2021湖南高三数学第三次高考模拟考试含答案

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2021湖南高三数学第三次高考模拟考试含答案

湖南省2021届高三模拟第三次考试

数学

本试题卷分为第I卷(选择题)和第D卷(非选择题)两部分，共22题，时量120分钟，满分

150分。

第I卷

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合

A.{x|x>—\/10}B.{x|l<x<10)

C.{x|x>yi0}D.{x|l<x<yi0}

2.已知N在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则禹=

A.1—3iB.3+iC.1-iD.2-i

3.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品

店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则

粮食加工品店需要被抽检

A.20家B.10家C.15家D.25家

4.已知抛物线。0=启(帆>0)上的点A(a,2)到其准线的距离为4,则m=

A./B.8C.-g-D.4

5.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个号长逐渐变小

问题大意如下:一年有二十四个节气，每个节气悬长损益

相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相

同).二十四个节气及号长变化如图所示，若冬至暑长一丈

三尺五寸,夏至暑长一尺五寸(注:一丈等于十尺，一尺等

于十寸)•则立秋暑长为

A.五寸

B.二尺五寸

C.三尺五寸

D.四尺五寸

6.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用

长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦楼长逐渐变大

娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划

完美收官,这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻力和地球引

力的理想状态下，可以用公式-In5计算火箭的最大速度水m/s),其中%(m/s)是喷

流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，羡称为

"总质比''.若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s,当总质比为500时,A型火箭的址大速

度约为(lge*0.434,1g2=0.301)

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

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7.P为双曲线一£=lQ>0,b>0）上一点,分别为其左、右焦点为坐标原点.若

IQPI=6,且sinNPFzR=3sinNPBB，则C的离心率为

A.72B.伍C.2D.V6

8.在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球,其中9个是白球,1

个是黑球,用两种方法让同学们来摸球.方法一:在20箱中各任意摸出一个小球;方法二:在

10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为Px和a,则

A.piV/>2B.p\=p2

C.p}>p2D.以上三种情况都有可能

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，有选错的得。分,部分选对的得2分.

9.在（3工一白尸的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128,则

A.二项式系数和为64B.各项系数和为64

C.常数项为一135D.常数项为135

10.已知函数y（jr）=2alnx+a^+h.

A.当a=-l时,/（z）的极小值点为（1,1+b）

B.若人力在口,+8）上单调递增，则ae[—1,+8）

C若人工）在定义域内不单调，则（—8,0）

D.若&=一卷且曲线y=/Cr）在点（1,/。））处的切线与曲线尸=-1相切，则6=-2

11.如图,在平行四边形ABCD中,AB=l,AD=2,NA=60",沿

对角线BD将A4BD折起到△PBD的位置，使得平面PBD±

平面BCD,下列说法正确的有

A.平面PCD_L平面PBD

B.三棱锥P-BCD四个面都是直角三角形

C.PD与BC所成角的余弦值为号

D.过BC的平面与PD交于M,则△MBC面积的最小值为军

12.已知函数/（j-）=2asinOKTCOScar—2cos2ttAzfl（g>0,a>0）,若/（x）的最小正周期为五,且

对任意的7£&八了）》/（死）恒成立,下列说法正确的有

A.u）=2

B.若劭■，则a=£

C.若人工。一手）=2,则a=g

D.若8（H）=，（力一2|/（工）|在（工0—竽,工0—6）上单调递减,则奇忌〈学

第II卷

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知单位向量满足m-2加=4，则a与b的夹角为▲.

14.函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这

样一个量:它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以

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想象到的运算得到的.若一个量c=a+A而c所对应的函数值”c)可以通过/(c)=/(a)-

得到，并且对另一个量d,若d>c,则都可以得到八根据自己所学的知识写

出一个能够反映f(c)与c的函数关系式：▲.

15,直线Z：(2a-l)x+(a-3)3-4-4-3a=0与圆(工-2)2+[=9相交于A,B两点，则|AB|的

最小值为▲;此时a=▲.(本题第一空3分,第二空2分)

16.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就

是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是▲.

①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5,6,7的“等腰四面体”的体积为2/95;

④三组对棱长度分别为a，6,c的“等腰四面体”的外接球直径为4?+夕.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=36sinA,a=3,c=3^2.

(D若Yc,求bi

(2)求cos2C.

18.（12分）

为了解华人社区对于新冠疫苗的想法与态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体,进行了

小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者，最担心接种疫苗后会有“副作

用”.其实任何疫苗都有一定的副作用，新冠疫苗接种后也是有一定副作用的,这跟个人的体

质有关系,有的人会出现副作用,而有的人不会出现副作用.在新冠疫苗的副作用中，有发

热、疲乏、头痛、注射部位的疼痛等表现.为了了解某种疫苗是否会出现疲乏症状的副作用，

某组织随机抽取了某地200人进行调查,得到统计数据如下：

无疲乏症状有疲乏症状总计

未注射疫苗10020120

注射疫苗Xyn

总计160m200

(1)求2X2列联表中的数据x,y,m,n的值,并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与注

射此种疫苗有关；

(2)从注射疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随

机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分,抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1

分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X,求X的分布列和数学期望.

附:昭=Q+b)(：黑(Td)(b+d)，"=a+"c+&

PIK2》自)0.1500.1000.0500.0250.010

%2.0722.7063.8415.0246.635

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19.(12分)

已知S”是数列｛4｝的前〃项和,%+1-34+2aLi=l,a】=l,&=4.

(1)证明：数列储疗1一4+1｝是等比数列.

.(2)求Sn.

20.(12分)

如图，在四棱台ABCD-A】B】GDi中，底面为矩形，平面AAD】D_L平面CQDQ,且CC1

=CD=DDj=｝GDI=1.

(D证明：AD_L平面CCQiD.

⑵若AC与平面OQDQ所成角为青，求二面角C-AA-

。的余弦值.

21.(12分)

已知函数/(x)=--Fainx(a6R)»g(x)=x2—x—~

XX

(1)讨论/(H)的单调性；

(2)若函数F(z)=/Gr)+gGr)存在两个极值点与，4,且曲线y=F(z)在工=/五石处的

切线方程为y=GCr),求使不等式FG)VG(H)成立的工的取值范围.

22.(12分)

已知椭圆C谓+1=1＜。＞6＞0)的右焦点为F(c,0),离心率e=£.

(1)若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线工=£的距离之比为定值，并求

出该定值.

(2)设c=l.过定点(0,c)且斜率为k的直线I与椭圆C交于M,N两点，在y轴上是否存在

一点Q，使得？轴始终平分NMQN?若存在，求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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湖南省2021届高三模拟第三次考试

数学参考答案

1.D因为:"=｛川7＞】＞..、=｛川.所以MDN=Givy/｝.

2.B由题意知z=2—i•所以刁=■而-3+L

3.A粮食加工品店需要被抽检20+；罂+J*27=20家.

4.C因为点AQ.2)到C的准线的距离为4.所以七+2=4.得〃一孑.

5.D设从熨至到冬至•每个节气号长为明.即夏至时祥氏为川=15.冬至时昼长为❷=135,由每个节气展氏

损益相同可知.〃…一a产常数•所以为等差数列.设公差为4•由题意知必一叫+12c/=15+12d=135,

解得＜/=10,则©=勾+3d=15+30=45,四十五寸即四尺五寸.

6.Cv=v.ln—=1000Xln500=1000X^-^=1000X^-^^6219m/s.

mIgeIge

7.B由sinNPF2R=3sin/PBF」及正弦定理可得IPRI=31PF」.

因为12吊1一16|=勿・所以161="・|尸^|=3«.

因为Q6I=c，IOPI=，，•所以NOPR=W"，所以COS/OBP=3.

在△居BP中・cos/B员P=［十＜貌=cos"RP二f.

化简得c=6a•所以C的离心率/=£=6.

a

8.A方法一:每箱中的黑球被选中的概率为七•所以至少摸出一个黑球的概率m=1一啥产.

方法二:每箱中的黑球被选中的假率为所以至少摸出一个黑球的概率化=1卷严.

■一生=(,＞。一喝产=(春去一《黠》y。.则角＜生.

9.ABI)在(3］一白)”的展开式中•各项系数和与二项式系数和之和为128.

令才=1•得各项系数和为2",：项式系数和为2♦•则2X2-=128•得”=6.即二项式系数和为64.各项系数和

也为64.⑶一《尸展开式的通项为7；・(3.r)f,4・(-7=)*=0*(-l)*3fi*•.

q工VJ-

令6—多t=0•得6=4•因此.展开式中的常数项为T-Q•(-1),-3?=135.

10.BC极小值点为一个实数.故A不正确.

由/1.r)=§+2x20・可得a2一M.因为.r2I•所以a2一1.故B正确.

/(公=2"：电・当40时/(幻〉0恒成立；当aVO时/(/)不恒为正数.所以/(公不单调,故C正确.

因为。=一"|"♦所以/(.小—后］+合+4因为/⑺一彳十”所以/⑴一八因为八—.

所以切线方程为y=-i+b+2.设宜线3—一/+。+2与曲线y=-e*相切的切点的横坐标为r..则一小，

=一1,所以-=0,即切点坐标为《0.—1》•代人丫=一工+办+2.可得6=-3.故D错误.

II.ABD在△BCD中.因为(7)=1,比'=2./八=60°,所以3。=6.所以皿＞+('。2=比？.所以。。，3。

因为平面PBDJ_平面BCD且交于3D•所以CD1平面PBD.所以CD±PD.

同理PBJ_平面BCD.因为。江平面PCD•所以平面P(7ZL平面P3Q,所以A・B正确.

以Q为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Q-＜yz.则/“6・0.0),C(0・l・0),P(Q・0・D.因为诉=

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（6,0,1）.设'=（一偌・1.0）.所以COS<BT\D?）==—,・.

所以PD与BC所成角的余弦值为卷,故C错误.—……行灵X

因为M在线段PQ上.设M/a.0・a）・则就=（焉一房,0.一“）.\

所以M到皮、的距离d=J而"（"泮’尸=^$2一为+卷'

当“=,时心=亨・所以^乂改'面积的最小值为十BC-公空.故D正确.

12.BCD因为f（x）=2as\na^rcos3,—2cos2car+l=asin2a>r—cos2coz=>/«24-1sin（2<ar—«

其中cos^=-7-=:.sin9=舞三.因为/（工）的最小正周期为n.所以s=1•故A错误.

因为对任意的工£RJCr）》/U“）恒成立・所以/5）是/Q）的最小值.

若/“=一卷.则2X（一告）一产一吐+2"（40・?>=/一%60

所以cos牛=—^==尊.”一网、极13正确.

vaz+l”

因为J5）是/⑺的最小值•所以人工一学）为最大值.所以/7Tf=2,所以a=月.故C正确.

因为当（.Fo-—y）时・yXi）>0♦所以g（x）=~f（x）.

因为/（1）在（/一干"，,一§•）匕中刚递增•所以*（l）在5—学..n一£）上单朋递减.

4444

当工£(「一£■・.?1.一千)时.所以g(x)=—/(.r).

Lq

因为/S在Q-f・J-子）上单圈递减.所以奴1）在5一学一一半）上单调递增.

所以心一苧<r°—号.所以今《X苧•故D正确.

13.g•（或写成60°）因为la-2bla-\a•b+•=3.所以cos<a,b〉=}.即（。㈤=专.

14./"）=d（单调递增的指数函数都可以）

15.2/7因为直线Q7Xr+Q—2）.y+3-2a=O恒过点（】，1）,所以当圆心与点（1.1）的连线与直线AB

垂直时♦弦长1人小最小.因为圆心（2・0）与点（1J）间的距离为/（2—1）+（0—1y=々.半径为3・所以弦

长IA/3I的最小值为2/^=7=2々.因为圆心（2,0）与点（1•1）连线的斜率为与=-1•所以此时直线/的

斜率为1,由一言二］•得。=等.

16.①②③如图•将”等腰四面体”补成一个长方体.

设此”等腰四面体”的对棱棱长分别为。•仇c.

与之对应的长方体的长宽高分别为,•y•=•

（,...I-..•,.H用”—</+/—"•.c»!4-6:—rtr-Fc!-a2

则1y=力，得r=-------2------，旷----9--------------------9-------

丁+―,

结合图形•容易判断出①②都是正确的：

对于③•由u=5»=6,c=7.得.<:=/19.j'=>/6.?=/30.

因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体枳,

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所以“等腰四面体”的体积为工＞一4/'+工―袅k=2A・故③正确;

对于④•三组对棱氏度分别为小儿，的“等腰四面体”的外接球直径为2R=//+"蛆*&+y+由・

故④不正确.

17.解：(1)因为a=36sinA.所以sinA=3sinBsinA,......................................................................................1分

因为sinA>0•所以sinB=y..........................................................................................................................2分

因为Yc•所以BVC.所以3为锐角........................................................3分

贝Ijcos8=^^,.......................................................................................................................................................4分

由余弦定理得/=B=久.......................................................................................................5分

(2)由(1)知・cosB=±箸.................................................................6分

2>/2AF>r>a?+〃—C73r4

当cos3u=-^-时o+.6=，3・cosC=-----元)=-~j-....................................................................................7分

cos2C=2cos2C-1=—|-；..................................................................................................................................8分

当cos8=~"2^时沙=ysT,

cos2C=2coszC_1=5TV.......................................................................................................................................10分

18.解：(1)由题意得m-tO^=m-2O=4O-2O=2O.

工=160—100=60.〃=H+丁=60+20=80...............................2分

因为.-200X(100X20-20X60)2_25~?079

分

因为K.16oX4OX12OX8O-12^2.083>2.072.I

所以有85%的把握认为有疲乏症状与注射此种疫苗力关.,5分

(2)从注射疫苗的〃人中按是否仃疲乏症状.采用分层抽样的方法抽出8人.可知8人中无疲乏症状的有6

人•仃疲乏症状的有2人.再从8人中随机抽取3人.当这3人中恰有2人有疲乏症状时,X=10•当这3人

中恰有1人有疲乏症状时.X=13•当这3人中没有人有疲乏症状时,X=16.8分

因为P(X=10)=3/=/・P(X=13)==1|・

nV-a・c?5

P(X=16)=-^=n.......................................................................................11分

所以X的分布列如下：

袤吟告=%或

E(X)=10X+13><1|+13.75).12分

19.(1)证明：因为a.-1-3ali+为〃l1.

所以4"［一""二？3"—a"1),I.3分

即

=2.4分

a.-t1

因为“I=I，S=4.所以a?—5+1=4・............................5分

故数列｛4」一g+1)是首项为4•公比为2的等比数列.6分

(2)解:由(1)知a.T-a・+l=2”+l.....................................7分

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因为％=a“i）十（%i—a.,CH------F（《一

=（22+23+…+2"）一（”一D+L........................................................................................................8分

所以““=2"|一”-2............................................................................................................................10分

所以5=（2，+2+・・・+2”—《1+2+—+加一2"='"二；"‘一水"”一2〃・.............................11分

故§.=2+£一巧地一4....................................................................................................................12分

20.⑴证明:在梯形CCnD中，因为CCt=CD=DD尸+GDi=1・

所以NDDC="1•，连接DG・由余弦定理可得DC,=73.............................................

因为8+DD?=nCh所以ACi_Lg.......................................................................

因为平面/WDQ_L平面a\D,D且交于DD>.

所以DC」平面AARD.

因为A匿平面AAiRD,所以AD_1_DQ.......................................................................

因为AD±DC\DCClDC,=D.

所以AD_l?F而CGDD.................................................................................................

(2)解:连接4G.由(1)可知AiD_L平面CCD,D.D

以Di为坐标原点.建立如图所示的空间宜角坐标系D>-xyc.

............................................................................5分

因为4。，平面CGRD.

所以AC在平面CCDJ)内的投影为DC•所以AC与平面

CCQD所成的角为/AC。•即4%。口=受........6分

在RiZXACD中.因为CD尸伍•所以八Q=3...............7分*

因为D,(0,0,0),A,(3.0.0).D(0.y.y),C(0.-j-.y).C,(0,

2.0),.....................................................................................................................................................8分

所以司5=(0・"1•.冬.万T=(3,0・0).五芭=(-3,2・0),否丁=(一3・伴・%.

取平面AAQQ的法向址为反7=(0,普.一冬............................................9分

设平面AAiCC的法向量为”=(H，WZ).

In•Aid=-3x+21y=0,

可".研―的+彖i.Q=2.得尸<2,3.闻...............................I。分

所以co、〈和"n》==一日•.....................................................1】分

I景/A~।•〃nQ

由图可知二面角C-AAi-D为锐角.

所以二面角C-AAi-D的余弦值为...................................................12分

q

21.解：(1)由/Cr)=：+Hnx•可得.............................................】分

当a40时・/(外V0恒成立,则人工)在《0・+8)上单调递减.................................3分

当a>0时,令外力>0.得］>十;令/(力V0.得0<x<­.

人"在(上・+8)上单调递增.在(0・上)上单调递减..........................................5分

aa

(2)因为F(.r)—fix')4-^(j-)=uln.r+J-3—.r.

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所以万（公=0+2工-1=#一（工>0）......................................................................................6分

xx

因为F（#有两个极值点•所以尸。）=0有两个大于零且不相等的解•即”小4=0有两个不等1E根.

[△=1—8a>0・

叫舞。.解得0VaV《・

因为工1工2=£•所以'.....................................................................................................8分

所以曲线尸FCr堆尸匕GT处的切线方程为.v—（今十要卜1•一4曰）=（2后-1）（」一、停）.

即（；（6=（2怎-1）工+号1崂一|&............................................