高中数学知识点总结 选修2

第一章导数

1.1导数

当x变化时，「(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(derivative

function)(简称导数力

f(x+Ax)-/(%)

lim

f(x)=y=△x

函数在某一点Xo处的导数:

Kxo+A%)-f(%o)

f(x())=y=lim

Ax->0△%

1.2.2基本初等函数的导数公式

1.f(x)=c(c为常数),f5(x)=0

2.f(x)=x",f'(x)=nx"-1

3.f(x)=sinx,f(x)=cosx

4.f(x)=cosx,f(x)=-sinx

5.f(x)=a,f'(x)=a*lna

6.f(x)=ex,f(x)=e

f(x)=lnx,则f(x)=；

f(x)=10gax,则F(x)=^

导数运算法则：

[f(x)±g(x)]=f(x)±g'(x)

[f(x)•g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g'(x)

r/wi'_f(x)g(x)-f(x)g'(x)

[<7(X)]2(g(x)wo)

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为

III

u

yx=yu-x

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

1.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数

在某个区间(a,b)内，如果f，(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；

如果f，(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

极大值点(如x=a)附近的点的函数值都比该点的函数值小，该点的函数值叫做

极大值；

极小值点(如x=b)附近的点的函数值都比该点的函数值大，该点的函数值叫做

极小值。

极大值点、极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值(extreme

value)o

注意：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，而

不是函数在整个定义域内的性质。

*导数值为0是该点取得极值点的必要不充分条件。

一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:

解方程f'(x)=O,当>xo)=O时:

(1)如果在xo附近的左侧f'(xo)>O,右侧r(xo)<O,那么f，(xo)是极大值；

⑵如果在X0附近的左侧f'(xo)<O,右侧r(xo)>O,那么f，(xo)是极小值。

一般地，求函数y=f(x)在［a,b］的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是

最大值，最小的一个是最小值。

1.5.3定积分的概念

⑴分割⑵近似代替(3)作和⑷取极限

一般地，如果函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，用分点

a=x0<X］<—<xi_1<Xj<—<xn=b

将区间［a,b］等分成n个小区间,在每个小区间［x〃,■上任取一点&(i=l,2,

…，n),作和式

nni

°°b-a

2吗)取=?7-鸣)

i=1i=1

当n—8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,

b］上的定积分(definiteintegral),记作”f(x)dx,即

「b口b-a

Jf(x)dx=limJ］--f(^)

Jan->oon

这里，a与b分别叫做积分卜限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函

数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有f(x)2O,

那么定积分'aKx)dx表示由直线x=a,x=b(aHb),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边

梯形的面积。

定积分的性质:

bfb

kf(x)dx=kJf(x)dx(k为常数)

aJa

brbrb

[f1(x)±f2(x)]dx=Jf1(x)dx±Jf2(x)dx

aaa

brcrb

f(x)dx=Jf(x)dx+Jf(x)dx(其中a<c<b)

aJaJc

111

.3.3,3,,312,,i、2

i=1+n2+…+n=-n(n+1)

iE=14

1.5微积分

一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么

J：f(x)dx=F(x)|：=F(b)-F(a)

这个结论叫做微积分基本定理(fundamentaltheoremofcalculus),又叫做牛

顿•莱布尼茨公式(Newton・LeibnizFormula)o

第二章推理与证明

推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

2.1.1合情推理

e.g.

⑴哥德巴赫(Goldbach)猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和;

(2)费马(Fermat)猜想：任何形如2+1(neN')的数都是质数(善于计算的欧拉

2s

(Euler)发现第5个费马数F5=2+1=4294967297=641X6700417,从而推

翻了费马的猜想)；

⑶地图的“四色猜想”；

⑷歌尼斯堡七桥猜想)

根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提

出猜想的推理统称为合情推理(plausiblereasoning)«,合情推理的结论不一定正确，

有待进一步证明。

得到一个新结论之前，合情推理能帮助我们猜测和发现新结论；证明一个结

论之前或探索一个问题，合情推理能为我们提供证明或解决问题的思路和方向。

2.1.1.1归纳推理

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些

特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(由部分到

整体、由个别到一般的推理)。(抽样调查是一种归纳)

2.1.1.2类比(analogy)

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类

对象也具有这些特征的推理称为类比推理(由特殊到特殊的推理)。

类比直角三角形的勾股定理，在直三棱锥(三条棱两两垂直的棱锥)中，有：

2222

直三棱锥中三个侧面的面积的平方和等于底面面积的平方，即S底=S1+S2+S3

Quotations

“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问

题。”——波利亚(Polya)

“合情推理是冒险的、有争议的和暂时的。”一一波利亚

“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘

密。”——开普勒(Kepler,1571—1630)

“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”一一拉普拉斯(Laplace,

1749-1827)

2.1.2演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理

(demonstrativereasoning)。演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本

推理方法。

“三段论"(Syllogism)(由亚里士多德创立，他还提出用演绎推理来建立各

门学科体系的思想)是演绎推理的一般模式，包括：

(1)大前提一一已知的一般原理；(如果大前提是显然的，则可以省略)

(2)小前提一一所研究的特殊情况；

⑶结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。

公理化方法：尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、共设),

以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论。

*直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

类比三角形的余弦定理，可得四面体的余弦定理：

0

S&BCD=^AVBCC0SCtl+SAVCDCOS^+^AVBDC0Sa3

S&BCD=S^VBC+SAVBD+SMD-2SAVB(-SiVBDcosPj-2SiVBCSiVCDcosP2-2SiVBDSAVCDcosp3

2.2直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法(直接证明中最基本的两种方法)

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理

论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(synthetical

method),又叫顺推证法或由因导果法。

用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综

合法可表示为：

P=Q1Q1=Q2Q2=Q3Qn=Q

*解决数学问题时，往往要先把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成

图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，

把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理

等)为止，这种方法叫做分析法(analyticalmethod),又叫逆推法或执果索因法。

用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为：

得到一个明显成

Q=P1P1=PP2=P

23立的条件

在解决问题时，经常把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点

去转化结论，得到中间结论Q'；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结

论P'；若由，可以推出Q，成立，就可以证明结论成立。

用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则该过程

可表示为：

2.2.2反证法

一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的

推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明

方法叫做反证法(reductiontoabsurdity),或叫归谬法。

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛

盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。

反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。数学家哈代曾经这样称赞

它：“归谬法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局牺牲一子以取得优势的

让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局

拱手让予对方！”

2.3数学归纳法(mathematicalinduction)

多米诺骨牌的类比(只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下)：

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值no(no€N+)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n=k(k>no,keV)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有正整数n都成立。

可表示为：

验证「二吗时命题成.鼾跣嘱器

”也成立

归纳奠基归纳递推

第三章复数

3.1.1复数的概念

形如a+bi(a,beR)的数叫做复数(complexnumber),其中i叫做虚数单

位(imaginaryunit)。全体复数所成的集合C叫做复数集(setofcomplexnumbers)。

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,beR),这一形式叫做复数的代数形

式(algebraicformofcomplexnumber),a与b分别叫做复数z的实部(realpart)与

虚部(imaginarypart)。

复数z｛虚数(bH0漕皇o睚纯虚数)

规定：复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

用建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫

做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复平面内的点Z(a,b):一列应」复数z=a+bi:…对应》平面向量显

为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量应，并且规定，相等

的向量表示同一个复数。

向量。Z的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|；

22

z=la+bi=r=Ja+b(r>0,reR)

3.2复数的代数运算

3.2.1复数的加减运算及其几何意义

zx±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

复数加法交换律、结合律：

两个向量的和(差)就是与该两向量对应的复数之和(差)所对应的向量。因此,

复数的加减法可以按照向量的加减法来进行，这就是复数加减法的几何意义。

3.2.2复数的乘除运算

Z]•z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

复数乘法交换律、结合律、分配律:

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为

共趣复数(conjugatecomplexnumber)。虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共

物虚数。通常记复数z的共枕复数为万

复数的除法法则：

,、ac4-bdbe-ad

z,-e-z2=(a+bi)4-(c+di)=-=----7+方----(c+di00,即除数不为0)

+dc+