高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 总体离散程度的估计

9.2.4总体离散程度的估计

因画岛圈官国(教师独具内容)

课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、

极差).2.理解离散程度参数的统计含义.

教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义和作用并会计算方差、标准差.

教学难点：从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总

体的离散程度.

核心素养：通过应用样本的标准差、方差、极差估计总体离散程度的过程提

升数学运算素养和数据分析素养.

拓展

L方差的简化计算公式：^+3+第+…+召一方］,或写成#=储+

%H-+Z)-T2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.

2.平均数、方差公式的推广

(1)若数据Xi,及，…，X”的平均数为x，那么mxx+a,mx,+a,…，mx„+a

的平均数是71+a.

(2)若数据为，论，…，乂的方差为那么

①数据为+a,%+a,…，x〃+a的方差也是/；

②数据ax”ax2,ax“的方差是，s)

,就评价自测氏

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X")

(1)方差越大，数据的稳定性越强.()

(2)在两组数据中，平均数较大的一组方差较大.()

(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息.一般地，绝大部分

数据落在［x-2s,x+2s］内.()

(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大

小.()

2.做一做

(1)下列说法不正确的是()

A.方差是标准差的平方

B.标准差的大小不会超过极差

C.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小,

表明各个样本数据在样本平均数周围越分散

(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则：①平均命中环数为一；

②命中环数的标准差为一.

(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,

则该样本的方差为.

核心素养,

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一样本的标准差与方差的求法

例1从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下:

甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.

［跟踪训练1］某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况

如下表所示:

组别平均数标准差

第一组904

第二组806

求这次考试成绩的平均数和标准差.

-----Fx-nx2}

7

题型二样本标准差、方差的实际应用

例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8

次测试成绩记录如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪个工人的成绩较好？

(2)甲、乙成绩位于二一s与T+s之间有多少？

［跟踪训练2］从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他

们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如

下:

甲897976101086

乙10986879788

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；

(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.

题型三由统计图求标准差、方差

例3样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5,条形图如下图所示，则

标准差最大的一组是()

A.第一组B.第二组

C.第三组D.第四组

［跟踪训练3］甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形

统计图如图所示，则()

频数

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

题型四分层随机抽样的方差

例4甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg,方差为

200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之

比为1：4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？

［跟踪训练4］某培训机构在假期招收了A,6两个数学补习班，/班10人,

8班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，4班的平均成绩为

130分，方差为115,8班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体

学生的平均成绩和方差.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是（）

A.平均数B.中位数

C.方差D.众数

2.（多选）对于样本数据2,4,6,8,10,下列说法正确的是（）

A.这组数据的中位数是6

B.这组数据的平均数是8

C.这组数据的极差是6

D.这组数据的标准差是2g

3.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方

差如下表所示:

甲乙丙丁

平均环数78.38.88.88.7

方差523.53.62.25.4

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是—(填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).

4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:

班级人数平均分数方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中二甲=7乙，则两个班数学成绩的方差为.

5.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取

6件测量，数据为：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

课后课时,

KEHOUKESHIJINGLIAN

理霍学考水平合格练

一、选择题

1.与原数据单位不一样的是()

A.众数B.平均数

C.标准差D.方差

2.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田，这〃块地的亩产量

（单位：kg）分别为吊，及，…，黑，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩

产量稳定程度的是（）

A.石，x-i,•••,%,的平均数

B.X”如…，X,的标准差

C.用，及，…，％,的最大值

D.X”及，…，％,的中位数

3.某公司10位员工的月工资（单位：元）分别为小，用，…，*。，其平均数

和方差分别为1和乙若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工

下月工资的平均数和方差分别为（）

A.T,s2+1002B.7+100,s2+1002

C八.一x,s2D.1+100,s2

4.如图，样本月和6分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为二

“和3如样本标准差分别为&和砺则（）

A.X>XB，S〉SRB.xA<xB，s^S/i

C.x>XB，S&SBD.X《XgS《SR

5.（多选）若某同学连续三次考试的名次（第一名为1,第二名为2,以此类推

且没有并列名次情况）不大于3,则称该同学为该班级的尖子生.根据甲、乙、丙、

丁四位同学过去连续3次考试名次数据，可以断定为尖子生的是（）

A.甲同学：平均数是2,中位数是2

B.乙同学：平均数为2,方差小于1

C.丙同学：中位数是2,众数是2

D.丁同学：众数是2,方差大于1

二、填空题

6.已知一组数据：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.

7.下列四个结论中正确的有.

①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；

②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，

方差不改变；

③一个样本的方差是$2=4[（不一3）2+5—3尸+…+（加-3）2],则这组样

本数据的总和等于60；

④数据a,a?,a：”…，a”的方差为分，则数据2al,2a2.2a：；,…，2a”的方差为

4代

8.若40个数据的平方和是56,平均数是手，则这组数据的方差是一，

乙

标准差是一.

三、解答题

9.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50,其平均年龄为

38岁，方差是2,高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该

校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.

10.某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计

如下表：

班级平均分众数中位数标准差

高一（1）班79708719.8

高一（2）班7970795.2

（1）请你对下面的一段话给予简要分析：

高一⑴班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

（2）请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.

B级♦

1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,%10,ll,9（x,ye

N*）,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则富一引的值为（）

A.4B.3

C.2D.1

2.（多选）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值

满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点/表示

甲的创造能力指标值为4,点8表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的

是（）

—甲---乙

计算能力

观察能力

A.乙的记忆能力优于甲

B.乙的观察能力优于创造能力

C.甲的六大能力整体水平优于乙

D.甲的六大能力比乙较均衡

3.为了调查公司员工的健康状况，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样

本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60kg,标准差为60,男员工的平均体

重为70kg,标准差为50,女员工的平均体重为50kg,标准差为60,若样本中

有20名男员工，则女员工的人数为一.

4.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,

由测量结果得如下频数分布表：

质量指标

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分组

频数62638228

（1）作出这些数据的频率分布直方图;

（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的

中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标

值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

5.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用

水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100户居民的月均用水量（单位:吨）.将

数据按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9组，制成了如图所示的频率分布

直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)用每组区间的中点的横坐标作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的

月均用水量前四组的方差都为0.3,后五组的方差都为0.4.求这100户居民月均

用水量的方差.

9.2.4总体离散程度的估计

囱留岛圃园闰(教师独具内容)

课程标准：1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、

极差).2.理解离散程度参数的统计含义.

教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义和作用并会计算方差、标准差.

教学难点：从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总

体的离散程度.

核心素养：通过应用样本的标准差、方差、极差估计总体离散程度的过程提

升数学运算素养和数据分析素养.

'新知［拓展

1.方差的简化计算公式：S2=-［(^4-^+-+Z)-/7T2］，或写成6？=1尤+

nn

^+-+Z)-T2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.

2.平均数、方差公式的推广

⑴若数据X1,莅，…，X”的平均数为x,那么mx}+a,mx2+a,…，mx"+a

的平均数是mx+a.

(2)若数据为，如…，上的方差为s',那么

①数据*+a,x2+a,•••,乂+a的方差也是si

②数据加，ax2,­",的方差是a2s：

iki评价自测:

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“x”)

(D方差越大，数据的稳定性越强.()

(2)在两组数据中，平均数较大的一组方差较大.()

(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息.一般地，绝大部分

数据落在［x—2s,x+2s］内.()

(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大

小.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V

2.做一做

(1)下列说法不正确的是()

A.方差是标准差的平方

B.标准差的大小不会超过极差

C.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小,

表明各个样本数据在样本平均数周围越分散

(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则：①平均命中环数为一;

②命中环数的标准差为一.

(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,

则该样本的方差为.

答案(DD(2)①7②2(3)2

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一样本的标准差与方差的求法

例1从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：

甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.

_1

［解］才用=77X(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,

品=3［(25—30)2+(41—30)2+(40-30)2+(37—30)?+(22-30)2+(14

-30)2+(19—30尸+(39-30)2+(21—30)?+(42-30)2］=104.2,

s甲=yj104.2a^10.208.

_1、

X^=­X(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,

同理受=128.8,s乙=、/128.8=11.349.

金版点睛

对标准差与方差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,

数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.

(2)标准差、方差的取值范围：［0,+8).

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没

有离散性.

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以

虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时,

一般多采用标准差.

［跟踪训练1］某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如

下表所示:

组另U平均数标准差

第一组904

第二组806

求这次考试成绩的平均数和标准差.

X„—-X21\

7

解设第一组数据为X”题，第二组数据为曲，及”全班

平均成绩为

-90X20+80X20

根据题意,有x=---------=85,

4'=^(Ai+^H----1•焉一20X90°),

6'=、—星2T-----20X802),

.•.尤----1■高=20X(42+62+902+802)=291040.

再由变形公式，得/=崇----F^o—407')

=.(4+三+,,,+三。-40X85?)=［义(291040—289000)=51,

s=y/51.

题型二样本标准差、方差的实际应用

例2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8

次测试成绩记录如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪个工人的成绩较好？

(2)甲、乙成绩位于与二+s之间有多少？

_1

［解］(1)^=-X(95+82+88+81+93+79+84+78)=85,

fpO

—1

*乙=三义(83+92+80+95+90+80+85+75)=85.

O

22

牖=Jx［(95—851+(82—85)2+(88-85)2,|,(81-85)+(93-85)+(79—

O

2

85)+(84—85)2+(78—85)1-355,

22

旻=」X[(83—85产+(92—85y+(80-85)2,|,(95-85)+(90-85)+(80-

O

85)2+(85-85)2+(75-85)2]=41.

ip=x，甲的成绩较稳定.

综上可知，甲的成绩较好.

(2)Vs.,.=^4=^35.5%5.96,

x甲一$甲七79.04,x甲+s甲^90.96,

甲位于［x—s,x+s］之间的数据有4个.

又4，x乙—s乙278.6,入乙+5乙=91.4,

，乙的成绩位于［x—s,x+s］之间的有5个.

金版点睛

比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑.其

中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离.

［跟踪训练2］从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他

们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如

下：

甲897976101086

乙10986879788

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；

(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.

解(1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为

_1

*甲=历、(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8,

_1

乙的平均数为x乙=而乂(10+9+8+6+8+7+9+7+8+8)=8,

甲的标准差为

］系［8-82+9-82+-+6-82］=^2,

5甲=

乙的标准差为

S乙=、/.X［10—82+9一8旺…+8—82］=磔，

Y105

故甲的平均数为8,标准差为地，乙的平均数为8,标准差为率.

(2)且sQs乙，.•.乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛.

题型三由统计图求标准差、方差

例3样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5,条形图如下图所示，则

标准差最大的一组是()

A.第一组B.第二组

C.第三组D.第四组

［解析］第一组中，样本数据都为!，数据没有波动幅度，标准差为0;第二

组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6标准差为4；第三组中，样本数据为

o

3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,

O

标准差为2吸，故标准差最大的一组是第四组.

［答案］D

金版点匿

由统计图分析标准差、方差的大小

从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性

都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到

答案.

［跟踪训练3］甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形

统计图如图所示，则()

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案C

解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9,所以甲、

乙的成绩的平均数均是6,故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5,故B

不正确；甲、乙成绩的极差都是4,故D不正确；甲的成绩的方差为2X(22X2+

12X2)=2,乙的成绩的方差为《义(l2X3+32)=2.4.故C正确.

5

题型四分层随机抽样的方差

例4甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg,方差为

200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之

比为1：4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？

_1

［解］由题意可知*单=60,甲队队员在所有队员中所占权重为"=E=

1

5,

—44

x乙=70,乙队队员在所有队员中所占权重为吐

1十4□

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

___14,

x=犷甲x甲+歹乙x乙=1X60+^X70=68(kg),

bb

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

————__14

s=w甲［s东+(x甲-xY}+w乙［s2+(x乙一=£X［200+(60—68)1+三

55

X［300+(70-68)2］=296.

金版点睛

分层随机抽样的方差

设样本中不同层的平均数分别为7.72,不,方差分别为备，舄，…，

n

sn,相应的权重分别为M，版，…，典，则这个样本的方差为产［s,+(X/—

三)1(1为样本的平均数).

［跟踪训练4］某培训机构在假期招收了4,8两个数学补习班，力班10人，

8班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，4班的平均成绩为

130分，方差为115,6班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体

学生的平均成绩和方差.

解依题意］〃=130,sj=115,7fl=110,琉=215,

-10,30

・..x=TU领义130+砺而Xll°=115,

.•.全体学生的平均成绩为115分.

全体学生成绩的方差为

=X

s'=(X/—xT］+般［s］+(xB—o+3O(115+225)

1+10^3Q

X(215+25)=85+180=265.

随堂水平,达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是（）

A.平均数B.中位数

C.方差D.众数

答案C

解析由方差的定义知方差反映了一组数据的离散程度.

2.（多选）对于样本数据2,4,6,8,10,下列说法正确的是（）

A.这组数据的中位数是6

B.这组数据的平均数是8

C.这组数据的极差是6

D.这组数据的标准差是2位

答案AD

解析这组数据的中位数是6,这组数据的极差为10—2=8,这组数据的平

均数三=3（2+4+6+8+1。）=6,这组数据的标准差为

寸；><[2-62+4-62+6-62+8-62+10-62]

=2^2.故选AD.

3.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方

差如下表所示:

一''''''''''甲乙丙T

平均环数三8.38.88.88.7

方差自3.53.62.25.4

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是—（填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个）.

答案丙

解析分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小,

说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.

4.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

班级人数平均分数方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中工甲=1乙，则两个班数学成绩的方差为

答案2.6

解析由题意可知两个班的数学成绩平均数为予=仔用=又乙，则两个班数学

20__30__20

成绩的方差为$2=亚3[2+(*p—二)口+舟g[3+(1乙一二沟=左工证X2

4U-JU乙UIJU乙UIOU

5.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取

6件测量，数据为：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

_1

解(1)^=TX(99+100+98+100+100+103)=100,

1P6

_1

x^=~X(99+100+102+99+100+100)=100.

o

温=*X[(99-100)*2*67+(100—lOOT+(98-100)2+(100~100)2+(100-

7

100)2+(103-100)2]=-,

O

sl=1x[(99-100)2+(100-100)2+(102—100)'+(99-100)2+(100-

6

100)2+(100—100)2]=1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，

又品＞$"所以乙机床加工零件的质量更稳定.

课后课时.精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级«,学考水平合格练

一、选择题

1.与原数据单位不一样的是（）

A.众数B.平均数

C.标准差D.方差

答案D

解析由方差的意义可知，方差与原数据单位不一样.

2.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田，这〃块地的亩产量

（单位：kg）分别为吊，…，黑，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩

产量稳定程度的是（)

A.Xi,,黑的平均数

B.x2,•演的标准差

C.汨，Xz,,演的最大值

D.为，x2,•演的中位数

答案B

解析平均数和中位数反映一组数据的集中趋势，标准差和方差反映一组数

据的稳定程度.故选B.

3.某公司10位员工的月工资（单位：元）分别为不，及，…，.，其平均数

和方差分别为二和若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工

下月工资的平均数和方差分别为（）

A.x,s+100"B.7+100,s2+1002

C.x,sD.3+100,s2

答案D

解析解法一：因为每个数据都加上100,所以平均数也增加100,而离散程

度保持不变，即方差不变.

解法二：由题意，知为十及-1---F^lO=10X,$2=，X[（X]—王尸+（也一才尸

—0—1

H---F(xio—x)］，则所求平均数y=77；X［(x+100)+(泾+100)H---F(x1o+

1——1一°

100)］=—X(10x+lOX100)=x+100,所求方差为［(x+100—y)“+(至

+100—y)2-\----F(xio+lOO—y)1=白义［(为-x)'+(否-x)'H----F(吊。一

—\21_2

X)」一S.

4.如图，样本4和6分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为工

,，和样本标准差分别为0和砺则（）

A.X>XB,S>SB

C.X〉XB,S&SBD.XA<XB,S&SB

答案B

解析由题图，知A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10；6组的6个数

分别为15,10,12.5,10,12.5,10,

crr2.5+10+5+7.5+2.5+1025

所以xA=-----------------------=~rXK=

15+10+12.5+10+12.5+1035一一TTZ—r，…，，.，门，.，

------------=可.显然xK又由图形可知，B组数据的

6--3

分布比力组的均匀，变化幅度不大，故3组数据比较稳定，方差较小，从而标准

差较小，所以SA>SB.

5.（多选）若某同学连续三次考试的名次（第一名为1,第二名为2,以此类推

且没有并列名次情况）不大于3,则称该同学为该班级的尖子生.根据甲、乙、丙、

丁四位同学过去连续3次考试名次数据，可以断定为尖子生的是（）

A.甲同学：平均数是2,中位数是2

B.乙同学：平均数为2,方差小于1

C.丙同学：中位数是2,众数是2

D.丁同学：众数是2,方差大于1

答案AB

解析甲同学：平均数为2,说明名次之和为6,中位数是2,得出三次考试

名次均不大于3,断定为尖子生.乙同学：平均数为2,说明名次之和为6,方差

小于1,得出三次考试名次均不大于3,断定为尖子生.丙同学：中位数为2,众

数为2,说明三次考试名次至少有两次为2,名次从小到大排序可能为1,2,2；

2,2,2；2,2,3；2,2,x(x>3),所以不能断定丙同学是尖子生.丁同学：众数为2,

说明某两次名次为2,设另一次名次为x,经验证，当x=l,2,3时，方差均小于

1,故x>3.断定丁一定不是尖子生.故选AB.

二、填空题

6.已知一组数据：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是—.

答案0.1

解析这组数据的平均数x=：X(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,故s

5

=1x[(4.7-5.l)2+(4.8-5.l)2+(5.1-5.l)2+(5.4-5.l)2+(5.5-5.1)2]=

o

0.1.

7.下列四个结论中正确的有—.

①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；

②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，

方差不改变；

③一个样本的方差是s2=^[a,-3)2+a-3)2+-+u-3)2],则这组样

乙U

本数据的总和等于60；

④数据a,金，&,…，a的方差为外，则数据2aL2a2,2a，…，2包的方差为

4旌

答案①②③④

解析对于①，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相

等，都等于:，，①正确；

对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a,这一组数的平均数变为二

—a,方差s'不改变，.♦.②正确；

2222

对于③，一个样本的方差是s=^X[^-3)+U-3)+-+U-3)],

.•.这组样本数据有20个数据，平均数是3,.•.这组数据的总和为3X20=60,，

③正确；

对于④，数据4,a”&,…，晶的方差为6、则数据2aL2a2.2&,…，2a〃

的方差为(23)2=4户，.•.④正确.

综上，正确的是①②③④.

8.若40个数据的平方和是56,平均数是，，则这组数据的方差是一,

标准差是一.

答案0.9不一

解析设这40个数据为x,(/=l,2,…，40),平均数为又.

则S2=77；X[(*—*)?+(*2-xY'-\---1-(及一X)"]

=占义［露+言-］---F^o+40x'—2x（矛1+尼H---FMO）］

1

=40X56+40X

=­X36=0.9.

40

•』屈=盛=噜

三、解答题

9.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50,其平均年龄为

38岁，方差是2,高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该

校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.

解由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为

-3X58+5X40+2X38

高==45(岁)，

X3+5+2

年龄的方差为

麋=3[3X(58-45)2+5X(40-45)2+2X(38-45)2]=73,

所以该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数为

*=50+10X38+50+10X45239.2(岁)，

该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是

2

-=二丹】/12+(38-39.2尸]+cn\°inX[73+(45-39.2)]=20.64.

50+1050+10

10.某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计

如下表：

班级平均分众数中位数标准差

高一(1)班79708719.8

高一(2)班7970795.2

(1)请你对下面的一段话给予简要分析:

高一⑴班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议.

解(1)由高一⑴班成绩的中位数是87分可知，85分排在25位以后，从位

次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，

小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲

也算是上游.

(2)高一⑴班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而

平均分为79分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习差

的学生给予帮助.

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之

间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施

提高优秀学生的人数.

B级，,学考水平等级练

1.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,%10,ll,9(x,yG

N*),已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x—y|的值为()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由这组数据的平均数为10,方差为2可得x+y=20,U-10）2+（y-

10）2=8,因为不要直接求出x,y,只要求出|x-y|,设x=10+t,y=10—t,

由（x—10尸+（y-10尸=8得t2=4,所以|x一y|=2|力=4.故选A.

2.（多选）某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（每项能力的指标值

满分均为5分，分值高者为优），绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点力表示

甲的创造能力指标值为4,点6表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述正确的

是（）

甲乙

A.乙的记忆能力优于甲

B.乙的观察能力优于创造能力

C.甲的六大能力整体水平优于乙

D.甲的六大能力比乙较均衡

答案BCD

解析由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4,甲的记忆能力指标

值是5,故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A