2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第11章 余弦定理、正弦定理的应用

11.3余弦定理、正弦定理的应用

第1课时余弦定理、正弦定理的基本应用

课程i.了解余弦定理与正弦定理的应用.

标准；2.会利用余弦定理、正弦定理解决实际生活中的距离（高度），方向（方位）等问题.

概念认知

解三角形中的常见术语

术语

术语意义图形表示

名称

与目标视线在同一铅直

平面内的水平视线和目

学

仰角与标视线的夹角，目标视线铅/卬角

宜松—水平视线

线\俯角

俯角在水平视线上立时叫仰

视线

角,目标视线在水平视线

适时叫俯角.

从正北方向顺避t转到

目标方向线所成的水平北

方位西工东

角，如点B的方位角为

角

a（如图所示）方位角的取南

值范围：0°~360。.

指以观测者为中心，指北

如图，左图中表示北偏东。,右图

或指南的方向线与目标30

方问

中表示南偏西60°.

方向线所成的小于90。的

角4./

水平角，它是方位角的另

一种表示形式.

自我小测

1.有一条与两岸平行的河流,水速为1m/s,小船的速度为啦m/s,

为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶（）

A.与水速成45°B.与水速成135°

C.垂直于对岸D.不能确定

选B.如图所示AB是水速AD为船速AC是船的实际速度目AC_LAB,

十,ABAB也

在R3ABC中，cosNABC=诉---

DCAUZo

所以NABC=45。，所以NDAB=90。+45。=135。，则小船行驶的方向

应与水速成135°.

2.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。的方向

直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观

察灯塔，其方向是南偏东70。，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,

那么B,C两点间的距离是（）

A.10^/3海里B.10^2海里

C.20市海里D.20^2海里

选B根据已知条件可知在△ABC中，AB=20,NBAC=30°,ZABC=

105°,所以NC=45。,

丁〜BC20

由正弦7H理有sin30°-sin45。，

1

20x-

所以BC=1g-=10啦.

2

3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角NCAB=45°,沿倾斜角

为30。的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角NDSB=

75。，则山高设为（）

A.500/mB.200m

C.1000啦mD.1000m

选D.可得/SAB=45°-30°=15°,

NSBA=ZABC-ZSBC

=45°-(90°-75°)=30°,

.

AS-sin135°1°°°X2

在4ABS中，AB二S访30。

2

=1000^2(m),

所以BC=AB,sin45°=1000/x号=1000(m).

4.某人从A处出发，沿北偏西60。方向行走2^3km到达B处，再

沿正东方向行走2km到达C处，则A,C两地的距离为km.

如图所示，NABC=30。，又AB=2/,BC=2,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABxBCcosNABC

=12+4-2x2小x2x^-=4,AC=2,所以A,C两地的距离为2km.

答案：2

5.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12^6海

里；在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8^3海里；货轮

向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60。，求：

(1)A处与D处之间的距离；

⑵灯塔C与D处之间的距离.

由题意，画出示意图.

北

⑴在△ABD中，因为NADB=60°zZDAB=75°,所以B=45。.由正弦

AB

定理得AD=5访60。，sin45°二24（海里）.

所以A处与D处之间的距离为24海里.

⑵在4ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-

2AD-ACcos30°=242+（8^3）2-2x24x8小=（8班）2,所以CD

=8小海里.所以C,D之间的距离为8^3海里.

一二3学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°

的视角从B岛望C岛和A岛成75。的视角则B,C之间的距离为（）

A.2mnmileB.3加nmile

C.5爬nmileD.6加nmile

选C.^AABC中，NA=60°,NB=75°,

所以NC=45°.

ABBC

因为

sinCsinA

AB-sinA10x2

所以BC==^=—^=5加(nmile).

2

2.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯

塔A在观察站C的北偏东20。方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°

方向，则灯塔A与B的距离为（）

A.akmB.小akm

C.啦akmD.2akm

选B.^AABC中,因为AC=BC=a,ZACB=180°-20°-40°=120°,

由余弦定理可得AB2=a2+a2-2axaxcos120°=3a2,所以AB二小a.

3.某人向正东方向走xkm后向右转150°,然后朝新方向走3km,

结果他离出发点恰好是小km,那么x的值是（）

B.2小

C.2,或事D.3

选C.如图所示，在△ABC中，AB=x,BC=3,AC=g,ZB=30。.

A\A._________X_3_0__；______B

3

C

拒

222

由余弦定理，得(S)=X+3-2x3xXx2,

所以x2-3事x+6=0,解得x=^3或x=2^3.

4.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测

得/ABC=120。，则A,C两地的距离为()

A.10kmB.木km

C.10^5kmD.10y/7km

选D.^AABC中，AB=10km,BC=20km,ZABC=120°,贝U由余弦

定理彳导AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=100+400-2xl0x20cos

120°=100+400-2xl0x20x1-号=700,

所以AC=10巾km,

即A、C两地的距离为10巾km.

5.如图所示,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,

50m,BD为水平面则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角NCAD

等于()

A.30°B.45°C.60°D,75°

选B.依题意可得AD=20710(m),

AC=30^5(m),又CD=50(m),

所以在4ACD中，由余弦定理的推论得,

AC2+AD2-CD2(30^5)2+(20回)2-502

cosNCAD=诋讪=2x3班x20回=

6000_^2

6000^2—2，

又0°<ZCAD<180°,所以NCAD=45°,

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

二、填空题

6.如图所示为一角槽，已知AB±AD,AB±BE，并测量得AC=3mm,

BC=2^2mm,AB二回mm,贝此ACB=.

AB

DE

32+(2^2)2-(回)2

在^ABC中,由余弦定理得cosNACB=___/T

2x3x2^/2

立

2'

因为NACB『0,n),所以NACB=乎.

林口案•—4

7.当太阳光与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2m的竹竿如图所

示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为.

设竹竿与地面所成的角为a,影子长为xm.

2______X

由正弦定理，得而不

sin(120°-a)

bi、।4A/3

所以x=3sin(120°-a),

因为30°<120°-a<120°,

所以当120°-a=90°,即a=30。时,x有最大值.

故竹竿与地面所成的角为30。时，影子最长.

答案:300

8.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东

40。方向，B在C的南偏东60。方向，则A在B的方向；C在B

的方向.

因为△ABC为等腰三角形，

1

所以NCBA=-(180°-80°)=50°,60°-50°=10°.

即A在B的北偏西10。方向.

因为B在C的南偏东60。方向，

所以C在B的北偏西60。方向.

答案：北偏西10°北偏西60°

9.已知4ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2c二也

a,b=6,D是AC边上近A点的三等分点，且2ZABD=NCBD,贝

ZCBD=；BC=.

令/I=ZABD,Z2=ZCBD,

.“.gyE-ADBD

在4ABD内，根据正弦定理可得/F

S111z__LJ111

在^BCD内，号BD

sinC

一,o2sinN1sinA一「

两等式相除可得蒜，又2ca,

0111/N〉11IL

即2sinC=小sinA,

n?sinN122sin/工A/1

则sin/2二季=2sinZlcosZ1zcosZ1=2'

,Z2=f,mtZABC=^，则AC2=b2=a2+c25U

36=1a2+a2,所以BC=a=

林案.工蛀

口木•37

三、解答题

10.如图，甲船以每小时3072海里的速度向正北方航行，乙船按固

定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西

75。方向的B］处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2

处时，乙船航行到甲船的南偏西60。方向的B2处，此时两船相距10^2

海里.问：乙船每小时航行多少海里？

乙

如图，

乙

连接A1B2,由已知A2B2=10啦海里，

20

A1A2=30^2X—=10A/2（海里）,所以A1A2=A2B2.

又NAIA2B2=60。，所以△A1A2B2是等边三角形，所以A1B2=AIA2=

10^2海里.

由已知，AiBi=20海里,ZB1A1B2=180°-75°-60°=45°,在△A1B2B1

2

中，由余弦定理得BiB：=AiB?+A尚-2AiBrAiB2-cos45°=20+

（10啦）2-2x20x

10啦x^-=200,所以B1B2=10^2海里.

因此，乙船的速度为誓x60=30^2(海里/时).

所以乙船每小时航行30^2海里.

11.在海岸A处，发现北偏东45。方向，距离A为事-1海里的B

处有一艘走私船，在A处北偏西75。方向，距离A为2海里的C处有

一艘缉私艇奉命以10^3海里/时的速度追截走私船，此时，走私船

正以10海里/时的速度从B处向北偏东30。方向逃窜.

(1)问C与B相距多少海里？C在B的什么方向？

⑵问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.

(1)根据题意作出示意图，如图.①

贝UAB二小-1,AC=2,ZBAC=120°,

在^ABC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COS120°=6,所

以BC二,，由正弦定理得

ACBC2乖

sinZABC=sinZBAC'即sin/ABC"亚’

2

解得sinZABC=^~，所以NABC=45°,

所以C在B的正西方向.

⑵由(1)知BC=加,ZDBC=120°,

设t小时后缉私艇在D处追上走私船，

贝UBD=10t,CD=10^/3t,在4BCD中由正弦定理得岩号=

lot1

sm々CD，解得ZBCD="，所以NBCD=30。，所以^BCD是等

腰三角形，所以iot=加，即t=噂.

所以缉私艇沿东偏北30。方向行驶*小时才能最快追上走私船.

综合突破练

一、选择题

1.已知船A在灯塔C北偏东85。且到C的距离为2km,船B在灯塔

C北偏西65°且至I」C的距离为3km,则A,B两船的距离为()

A.2小kmB.3啦km

C.y[15kmD.y/13km

选D.如图可知NACB=85°+65°=150°,

AC=2km,BC=V3km，所以AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cos150°=13,

所以km.

2.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上，DC=10m,从D,C

两地测得A点的仰角分别为30。和45°,则A点离地面的高AB等于

()

A.10mB.5小m

C.5(^3-l)mD.5(73+l)m

选D.方法一：设AB=xm,贝UBC=xm.

所以BD=(10+x)m.

ABx/

所以tanZADB=f^==□.

DB10+X3

解得x=5(S+1)•

所以A点离地面的高AB等于5(3+l)m.

方法二：因为NACB=45。，所以/ACD=135°,

所以NCAD=180°-135°-30°=15°.

CD

由正弦定理，得AC=sm/CAD，sinZADC

1020

二而百“in30。=存3(m),

AB=ACsin45°=5(^3+l)m.

3.如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行.在A处观测

地面目标A，测得俯角NBAP=30。.经2分钟飞行后在B处观测地面目

标P，测得俯角NABP=60。.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目

标P,测得俯角NBCP=8且

cose=噜，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）

A.1.25分钟B.L5分钟

C.1.75分钟D.2分钟

选B.设飞机的飞行速度为v，根据飞机的飞行图形，测得俯角NBAP

=30。，经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P,测得俯角为NABP

=60°,所以△ABP为直角三角形，过点P作PD±AC于点D,则AB

=2v,AP=/v,BP=v，解得DP=；,

DBC

设CB=xv,因为cos8=生票,可得sin8-cos2。，所

以tan6二乎,

火

在直角4PCD中tan0=^---------,解得x=1.5,即该侦察飞机

p/+XV

由B至C的飞行时间为1.5分钟.

二、填空题

4.甲船在岛B的正南A处，AB=6km,甲船以每小时4km的速度

向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东

60。的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_______km.

假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C,D,如图所示，

可知BC=6-4x,BD=3x,ZCBD=120°,CD2=BC2+BD2-2BCxBDxcos

115

ZCBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3xx-=13x2-30x+36.当x二五时

9、国

甲、乙两船相距最近，最近距离为噪-km.

C

A

受案.典

1=1

5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公

路北侧一山顶D在北偏西45。的方向上，仰角为a，行驶300米后到

达B处，测得此山顶在北偏西15。的方向上，仰角为0,若0=45。，

则此山的高度CD=米，仰角a的正切值为.

D

设山的高度CD=x米，由题可得NCAB=45°,ZABC=105°,AB=300

米,NCBD=45°.在^ABC中,可得：NACB=180°-45°-105°=30°,

…e-ABCBACpgr

利用正弦ZE理可侍sin30。=sin45°=sin105°，角牛侍CB=

函，

AC=150（加+蛆）（米）.

在RtABCD中，由/CBD=45。可得：x=CB=300^2（米）,在RtAACD

—CD300啦厂

中可行tana=而.+的冲一。

答案：300^2小~1

6.一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30。处，之后

它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯

塔S在它的北偏东75。处,且此时它们相距8啦海里，此时的航速是

海里/小时.

在^ABS中,易知ZBAS=30°,ZASB=45°,且边BS=8啦,利用

—e-ABBSAB8/，口

正弦XE理可得市府;而而,即nm场二十，得AB=16,

22

又因为从A到B匀速航行时间为半小时,

所以速度应为竽=32（海里/小时）.

2

口

7.甲船在A处发现乙船在北偏东60。方向的B处，乙船以每小时a

海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时小a海里，问：甲

船应沿方向前进才能最快与乙船相遇？

如图，设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC=at,AC=也at,ZB=180°-60°=120°.

由正弦定理得二强

皿BC-sinBatsin120°21

贝Usin/CAB=—而一

4at

因为0°<ZCAB<90°,所以NCAB=30°,

所以/DAC=60°-30°=30°,

即甲船应沿北偏东30。的方向前进才能最快与乙船相遇.

答案：北偏东30°

三、解答题

8.某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD

沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区.经测量，边界

AB与AD的长者B是200米，NBAD=60°,ZBCD=120°(^3-1.7321,

4=2.4495).

(1)若NADC=105°,求BC的长(结果精确到米)；

⑵围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到

米).

(1)连接BD,贝4在4BCD中BD=200,NBDC=45°,

BD