分析】

(1)利用向量共线的坐标表示可得26sinxcosx-3=0,根据二倍角的正弦公式可得

2

sin2x=l根据x的范围可得2x=J,进一步可得tan2x=3；

263

(2)利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得f(x)=#sin(x+£),再

根据X的范围，结合正弦函数的图象可得结果.

【详解】

(1)因为。/妨，所以2Gsinxcosx-9=0,所以sin2x=；,

22

rr27rTT

因为。<x<一,所以。<2%<——，所以2x=—,

336

所以tan2x=tan—=—.

63

(2)f(x)-ab=>/3sinx+2cosxx^^=V3sinx+>/3cosx=5/6sin(x+—),

24

因为0<x<],所以£<x+g<=,

34412

所以sin(x+?)e(-^-,1],

所以/(x)e(6闲.

【点睛】

本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的

坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.

考法03

对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误

【典例12】已知向量。=(-2,-1),6=(2,1),且。与，的夹角为钝角，则实数入的取值范围

是.

【错解】・・・。与力的夹角为钝角，

ab<0,即(-2,—1)-(2,1)=-2A—1<0,

Z>—.

2

【正解】•・,〃Hb的夹角为钝角，

—

/.a-b<0fRP(2,—1)-(A,1)=—2A—1<0,

AA>--.

2

又当a与b反向时，夹角为180°,即e6=-|a||)|,则24+1=行.+1，解得4=2.

应该排除反向的情形，即排除2=2,

于是实数A的取值范围为(-g,2)U(2,+O.

【错因分析】。与b的夹角为钝角并不等价于a/cO,a小<0等价于a与b的夹角为钝角

a•b

或180。.事实上，由。与B的夹角6为钝角应得出T<cos6=1；7r<0.

【误区警示】依据两向量夹角6的情况，求向量坐标中的参数时，需注意当夹角为0°时，

8s6=l>0;当夹角为180。时，cos0=-l<0,这是容易忽略的地方.

M分层提分

题组A基础过关练

1.已知”=(-；，3),6=[-2,；),则“心=()

A.0B.-2C.2D.-4

【答案】C

【分析】

根据向量数量积的坐标运算即可直接求得.

【详解】

因为b=、2,g),所以a/=-；x(-2)+3xg=2.

故选：C.

2.若”(3,T),“(x,-2),且则A()

A.1B.-1C.4D.-4

【答案】A

【分析】

根据数量积的定义建立关系即可解出.

【详解】

a=(3,—1),b=(x,—2),

=3九+2,|〃卜,3?+(—1)~=VF5,M卜J/+4,

ab3x4-2

p|-|i>|>J\O-yJx2+4-y.解得x=i.

故选：A.

3.若向量*=(2,-1),，=(-3,2)，则3：+了与：+2办的夹角余弦值为()

A72RG「3M口3713

221013

【答案】C

【分析】

利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解.

【详解】

由a=(2,-1),b-(-3,2),

则a=22+(-1)2=5,£=(-3)2+2?=13,

a-Z>=2x(-3)+(-l)x2=-8,

设3a+6与a+2b的夹角余弦值为。，

c(3a+8).(“+2〃)3«+la-b+2b

所以cos。=-q------廿----产=/,,/,,

|3"+6M+2^|yjga-+6«-/?+Z?va+4a-/?+4b

_15-56+26_T5_35/10

一,45-48+1375-32+52一厢•后―10'

故选：C

4.已知向量力=(1,V3),向量a在〃方向上的投影为-6,若｛Xa+h)-Lb,则实数％

的值为()

A,—B.--C.-D.3

333

【答案】A

【分析】

设&=（X,>1）,由向量6=（1.石），向量a在6方向上的投影为-6,Ua+b）_Lb，,

列方程组，能求出力的值.

【详解】

解：设&=（x,y）,

,向量b=（1.由），向量d在方方向上的投影为-6,（Xa+b）_L6，，

「7x+V3y/

Jx+广xi-=-6

yjx2+y2-2

（〃+1）+（为+百）-G=0

解得，=（•

故选:A.

5.在平行四边形ABC。中，48=（1，0）,AC=（2,2）,则AO.8O等于（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【分析】

先求得AD,BD,山此求得AD.BD

【详解】

如图，由向量的加减，可得AO=8C=AC-AB=（1，2）,

BD=AD-AB=AC-AB-AB=AC-2AB=（0.2）.

故40.80=（1，2）-（0,2）=0+4=4.

故选：A

6.在矩形ABC。中，AB=20,AQ=2,点E为线段8c的中点，点F为线段CD上的动点,

则A"Af的取值范围是（）

A.[2,14JB.10,12]C.10,6JD.[2,8J

【答案】A

【分析】

建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，AEAF转化为一次函数，根据单调性求范围

即可.

【详解】

如图建立平面宜角，

则4(0,0),E(2S1),

设尸(x,2)(0姿26)，

所以AE=(26,1),AF=(X,2),因此AEAF=26X+2,

设_/U)=273A+2(0<A<26)，7W为增函数，

则人0)=2,<2万)=14,故2JU)W14,AEAF的取值范围是214].故选：A

7.已知”,仇c均为单位向量，且卜，+4=1,则(“-与十的取值范围是()

A.[0,I]B.1-1,1]

C.[-&61D.[0,⑹

【答案】C

【分析】由已知条件可得=则有(a—b)-c=k-WdcosO=6cosO,再由cos8的

范围可求得答案

【详解】因为”,〃为单位向量，卜+0=1,所以J+2a为+//=1，得2a力=-1,

所以卜-0=1(a-b)=4a-2a-b+b=>/3,

设8与c的夹角为仇则("/).<?=,一4。皿皿二招小。,

Vcos^G[-l,1],的取值范围为1一石，6].故选：C

8.已知在直角梯形A8C£>中，AD//BC,N4BC=90。，A8=BC=2,40=1,梯形所在平面内

一点P满足8A+BC=2BP，贝I」PC.PD=()

A.--^2B.-1C.-2D.-2-^2

【答案】B

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据8A+BC=2BP，求得点尸的坐标，从而可

求得PC,PO的坐标，即可得出答案.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

因为43〃8C,NABC=90。，AB=BC=2,AD=\,所以8(0,0),A(0,2),C(2,0),3(1,

2),

所以区4=(0，2),BC=(2,0),

因为BA+BC=2BP，所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),

故BP=（1，1），故叩，1），PD=（O，1），PC=（1.-1）.所以PCP0=Oxl+lx（T）=-l.

9.设向量a=1),6=(x,-3),c=(l,-x/3).若blc，贝〜一〃与c的夹角为()

A.0°B.30°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】根据题意，匕，c求出x的值，即可得日的坐标，进而可得的坐标，即可求解.

【详解】根据题意，设与e的夹角为。，

b=(x,-3),C=(l,-6),b_Lc，

则6・c=x+3>/3=0,解得x=—36,

则〃=卜3疯-3),a-b=(473,4),

则(“一〃卜=(4后4>(1,-@=46-4g=0,所以(a-b)_Lc,故”90。，故选：D.

10..已知。=(3,-1),人=(1,2),则下列结论中正确的个数为()

①与〃同向共线的单位向量是(坐，挛］；②a与b的夹角余弦值为变；

I55J5

③向量d在向量8上的投影向量为(，|)；④氏

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.

b(有2⑸

【详解】M=~5^，~5~，故①正确；

ab1V2

H=丽=7^=而‘故②错误；

夜(加2逐1

向量d在向量方上的投影向量为时-醯,⑷朝二灰八]_2

而“丁，-^-,故③正

10555

7

确;

(〃一=(3-(Jxl+(-l-1Jx2=0,故④正确；故选:C.

11.设％,ywR,向量。=(犬,1),6=(1,丁),(:=(2,-4)且。_1(?,〃//0,则|。+匕|=()

A.75B.2MC.2>/5D.V10

【答案】D

【分析】根据平行垂直关系可求出入，儿即可求出〃+人进而得出所求.

f2x—4=0[x=2

【详解】。=(苍1))=(1,丁),。=(2,-4)且。_1_。,)//。,二,j[x(-4)-2y=0'解得jy-一2,

.-.a+b=(3-l),.•.卜+.=回石7=布.故选：D.

12..“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公

讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形A8CO

中，△A8C满足“勾3股4弦5"，且A8=3,E为A。上一点，BE，AC濯3A，BE+〃AC，

则X+H的值为()

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设BE=(a,3),由AC-BE=0可

9_

得再由8A=4BE+〃4C,利用坐标表示建立方程组求解即可.

【详解】由题意建立如图所示直角坐标系

因为AB=3,BC=4,则8(0,0),A(0,3),C(4,0),BA=(0,3),AC=(4,-3),设BE=(a,3),

9

因为8EJ_AC,所以ACBE=4“-9=0，解得“=

4

9

由RA=/IBE+〃AC,得(0,3)=2(-,3)+^(4,-3),

3,

9,

—2+4/z=0,257

所以《4解得，q，所以几+4=不，故选：B.

3/1—3〃=3,〃=一区'

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.

题组B能力提升练

1.已知向量a=(cos2,sinF),/?=(l,x),则下列结论正确的是()

A.VxeR,|2o-3fc|>lB.Hre(-«,()),使得(a+b)〃b

C.Vxe[0,+oo),a与b的夹角小于？D.HxeR,使得k

【答案】A

【分析】

由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次

判断各选项即可得出结果.

【详解】

又2a-3b=2-3(1,X)=(-2,73-3X),

所以|2°_3N=/4+仲-3》)222>1.故A正确；

a+b=1■，*+x,若,贝1]2*=立+%,

122J'/22

解得x=7L即当x=石时，(a+b)//b,故3错误;

1G

设d与。的夹角为6,则COS6="=2.2,