高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 42(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（42）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.下列命题正确的是（）

A.底面是正多边形的棱柱是正棱柱.

B.六个面都是矩形的六面体是长方体.

C.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的.

D.球的直径是连接球面上两点的线段.

2.如图，在正方体ABCD—4B1C1D1中，点P在线段BQ上运动，则下列判断中正确的是（）

①平面P&D1平面ACD；

②41P〃平面

③异面直线4P与4名所成角的取值范围是（0,§；

④三棱锥/-4PC的体积不变.

A.①②B.①②④C.③④D.①

3.如图，在长方体ABCD-ABiGDi中，AB=AD=2,AAr=V2,点P为ABDG内一点（不含边

界），则zM/G不可能为（）

A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

4.在正三棱柱中，底边棱长为。，侧棱长为近若该三棱柱的六个顶点都在同一个

球面上，且a+b=2,则该球的表面积的最小值为（）

5.已知直三棱柱ABC-481cl中，ABLAC,AB=AC=AA1=1,若点例在线段441上运动，

则四棱锥M-BCGBi外接球半径的取值范围为（）

A.惨晋B.怪啕C.白前D.停，罚

6.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12兀，则该正四面体的棱长为（）

A.2V3B.4C.2D.3

7.在正方体4BCD-41B1GD1中，E为棱月窗】上一点，且力B=2,若二面角当一-E为45。,

则四面体BBiGE的外接球的表面积为

17

A.-nB.127rC.97rD.10兀

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

8.正四棱柱ABCD-&B1C1D1中，底面边长为2,侧棱=1,P为上底面4产16。1上的动点，

给出下列四个结论：其中正确的是（）

A.若PD=3,则满足条件的尸点有且只有一个；

B.若尸。=6，则点P的轨迹是一段圆弧；

C.若平行平面AC%,则PO与平面4CC14所成角的正切值最大值为显；

D.若PO平行平面4。当，则平面B£>P截正四棱柱ABCD-&BiC也的外接球所得图形面积最

大值为软.

三、填空题（本大题共19小题，共95.0分）

9.己知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2,PA=PB=PC=2,

则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是；

10.某模具厂将一棱长为3的正四面体毛坯件4-BCD切割成一个圆柱体零件，E,F,G分别为AB,

AC和上的点，且笠=穿当圆柱体的上底面圆刚好为mEFG的内切圆时，该圆柱的

ABACAD3

体积为.

11.己知正方体4BC0-4务口劣的棱长为2,过点A及GA中点作与直线80平行的平面a,则平

面a与该正方体各面交线长度之和为.

12.如图，在长方体ABCD-&B1GD1中，4B=441=2,BC=4,E为A。中点，则三棱锥&-CDE

外接球的表面积为.

P.

13.己知边长为4百的菱形ABC。中，44=60°,现沿对角线8。折起，使得二面角4-BC-C为

120。，此时点A,B,C,。在同一个球面上，则该球的表面积为

14.棱长为〃的正四面体A8CQ与正三棱锥E-BCD的底面重合，由它们构成的多面体4BC-DE的

顶点均在一球的球面上，若正三棱锥后-8。0的表面积为3+6,贝心=.

15,正四棱锥的高与底面边长相等且体积为|,以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱的中点的球

的表面积为.

16.棱长为。的正四面体ABCO与正三棱锥E-BCD的底面重合，由它们构成的多面体ABCDE的顶

点均在一球的球面上，若正三棱锥E—BCD的表面积为3+百，则。=.

17.已知点A,B,C,。在同一个球的球面上，AB=BC=",AC=2,若四面体A8CQ的体积为

独，球心。恰好在棱ZM上，则这个球的表面积为.

3

18.在四面体ABCD中，AC=BC=CD=8,4B=4。=BD=6,ABu；

平面a,E,尸分别为线段AO,BC的中点，现将四面体以AB为轴旋/一］?

转，则线段EF在平面内投影长度的取值范围是.〈

19.己知三棱柱ABC-的底面为直角三角形，侧棱长为2,体积为1,若此三棱柱的顶点均

在同一球面上，则该球半径的最小值为.

20.在三棱锥P-HBC中，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，PA与底面ABC所成角

的余弦值为西，则三棱锥P-48C的外接球的球心到底面ABC的距离为.

3

21.已知AABC的三条边分别是8,10,12,且£＞、E、F分别为43、AC、BC的中点，现沿。E、

EF、QF翻折，使得A、B、C重合于点G,得三棱锥G-OEF,则三棱锥G-OEF外接球直径

为.

22.如图(1),在等腰直角△ABC中，斜边ZB=4,。为4B的中点，将△4CD沿CO折叠得到如图(2)

所示的三棱锥C-ABD,若三棱锥。一48。的外接球的半径为遮，则N4DB=。

c

23.用一张长12cm,宽的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=.

24.球面上有三点若R=13,AB=12V3（AC=BC=12,则四面体OABC的体积为

25.已知正三棱锥P-4BC,其中点P、A、B、C都在半径为旧的球面上，PA=m,若PA、PB、

PC两两互相垂直，则m-

26.已知圆锥的顶点为A,过母线48、4c的截面面积是2K.若48、AC的夹角是60。，且AC与圆

锥底面所成的角是30。，则该圆锥的表面积为.

27.学生劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长

方体4BC0-4当的。1挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其

中。为长方体的中心，E,F,G,"分别为所在棱的中点，AB=

BC=6cm,44i=4cm,3。打印所用原料密度为0.9g/cm3,不

考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

28.如图，正三棱锥。-ABC的底面周长为12,高为3,求该三棱锥的体积及

表面积.

B

29.如图，直三棱柱ABC-^BiG的侧棱长为1,AB=AC=1,BC=鱼，。是BC的中点.

(1)求证：ADJ.平面BiBCQ;

(2)求三棱锥&-ZDG的体积.

30.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是平行四边形，PA=PC=V3.PB=PD=屉，

(1)证明：1//AB-,

(2)若平面/MBJL平面PC。，求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，属基础题，难度不大.

依次分析各个答案即可.

解：正棱柱必须为直棱柱，故A不对；

六个面都是矩形的六面体是长方体，故3对；

圆锥是直角三角形绕其一直角边旋转而成的，绕斜边旋转时，不能形成圆锥，故C不对；

球的直径必须过圆心，故。不对.

故选B.

2.答案：B

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连接。当，容易证明OB1上面4C£)i,从而可以证明面面垂直；连接41cl容易证明平面B&C"/

面ACD】，从而由线面平行的定义可得；分析出4P与45所成角的范围，从而可以判断真假;以PC=

匕-c%p，C到面ADiP的距离不变，且三角形力DiP的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于①，连接0当，由14C且。当14历，可得。当JjgACDi，从而由面面垂直的判定知，

故①正确；

对于②，连接4B,4G，41cl〃力Di且相等，由于①知：AD[〃BC[,所以B&G〃面ACD1，从而

由线面平行的定义可得，故②正确；

对于③，4P与45所成角即为41P与4。的所成角，当P点运动到8点时，所成角为90。，故③不

正确；

对于④，由题意知4DJ/BC1，从而BG〃平面力DiC,故8cl上任意一点到平面4D1C的距离均相

等，所以以P为顶点，平面ADiC为底面，则三棱锥4-DiPC的体积不变，故④正确.

故选&

3.答案：A

解析:

本题考查空间线面关系，难度较大.

依题意，考虑特殊位置，逐项进行排除或证明相结合即可.

解：连接AC与8。交于点0,连接为0,G。，&B,AXD.

依题意得，AC1BD,44i±BO,dAAr=A,B。JL平面44©。，BD1Ar0,BD1Cr0,

故乙41。6为二面角4一BD-G的平面角.

易知40=GO=2,AC=2V2.知4鼻1。。1=90°,

故平面_L平面GBD,连接P。，若乙勺尸的为直角，即4iP_LPG，

又410J.PC],4iPC141。=七,二小尸J_平面P04],则CiPIP。，此时尸在△BOQ内的一段圆弧（

该圆弧所在的圆的直径为C10）上，符合题意，故AAPG可以为直角三角形；

当p在0C1上时，△&PC1为钝角三角形；

当P无限接近B或。时，AAiPCi为锐角三角形；

若△&PC1等腰三角形，4£=2在，BC、=耻,

当为等腰三角形&PG的一个腰时，GP和&P均不可能为2vL不符合题意；当为等腰三

角形4PC]的底边时，点P与41cl中点的连线必垂直&G，此时，在△BDG内部不存在这样的点尸.

故选A.

4.答案：D

解析：

本题考查球的表面积以及函数最值的求法，首先根据三棱柱求出半径的表达式，然后求出最值即可，

属于中档题.

由题意可知△ABC外接圆的半径r=?a，

设该三棱柱外接球的半径为R,

则*。）2+（芥

由Q+b=2可得b=2—a,

24a2+3b24a2+3（2-a）2

,•,R=-12-=12

_7a2-12a+12_7（彦-与a+碧）+12-苧

二12:12

7/6,?,4

F（a-‘+?

・•.Rin=点当且仅当a=/b=?时取得最小值，

•••该三棱柱外接球的表面积的最小值为47TR2=-7r.

故选。.

5.答案：C

解析：

本题考查空间几何体的外接球知识，难度较大.

将直三棱柱力BC-&当（71补成正方体ABDC-设四棱锥M-8。6当外接球的球心为G,

441的中点为。1,的中点为。2,设GM=GB=R,0]M=%0道=y，得产由R?=/+

y2=（y_g2+n根据y的范围求出Re停，第.

解：将直三棱柱ABC-4昂的补成正方体力BDC-4181。传1，

设四棱锥M-BCGBi外接球的球心为G,

441的中点为。「DDi的中点为。2，。1。2的中点为。，

因为，平面必当以口，在平面公当。16内，

所以8殳142，又4也J.B1G，

为平面BCGBi内两条相交直线，

所以1平面BCGBi，又。1。2〃A[D],

所以。1。21平面8CC1B],

则001=曰,08=1，

因为在球面上，所以球心G在线段。外，

设GM=GB=R,01M=x,0]G=y,0G=y-与

在RtAO|A/G中，x?+y2=R2①，

22

在RtZiOBG中,g)+(y_")=R2②,

联立两式得/=：一/y,

因为0<x<<y<呼,

ZLo

2

所以R2=/+y2=y2—企y+铝(y_?

即Re怜乎].

故选c.

6.答案：D

解析:

本题考查棱锥的外接球、内切球问题，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于中档题.

把正四面体放在一个正方体中，求出S%表=4兀/?2=|兀。2,再利用等体积法求出S为表=4口2=3a2,

利用三兀。2--na2=12兀，解a.

26

解：设该正四面体的棱长为“，该四面体一定可以放在一个正方体中，

则该正方体的棱长为立a，

2

因为正四面体的外接球半径R为正方体的对角线长的一半，

所以R=卷+(当a)2=*a

・•・S外表=4TIR2=\a2.

设内切球半径为广，球心为O,A”为点A到平面8C。的距离，连接OA,OB,OC,0D,

则%-BCD=^O-ABD+^O-ACD+^O-ABC+，

・・•球心O到每个面的距离为匕

AW-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD

=5丁(508。+S^ABD+SMCD+S^BCD)，

^O-ABC=]SBCD,/H»

S&ABC-S&ABD~S&ACD-S〉BCD»

BH=J©)2+(等)2=苧,AH=Ja2_(^)2=[a，

14

J^AABC'AH=•r，

得r=­a,

12

・・・5内表=4仃2=*小，

由题意可得一;7m2=12兀，解得a=3,

26

故选D.

7.答案：D

解析：

本题考查球的表面积，考查几何体的结构特征，考查空间思维能力及计算能力，属于中档题.

由题及线面垂直的判定定理得BGIE。，N&OE=45。，计算求解即可得到答案.

解：连接交BQ于。，则BiOIBCi，

易知Ai/1BCL贝!]BG，平面B]OE,

所以BGA.EO,

从而NBiOE为二面角丛-BG-E的平面角，则4B10E=45°.

因为AB=2,所以=Br0=V2.

故四面体BBiGE的外接球的表面积为4以立弃y=1。兀，

故选D.

8.答案：ABC

解析：

本题考查立体几何综合性问题，综合推理难度稍大，是中档题.

解：如图,

若PD=3,则易得p0i=JPD2-DD^=2V2

而易知Bi"=2V2，

所以当且仅当户和当重合时，满足要求，

故A正确；

因为PD=V3G(1,3)，DC1=1,

则「劣=鱼，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确;

连接DJ易证明平面〃平面ACBi，

若P。〃平面ACBi,则尸点在线段41cl上

点D到平面4CC14距离d=V2

则PO与平面4CC1为所成角的正弦值=色=立

DPDP

则当P为4C1中点时，OP有最小值

此时P。与平面4CG&所成角的正弦值最大，正切值亦最大

则与平面4CC141所成角的正切的最大值为牛=V2,故C正确；

由③知，平面BDP即为平面BDDiBi时，

平面8DP截正四棱柱4BCD-&B1GD1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，

其半径为:、22+22+/=|,面积为手，故。错误.

故选：ABC.

9.答案:.

3

解析：

本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力.设P在面ABC上的射影为AB中点从

找到圆心。的位置，进而得出答案.

解：•••三棱锥P-4BC的底面是以48为斜边的等腰直角三角形，AB=PA=PB=PC=2,

设P在面ABC上的射影为A8中点H,

APH1平面ABC.

尸”上任意一点到A、B、C的距离相等.

vPA=PB=PC=2,

PH=遮，CH=1,

在面PHC内作PC的垂直平分线与PH交于0,

则OP=0C=0A=OB,

所以。为P-ABC的外接球球心.

vPA=PB=AB=2,

・•.P0号

0H=即为0与平面ABC的距离.

3

故答案为逅.

3

10.答案：d

97r

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，考查旋转体体积公式的应用，属中档题.

依题意，等边团EFG的边长为2,求得内切圆的半径r=，，设。1，。2分别为团EFG与团BCD的内心,

根据条件求得401=独，进而求得圆柱的体积.

13

解：如图，由题意知等边回EFG的边长为2,设其内切圆的半径为八

由^x3x2xr=工x22xsin60。，得「=理.

223

设。1，。2分别为E1EFG与回BCD的内心，

圆。1与边EF相切于点H,连接AH并交BC于点K,易知Rt团力。1，“Rt回4。2长，

22

因为。2。=遍，AO2=y/AD-O2D-V6,则煞=起，即I=等，

解得力01=竽.所以圆柱的体积p=兀X（产）2X（声—学）=等.

故答案为Y57r.

9

11.答案：2g+&

解析：

本题考查简单多面体（棱柱）及其结构特征，线面平行的判定，考查学生的空间想象能力与计算能力,

属于中档题.

由题意画出图形，找出截面，从而即可求得平面a与该正方体各面交线长度之和.

解：根据题意作出如图，

G为&G的中点，则FG//B1DJ/BD,

且BD，平面AEFGK,FGC平面AEFC,成

8。〃平面AEFGK,

由小GGF三4HD#及&HDXEfADE可得,

D1E=^DD1,则D]E=|,DF=

・•・平面a与该正方体4BCC-A/jCWi各面交线长度之和为竽+空+夜=2g+&，

故答案为2反+应.

12.答案：4-17T

解析：

本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，考查了学生的空间想象能力，属于难题.

根据题意，可得点E到平面&DC的距离〃，计算出球的半径R=m，最后利用球的表面积公式,

计算得结论.

解：在长方体ZBCD-AiBiCWi中，

因为=他=2,BC=4,

所以4。=2遍，ArC=2V6.

又因为E为中点，所以E0=2,A、E=EC=2®

设点E到平面4CC的距离为h,

因为%-ADC=%L6E，而在长方体ABCC-力/IGDI中，CDLA^D,

所以1xgx2x2V5xh=|x|x2x2x2,解得九=誓.

取4也的中点为01，则0］为44CD的外接圆圆心，

且。道=y/E^-OyC2=V2.

若三棱锥4-CCE外接球的球心为O,半径为R,点E所在的小圆面的圆心为。2，

则0、。1、。2共线，且。1。2=八=争，。。11平面&CD.

如图：

2

在RtAO^E中，O2E=，。送2-010/=72一h,

设。1。=x,则外盾+00j=。1。2+℃=R2,

即2一公+（%+九）2=/+6=R2,

解得x=；=而，R2-（⑥2+6=11，

所以R=VTT>

因此三棱锥&-CDE外接球的表面积为4kx1114TT,

故答案为IE.

13.答案：1127T

解析：

本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键，

考查了空间想象能力，属于中档题.

分别取BZ),4c的中点M,N,连接MN,由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，设球心为

0,半径为上ON=x,由勾股定理可得x,R2,再根据球的表面积公式计算即可求解.

解：由题意，如图，分别取B£>,AC的中点M,N,连接MN,

则易得AM=CM=6,MN=3,MD=2®CN=3百，

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，

设球心为0,半径为R,ON=x,

可得依丁：品+12,解得"L*28，

故该球的表面积为S=4兀/?2=112兀.

故答案为1127r.

14.答案：2

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和

体积和简单组合体及其结构特征，属于中档题.

利用两个同底的正三棱锥构成有多面体的结构特征，结合正三棱锥的结构特征，得该几何体的外接

球半径，再利用棱锥的表面积，计算得结论.

解：由题意多面体ABCDE的外接球是正四面体ABCD的外接球，

且其外接球的直径为AE,

因为正四面体ABCD的棱长为a,

所以正四面体ABC。的高为卜_俘*|0）2=*,

设正四面体ABCD的外接球半径为R,

则改一竹厂式二仁/,解得R=.a，

设正三棱锥E-BCO的高为h,

因为4E=立。=立＜2+/i，所以h=叱a，

236

又因为底面正48co的边长为a,

所以EB=EC=ED

=J（fa）+净）=¥8

因此正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两垂直，

所以正三棱锥E-BCD的表面积为

；x（苧a）、3+加=争2=3+百，

所得a=2.

故答案为2.

15.答案:6n

解析：

本题考查四棱锥与球的组合体的计算问题，属于中档题，

解：设正四棱锥的高为x,则式==x=2,则球心到四条侧棱中点所在平面的距离为1,

33

四条侧棱的中点构成的正方形的边长为1,其外接圆的半径为立，

2

所以球的半径为R=fl+i=艮

72勺2

经过四棱锥四条侧棱的中点的球的表面积为4兀/?2=67r.

16.答案：2

解析：

本题考查了简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和

体积和简单组合体及其结构特征，属于中档题.

利用两个同底的正三棱锥构成有多面体的结构特征，结合正三棱锥的结构特征，得该几何体的外接

球半径，再利用棱锥的表面积，计算得结论.

解：由题意多面体ABCDE的外接球是正四面体ABCD的外接球，

且其外接球的直径为AE,

因为正四面体ABCD的棱长为a,

所以正四面体ABCD的高为面_gx|aj=*，

设正四面体ABC。的外接球半径为R,

则R2_ga_R）2=Gaj,解得R=%,

设正三棱锥E-BC。的高为h,

因为4E=在。=逅＜2+无，所以/1=在（2,

236

又因为底面正4BCD的边长为“，

所以EB=EC=ED

=J（［a）+（5。）=1。

因此正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两垂直，

所以正三棱锥E-BCD的表面积为

|XX3+4标=^^02=3+V3»

所得a=2.

故答案为2.

17.答案：167r

解析:

解：•.•点A,B,C,。在同一个球的球面上，AB=BC=®AC=2,

.••4B2+8C2=AC2,...4B_LBC,.•.△ABC外接圆直径为AC,

圆心。1是AC中点，

•••四面体ABCD中球心。恰好在侧棱DA上，

••・四面体ABCD的体积为竽，；.V=gxSAABCx/i=[xlxh=第，

h=2g，即D到面ABC的距离为2遍，

二球心。到面ABC的距离为8.

球半径R=A0=](争2+00/=2,

・•・这个球的表面积S=4兀R2=4TTx22=167r.

故答案为：167r.

确定△ABC外接圆直径为AC,由四面体4BCD中球心。恰好在侧棱D4上，I/=：XSA4BCX/I=5X

lxh=手，可得力到面ABC的距离为2国，

即可得球半径R=A0=J(y)2+00f=2即可.

本题考查球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数

形结合思想，是中档题.

18.答案：[3,5]

解析:

本题考查线段在平面的投影长度计算，线面垂直的性质，考查运算求解能力，是中档题.

推导出4BICC,EG//AB,GF//CD,从而GE_LGF,得EF=5.当四面体绕A8旋转时，EG//AB,

即EF绕EG旋转,由此可求解线段EF在平面a内投影长度的取值范围.

解：取BQ的中点G,AB的中点“，连接EG,FG,CH,。”如图所示：

•••AB1DH,AB1CH,

又CHCDH=H,CH,DHu平面C。”，

AB1平面CDH,

vCDu平面CDH,：.CD1.AB,

vEG=^AB=3,GF=^CD=4,ELEG//AB,GF//CD,

•••EG1GF,EF=y/EG2+FG2=5，

当四面体以A8为轴旋转时，

•:EG"AB,ABu平面a,GE与GF的垂直性保持不变，

则线段EF在平面a内投影长度d满足3=EG<d<EF=S.

故答案为:[3,5].

19.答案：渔

2

解析：

本题考查三棱柱的结构特征，外接球，棱柱的体积，基本不等式的应用，属于中档题.

由题意可知三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱ABC-&B1G补成一个长方体，再利用基本不等式即可

求得.

解：•••三棱柱内接于球，

•••三棱柱各侧面均为平行四边形且内接与圆，

则三棱柱为直三棱柱，

又三棱柱ABC-&&G的底面为直角三角形，设直角边长分别为a,b,

又三棱柱侧棱长为2,体积为1,

-'-2-ab-2=l,

ab=1,

将直三棱柱ABC-&B1C1补成一个长方体，

则直三棱柱4BC-4BiG与长方体有同一个外接球，

故该球半径r=,2+4>叵①=渔，当且仅当。=b=1时取“=”.

2—22

故答案是在.

2

20.答案：在

6

解析：

本题主要考查三棱锥的外接球问题，考查学生空间想象能力与推理能力，属于较难题.

利用已知条件及厚与底面A8C所成角的余弦值计算出接球的半径为亚，故可求出球心到底面A8C

2

的距离.

解:因为PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形，

所以点尸在底面ABC的射影为M,则PM1面ABC,

M为底面三角形的中心，外接球球心。在直线PM上，

取AB中点为E,连结CE,所以ME=在，AM=5百，

因为PA与底面ABC所成角的余弦值为渔，

3

所以P4=V2,所以PM=y/PA2-AM2=—,PE=1

3

设外接球的半径为R,所以0"2+AM2=4。2

管—4+（竽）2=R2,所似R=S

OM=OP-PM=—--=—，

236

即三棱锥P-力BC的外接球的球心到底面ABC的距离为渔，

6

故答案为遗.

6

21.答案：叵

2

解析：

本题考查三棱锥G-DEF外接球直径，考查折叠问题，属于较难题.

根据三棱锥G-DEF的三组对棱分别相等，分别为4,5,6,将三棱锥G-DEF放入长方体中，得到

(2R)2=a2+b2+c2=”即可求解.

解：依题意，如图所示：

现沿OE、EF、。尸翻折，使得A、B、C重合于点G,得三棱锥GDEF,

则三棱锥G-OEF的三组对棱分别相等，分别为4,5,6,

(a24-b2=16

则，=25,

(。2+g2=36

三式相加，得2(02+炉+。2)=77,

即Mb24-c2=—,

2

设三棱锥G-OEF外接球半径为R,

则(2R)2=a2+Z)24-c2=y,

得2R=/

2

故三棱锥G-DEF外接球直径为叵.

2

故答案为叵.

2

22.答案:今

«5

解析:

本题考查三棱锥的结构特征及其外接球问题，属于较难题目.

根据题意得出三角形ABD的外接圆半径，设4&DB=2。，利用正弦定理及外接球的半径得出r,求

出cos。即可得出.

解：设△4BZ)的外接圆半径为，，Z.A'DB=26,其中。e(0,》

取48的中点E,•••A'D=DB,二DE1A'B^A'DE=^A'DB=6,

/.AfE=2sin09/.AiB—2AfEIsin0；

4sin0

在△480中，由正弦定理易得2r

sinZAfDBsin20

故「

由题意知A/1+产=遍.

19TT

解得cos0=5，所以乙山。8=20=彳.

故答案为二;.

.答案：—cm3^cm3

23nn

解析：

本题考查了圆柱的侧面展开图，圆柱的体积计算，属于中档题.

对圆柱体的高进行讨论，计算圆柱的底面半径，再代入体积公式计算.

解：设圆柱体的底面半径为厂，

(1)若圆柱体的高为无=12cm,贝ij271T=8cm,即r=/cm,

23

，圆柱的体积P=nrh=7Tx7lzx12=—71cm,

(2)若圆柱体的高为九=8cm,则2加丁=12cm,即r=3cm,

，圆柱体的体积P=nr2h=7ixx8=—cm3,

故答案为：出cm3或陋CM3.

itn

24.答案：605/3

解析：

本题考查了球的结构特征和棱锥的体积，设△ABC外接圆半径为r,得A=8=30。］=120。，由正

弦定理得2r==24,则。到平面ABC的距离d=y/R2-r2=V132-122=5,从而得出结

SW1120。

果.

解：设△ABC外接圆半径为r,由AB=12g,4C=BC=12,得4=B=30。,C=120。，

.•.由正弦定理得2r==24,BPr=12,

sinl20"

则。到平面ABC的距离d=V/?2-r2=V132-122=5，

又S^ABC=1xl2xl2xsinl20°=36V3,

•，,^O-ABC=1x36>/3x5=60V3.

故答案为60b.

25.答案:2

解析：

本题主要考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特

征，是基础题.

先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，根据球的直径是正方

体的对角线，可得结论.

解：,•,正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直，

.••此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球，

♦.,球的半径为百，

•••正方体的对角线长为2遮，

又PA=m,-2V3,

・•・m=2,

故答案为2.

26.答案：(6+4\/3)7T

解析：解：如图所示，••・4B、4C的夹角是60。，AB=AC,

.,.△ABC是等边三角形，二3X4C2=2"\/^,

4

解得AC=2V2.

•••4C与圆锥底面所成的角是30。，

・・・r=OC=ACcos300=2V2xy=V6.

则该圆锥的表面积=nx(V6)2+1x2zrxV6x2V2=6TT+4V3zr=(6+

故答案为：(6+4V3)TT.

如图所示，根据等边三角形的面积计算公式可得力C.由AC与圆锥底面所成的角是30。，可得底面半径

r=OC=4Ccos30。,即可得出该圆锥的表面积.

本题考查了等边三角形的面积计算公式、线面角、圆锥的表面积，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

27.答案：118.8

解析:

该模型体积为匕BCD-A/GA-Vo-EFGH=6x6x4-ix(4x6-4x|x3x2)x3=132(cm3),

再由3。打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量.

本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能

力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题.

解：该模型为长方体4BCD-挖去四棱锥。-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的

中心，

E,F,G,H,分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AAt=4cm,

•••该模型体积为:

^ABCD-AZB1C1D1~^O-EFGH

11

=6x6x4--x(4x6-4x-x3x2)x3

=144-12=132(cm3),

・••3D打印所用原料密度为0.9g/cm3,不