江苏省海安某中学2021届高三年级上册期中学业质量监测数学

2021届江苏省海安高级中学高三期中学业质量监测

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（2+i）z=l-2i,其中i为虚数单位，则z=

A.1B.-1C.iD.-i

2.已知集合4=-x>0},则6RA=

A.{x|0<x<l}B.{x|0WxWl}

C.{x|x<0或x>l}D.{x|xW0或x»l}

3.在1,2,3,…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1,且被3除余1的数按从小

到大的次序排成一列，构成数列则的,=

A.289B.295C.301D.307

4.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩

敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿

服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是

A.35B.40C.50D.70

OY

5.函数五的图象大致为

X+X

6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中，只参加了其

中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多

的一项比赛人数不可能是

A.15B.17C.21D.26

7.克罗狄斯•托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下

定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两c

组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.根据以上

材料，完成下题：如图，半圆。的直径为2,A为直径延/一'

长线上的一点，0A=2,B为半圆上一点，以AB为一边作(

等边三角形4BC,则当线段。C的长取最大值时，/4OC=°4

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知双曲线g-《=l(a>0,%>0)的焦点为耳，外，其渐近线上横坐标为［的点P

ab2

满足贝IJa=

A.|B.|C.2D.4

42

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列四个函数中，以n为周期，且在区间(方，争)上单调递减的是

A.y=\sinx|B.y=cos2xC.y=-tanxD.y=sin|2x\

10.若(2x-J=『的展开式中第6项的二项式系数最大，则〃的可能值为

A.9B.10C.11D.12

11.已知a>0,b>0,且4+加=1,则

A.a+匕W>/2B.

2

22

c.log27a+log2D.a-b>-l

12.我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N=axl0"(1W"1O,〃wZ).

N的整数部分的位数，〃20,

定义：W(N)=，如：W(1.2X102)=3,IV(1.23x10)=2,

N的非有效数字0的个数，〃<0,

W(3x10-2)=2,W(3.001x10-')=1,则下列说法正确的是

A.当例>1,N>1时，W(M-N)=W(M)+W(N)

B.当〃<0时，W(N)=-n

C.若N=23,1g2®0.301,则W(N)=31

D.当&wN*时，W(2*)=W(2")

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线丁=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为9,则〃=▲.

14.已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据:

使用年限X(年)24568

维护费用y(千元)34.56.57.59

X与y之间具有线性相关关系，且y关于X的线性回归方程为§=L05x+aQ为常数).

据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为▲千元.

(参考公式：线性回归方程5=法+〃中的系数〃=上—-------------，a=y-bx)

力(—)2

i=l

15.如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上，记

电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源，身高1.5m

的女孩站在离点A5m的点B处.若女孩向点A前行4m到

达点。，然后从点O出发，沿着以8。为对角线的正方形走

一圈，则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭

图形的面积为▲nAj

B

16.已知三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=l,以「为球心，坐

为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为▲.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

已知公比q大于1的等比数列｛〃"｝满足q+4=10,4=4.

(1)求｛〃”｝的通项公式；

(2)设2=,求数列｛历｝的前"项和S,,.

请在①“q；②|21og,-9|；③-----------r------------这三个条件中选择一个，

"11(2"+1)(Z+l+1)

补充在上面的横线上，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

18.(本小题满分12分)

在AABC中,设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且(c-b)sinC=(a-力(sinA+sinB).

(1)求A：

(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围.

19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//CD,AD±CD,AB=AD=\,CD=2,

POJ_平面ABCD

(1)求证：8C,平面PBD；

(2)已知尸D=2,点E为棱PB的中点，求直线AE与平面。CE所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部

门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，

则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解

服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望；

（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,

并根据p的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：£+耳=1（。>6>0）的离心率为坐，且经过

a,bz2

点4（1,日）.

（1）求桶圆C的方程；

（2）设尸为椭圆C的右焦点，直线/与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O

作直线/的平行线与直线PF相交于点。，问：线段尸。的长是否为定值？若是，求

出定值；若不是，说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=ae"lg(x)=l吟一1,其中a>0.

(1)若。=1,在平面直角坐标系火刀中，过坐标原点。分别作函数y=/(%)与丁=且(")

的图象的切线4,4，求4,4的斜率之积；

(2)若/(x)2g(x)在区间(0,+8)上恒成立，求。的最小值.

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

DBBCAACB

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

ACABCABDBCD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）

32003叵R.x/6n

13.314.8.215.---------r-------

28943

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)

已知公比q大于1的等比数列｛an｝满足q+03=10,4=4・

(1)求｛〃〃｝的通项公式;

(2)设么=,求数列｛尻｝的前〃项和S〃.

请在①〃•““；②1210g24-9|；③（2"+1+1）这三个条件中选择一个，

补充在上面的横线上，并完成解答.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

2

解：（1）因为q+为=10,a2=4,所以>4q=10,BP2q-5^+2=0.……2分

解得q=2或q=T.

因为4>1,所以q=2,此时q=2.所以/=2".……4分

(2)若选①:bn=n-an=n-2".

贝!IS,,=1x2+2x22+3x2'+…+〃-2",①

故2S,,=lx22+2x23+---+(n-l)-2,,+n-2,,+l.②

①一②得，-S“=(2+22+23+…+2")-〃-2e.......7分

2(1-2")।

-〃N

=(l-n)2B+1-2,

所以S“=(〃-1)2向+2.……10分

若选②:=|21og2an-9|=|2M-9|=P之；...6分

[2«-9,〃与5.

n(7+9—2n)2.0Q

nSn=---------------=-n+8〃；...8分

当〃时,Sn=(t\+b2+b3+b4)+(b5+b6-\---卜bn)

4x(7+l)(〃-4)(1+2〃-9)

=~2-+2

=rT-8〃+32.

—n~+8〃，〃W4,

-8〃+32,几25.

若选③：b=-------二-------=一!--------!一.

------"(2n+l)(2"+l+1)2"+\2"+|+1

则S"=。-舅7)+(京7-黄7%”+岛2向+J

11....10分

-T2,,+l+l

18.(本小题满分12分)

在AABC中，设角A,B,C所对的边长分别为a,h,c,且(c-ft)sinC=(a-勿(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若6=2,且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围.

解：(1)因为(c-6)sinC=(a-b)(sinA+sinB),

由正弦定理知，(c-Z>)c=(a-fe)(a+fe),BPc2-bc=a2-b2.....3分

则由余弦定理知，cosA='+f"

在△A8C中，所以A=?...6分

-B

(2)由正弦定理知，1得。=2sinC……8分

sinCsin5sin3

故S=^bcsinA=孚c=乎•

sin8

v,康+小....10分

由△ABC为锐角三角形，得0＜8〈片，0＜孕-B＜片，所以〈年.

232o2

从而tanB＞堂，所以乎＜S＜2有.

D乙

所以△ABC的面积S的取值范围是(小，2月).……12分

19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—A3CO的底面为直角梯形，AB//CD,ADLCD,AB=AD^\,CD=2,

PQ_L平面ABCD

(1)求证：BC_L平面PBD；

(2)已知/＞0=2,点E为棱P8的中点，求直线AE与平面CCE所成角的正弦值.

解：（1）在直角梯形ABCD中，取C。的中点F,连接BF,则8尸=AO=1,CF=1,

所以8C=0,又80=0,DC=2.

所以8c2+8D2=CD2,从而BC_LBD.

又PD_L平面4BCD,BCu平面ABC。,

所以BCLPD.

因为BC_LB£),BCLPD,BDTPD=D,

BD,PDu平面PB。，所以BC_L平面P8D

（2）因为尸O_L平面ABC。，ADLCD,所以以。为坐标原点，DA,DC,OP分别为

x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系力-xyz.

则A(l,0,0),8(1,1,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),于是Ea1),

20.（本小题满分12分）

根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部

门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，

则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.

（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解

服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望；

（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,

并根据p的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概;率小于5%的事件可视为小概率事件）

解：⑴由题意知，X所有可能值为0,1,2,且P（X=0）=$3=M=1

''C；n459

C；C=25=3P（X=2）=等=患得

...3分

P(X=I)45

则X的概率分布为

X012

252

P

999

所以E(X)=，()+\xl+杀2=1.6分

yyy

（2）设通过试验痊愈的人数为Y,则y10,1）.

记“通过试验却认定新药无效”为事件A,事件A发生等价于｛Y<2｝.

则p=p（y<2）=p（y=o）+p（y=i）=cM3j'x（｝『+cM；）'x（/『

=电.……1°分

由题意，实际上新药是有效的；当痊愈人数低于2人时，认定新药无效，此时

做出了错误的判断；因为0。0.01<0.05,这个概率很小，故试验方案是合理的.

……12分

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：4+《=1（。>6>0）的离心率为冬，且经过

ab~2

点A（l,堂）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F为椭圆C的右焦点，直线/与椭圆C相切于点尸（点P在第一象限），过原点O

作直线/的平行线与直线尸尸相交于点。，问：线段P。的长是否为定值？若是，求

出定值；若不是，说明理由.

C_五

解：（1）记椭圆的半焦距为c,由题意知，」+」r=l,……3分

a22b-

a2=b2+c2.

解得=所以椭圆C的方程为考■+卡=1.……5分

（2）设直线/的方程为y=丘+〃?，

y=kx+m9

由＜得（2公+1）J+4knr+2m2-2=0.

y+y2=B

因为直线/与椭圆M相切，所以△=（4kw）2-4（2加2_2）（2公+1）=0.

化简得，“=2无？+1........7分

设P（Xp，y）,则x==—•

'p7p2k2+\mm

当点P为（1,乎）时，Q（l，—乎），PQ=&;

当点P不为（1,岑）时，直线PF方程为尸-导正（x-1），

由[丫=_1^（》_1），得——=.1.,所以々=,1

v

y=l（Xf2K+AT??+1in[in+k）m[m+k）

.......10分

于是PQ=J（冷=

（4k2+4km+m2+1|1+2-+2km|

|2k+m\]加+k）]

J2k2+4lan+2m2nr+2km

_—1__________________x=>/2.

|2k+m\

综上，线段PQ的长为定值正.12分

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=〃e'+i,g(x)=ln,l,其中a>0.

(1)若。=1,在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数y=/(%)与y=g(x)

的图象的切线4,小求4,4的斜率之积；

(2)若/(x)》g(x)在区间(0,+8)上恒成立，求〃的最小值.

解：(1)设直线44的斜率