空间向量及其运算的坐标表示与空间向量应用-2020-2021学年高二数学周计划高效训练人教A版

第"周变间陶堂义共运算的坐标表求易生同

向董成用

选择题

1.若向量）=（1,九1）,万=（2,—1,-2）,且M与5的夹角余弦为也，则；I等于

A.-&B.V2c.-五或6

【答案】A

【解析】•.•向量>=(1,4,1),5=(2,-1,-2),

方与5的夹角余弦为立，

=包

cos<a,b>=

\d\-\b\52+把.也

解得;1=-夜.

故选A.

2.若行=(2,-3,5),B=(—3,1,2),则|M—25|=

A.75/2B.5夜C.3MD.6x/3

【答案】C

【解析】a=(2,-3,5),5=(-3,1,2),

々-2b=(8,-5,1),

a-2h\=V64+25+1=3>/10.

故选C.

3.已知向量M=(1,1,0),B=(—1,0,1),且%+B与M互相垂直，则％=

A.-B.-C.--D.

323

【答案】B

【解析】•.•向量讶=(1,1,0),5=(-1,0,1),

：.ka+b=(k-l,k,1)；

又切+6与。互相垂直,

/.(ka+h)^a=O,

即d)xl+Z=O,

解得R=L

2

故选B.

4.已知向量。=(—2,x,2),1=(2,1,2),c=(4,-2,l).若:_L(5-O,则x的值为

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】A

【解析】因为向量&=(-2,x,2),6=(2,1,2),c=(4,-2,l),

所以5-八(-2,3,1)；

又-,

所以2.S,-0=0,

即-2x(-2)+3x+2xl=0,

解得x=-2.

故选A.

5.空间向量通=(1,0,-1),平面。的一个法向量加=(0,1,1),则直线AB与平面a所成角为

A.-B.-C.乙或留D.生或二

636633

【答案】A

【解析】直线/与平面a所成的角的正弦值：sin^=|cos<AB,万>|=1学向=」

\AB\\n\V2xV22

则直线A3与平面a所成角。为：

6

故选A.

6.已知商=(2,1,-3),B=(0,-3,2),0=(—2,1,2),则♦•(』+>)=

A.18B.-18C.3应D.-30

【答案】B

【解析】6+3=(-2,-2,4),a=(2,1,-3),

汗•(b+d)=T-2-12=-18.

故选B.

7.在正四面体P—ABC中，棱长为2,且E是棱AB中点，则近•反1的值为

A.-1B.1C.V3D.-

3

【答案】A

【解析】如图，P-ABC为正四面体，则ZAPC=ZBPC=ZAPB=60°,

E是棱Afi中点，

所以而」(而+函，BC=PC-PE

所以

而而小由画叱-画《丽附

-PB-PC--PA>PB--PB=-X2X2XCOS600--X22=1-2=-1>

22222

故选A.

4

»

8.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若丽，氏,BP=(x-l,y,-3),且

平面ABC,则实数x、y、z分别为

A.史，-竺，4B.竺，上,4厂40c，n440

4C.—,—2,4D.4,—,一15

777777

【答案】B

【解析】ABLBC,

AB.BC=3+5-2Z=0,解得z=4.

就=(3,1,4).

•.必J_平面ABC,

BPLAB,BPLBC.

BP»AB=x-l+5y+6=0化为[工+5y+5=0

BP.BC=3(x-l)+y-12=0[3x+y-15=0，

40

x=—

7

解得15.

y=----

I7

4015)

x=—，y=-----♦z=4•

7-7

故选B.

9.如图，在棱长为1的正方体ABC。—4gG〃中，M为BC中点，则直线MD

与平面AgC所成角的正弦值是

D.叵

5

【答案】D

【解析】以Q为原点，OA，QG，OQ分别为X,y,z建立空间直角坐标系,

显然平面A4c的法向量“月=(1,1,1),

0(0,0,1),加(1,1,1)'>

22

—一i+13715

73-4标5

由直线MD与平面世C所成角的正弦值等于Icos<R百，DA1|,

故选D.

y

10.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A—50—。的平面角的大小为一,

3

若点E,产分别是线段AC和BD上的动点，则8瓦次的取值范围为

A.[-1,0]B.[-1,1]C.[二⑼D.[-11]

4224

【答案】B

【解析】如图，BE-BC=(BO+OE)^CO+OF)

=BO.CO+BO-OF+OE.CO+OE.OF

=0-(pB-OF+OE.OC)+0

=-(OB»OF+OE.OC),

也

•/OB=0D=2

22

V2

•/OC=OA=2一二面角A—BD—C的平面角的大小为

3

/.(9E.OC

42

—­—•1

BE^CFe[-l,1].

故选B.

Bc

11.在长方体A8C0—4月6。1中，AB=BC^2,AA,=1,则直线BQ与平面台片。〃所成角

的正弦值为

「屈

A..—>/6BR.-V-i-o-C.---nD.V-i-o-

3255

【答案】D

【解析】在长方体A88-ABCQ中，AB=BC=2,⑨=1,

以3为原点，D4为x轴，ZX7为y轴，OR为z轴，建立空间直角坐标系，

8(2,2,0),G(0,2,1),0(0,0,0),D,(0.0,1),

BC,=(-2,0,1),DB=(2,2,0),DDt=(0,0,1),

设平面B8Q2的法向量为=(x,y,z),

贝〃_.',取x=l,得元=(1,-1,0),

"•DR=z=0

设立线BC,与平面BBQDi所成角为0,

则立线BC,与平面84。口所成角的正弦值为:

而"1国则=3=叵

IBGHnl百&5

8

X

12.已知直四棱柱ABC。—AAG4的所有棱长相等，ZABC=60°,则直线与平面ACC；A

所成角的正切值等于

A.如

4

【答案】D

【解析】如图所示的直四棱柱ABCD-A4G。，ZABC=60°,取BC中点E,

以A为坐标原点，他所在直线为x轴，AQ所在直线为y轴，明所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系.

设AB=2,则40,0,0)，4(0,0,2),8(6,—1,0)((6,1,0)，6(右,1,2),

BCi=(0,2,2),配=(疯1,0),丽.=(0,0,2).

设平面4CGA的法向量为k=(X,XZ),

则上王=6+k°,取x=l,得万=(1,-6,0).

为・A4,=2z=0

设直线BCt与平面ACG4所成角为。，

则3燃料高小

・•・直线BG与平面ACGA所成角的正切值等于半，

13.在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)A8C-A4G中，AB=2,E,尸分别为AG和

4片的中点，当AE和BF所成角的余弦值为a时，AE与平面8CG4所成角的正弦值为

C.叵或逅D,回

A.-后---DR.-a---

24442

【答案】C

【解析】设AAj=t,以8为原点，以垂直于5c的直线为x轴，3。为y釉，8片为z轴，建立空

间直角坐标系,

3£

则4(51,0),一，/),B(0,0,0),0，

22

荏=(1,”),丽=吟,

•.•AE和所所成角的余弦值为1,

4

解得f=l或”更

5

.・亚=(-东”,或近=(-争;

平面BCGB1的法向量力=(1,0,0),

:.AE与平面BCC.B,所成角a的正弦值为:

丛

\AE.n\2=屈|AE.n|

sina=或sina=

\AE\-\n\在1一4\AE\^ri\

故选C.

14.在长方体ABC。—A旦GA中，AB=BC=2,44,=1,则入用与平面ABC所成角的正

弦值为

A2行R2c710

555

【答案】B

【解析】以。为原点建立空间直角坐标系。-孙z,

则A(2,0,0),与(2,2,1),0(0,0,1),8(2,2,0),

AB,=(0,2,1),AB=(0,2,0),宿=(-2,0,1),

设平面ABCQ的法向量元=(x,y,z),

.n*AB=2v=0-.

则n｛__.J,取x=l,则为=(1,0,2),

万・A£>]=-2x+z=0

设AB,与平面ABCXDX所成角为0,

则A6与平面A8GR所成角的正弦值为:

|鬲玩|_22

sin0=

I福'H万I―石•石一二

故选B.

15.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，9=1，M=2,点。为棱网的中点，则4）与平面ACGA

所成角的正弦值为

A.BB.迈C.2D.逅

4422

【答案】B

【解析】以3为原点，在平面ABC内过3作3c的垂线为x轴，8c为y轴，3M为z轴，建立空

间直角坐标系，

则ag,1,0）,o（o,0,1）,c（o,i,0）,c,（o,i,1）,

设平面ACGA的法向量为=（x，y，z）,

n»AC=-^-x+—y=0

22'

则取x=l,得万=(1,-73,0),

----J31

泞・AC[=-----x+—y+z=0

122

设4）与平面ACGA所成角为6,

则sin蚱9U卢*.

\AD\.\n\V2-24

A。与平面ACC,A所成角的正弦值为手

故选B.

二.填空题

16.如图，在三棱柱ABC-A81G中，AB,AC,A4,两两互相垂直，A4,=2AB=2AC,M,N

是线段84，CG上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为当4M最小时,

ZAMB=.

【答案】-

6

【解析】以A为原点，为x轴，AC为y轴，A4,为z轴，建立空间直角坐标系,

设A4,=2AB=2AC=2,BM=a,CN=b,

则A(0,0,0),B(1,0,0),M(1,0,a),N(0,1,b),

AM=(I,0,a),丽=(0,1,b),

设平面AMN的法向量为=(x,y,z),

,\ri»AM=x+az=0_.,

由<__.,取z=1,得元=(-a,-h11),

［万・AN=y+bz=Q

平面ABC的法向量庆=(0,0,1),

•.•平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为?，

71|rn»n\11

cos—=---------=1.=-=—，

3\m\^n\，/+》+"2

得,J+从=3,

.•.当最小时，BM=a最大，此时〃=石，b=0,

AB_1_V3

tanZAMH=

汽

6

故答案为：

6

17.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,AA,=AC=BC=l,则异面直线BQ与44

所成角为:二面角A-80-C的余弦值是,

【解析】建立如图空间直角坐标系，A(0,1,0),B(1,0,0),C?(0,0,1)

晅=(-1,0,1),丽=(1,-1,0),

"■——■-11

由cos<BC.,Afi,>=厂l=一一，

V2.V22

故异面直线BC,与A用所成角为-,

设平面A8C?的一个法向量为而=(a,b,c),

m»BC.=-«+c=0,.但_“.八

由<__，由a=1,行w=(1,1,1),

m»AB=a—b=0

平面-3CC的一个法向量力=(0,0,1),

18.如图，正三棱柱A8C-A81G中，各棱长均等于2,M为线段24上的动点，则平面MC与平

面AMG所成的锐二面角余弦值的最大值为-

【解析】如图，以AB中点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则A(-l,0,0),C,(0,G，2),

设M(l,0,〃)(啖加2),则而7=(2,0,〃)，猬=(1,6,2).

设平面AgM的一个法向量为*=(x,y,z),

".-V

,m=2x+nz=0,/口一.4-n

由1_y____广，取z=-2,得叫二(〃,一产,一2)；

g•AC】=x+，3y+2z=0v3

平面ABC的一个法向量为色=(0,0,1).

设平面ABC与平面AMC,所成的锐：面角为0,

4I~---..叫2

COSU=1COS<m.，叫>|=|^=r-=-|=]

一向丹卜+4+丁

yin2-2n+7+6-

与〃=1,即〃为84的中点时，平面ABC与平面A"G所成的锐二面角余弦值最大为孝.

故答案为：—.

2

19.在正方体ABCO-AB&A中，二面角G-A8—O的大小为.

【答案】45°

【解析】如图，设正方体AB8-A4GA的棱长为1,

以八4为x轴，以Z5C为y轴，以。A为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0),8(1,1,0),G(0,I,1),

AB=(O,1,0),AC,=(-l,1,1),

设面ABG的法向量为而=(%,y,z),

•/m・AB=0，”・AC[=0,

y=0

,...w=(l,0,1),

[T+y+z=0

・・•面ABCD的法向量比=(0,0,1),

设二面角G-AB-O的平面角为夕，

cos。=|cos<n,w>|

,1,V2

廿三

.-.6>=45°,

故答案为：45°.

三.解答题

20.已知：o=(x,4,1),b=(-2,y,-1),0=(3,-2,z),allb,bLc,求:

(1)a,b,Ci

(2)(@+d)与(5+3)所成角的余弦值.

【答案】(1)万=(2,4,1),6=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2);(2)~

_JC41

【解析】(I)'：a!1b=—,解得x=2>y=-4,

2y

故m=(2,4,1),5=(-2,-4,-1),

又因为所以&3=0,即-6+8—z=0,解得z=2,

故”(3,-2,2)

(2)由(I)可得少+^=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

设向量万+5与5+^所成的角为6,

5-12+32

则cos6=

屈•屈19

21.如图，BC=2,原点。是3c的中点，点A的坐标为0),点。在平面yOz上，且

"DC=90°,ZDCB=30°.

(1)求向量c/5的坐标.

(2)求而与3。的夹角的余弦值.

【答案】(1)CD=(0,-|,日)；(2)一半.

【解析】(1)过。作。E_L3C于E,则。后=。。同1130。=走

OE=OB-BDcos600=1--=-,

22

.•.D的坐标为。(0,1

22

—.3

又・.・C(0,1,0),/.CD=(0,--,

2

(2)依题设有A点坐标为A(苧，1,0),

AD=(-—,-1,—),BC=(0,2,0),

则通与前的夹角的余弦值:

AD•BC

COS<AD,BC>=

\AD\^\BC\

22.如图，在棱长为2的正方体A8CD-A4C|R中，点E、F、G分别为人蜴，B.C,,的中

点，点P是正方形CCQQ的中心.

（1）证明：4尸//平面£/7；

（2）若平面ARE和平面EFG的交线为/,求二面角A—/—G.

【答案】（I）证明见解析；（2）

2

【解析】（1）证明：连接RC,AC,

•.•点E,F,G分别为Ag，B1G，的中点，:.EG//DtC,

又£>C<t平面EFG,EGu平面£FG,.•.£>，//平面EAG,

同理，AC平面EFG,

又£>C「|AC=C,〃(7<=平面4(?〃，ACu平面AC4,

二平面ACR//平面EFG,

•.•点P是正方形CGR。的中心,

r.APu平面ACR,

”//平面所6；

(2)以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

故荏=(0,1,2),席=(2,1,0),设平面ARE的法向量为力=(x,y,z),

由1—，可得仁,，令x=I,则斤=(1,一2,1),

n.D,E=0[2x+y=0

取平面瓦G的法向量为疣=(1,1,1),则加切=0,

二面角A-1-G的大小为二.

2

23.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱F4_L底面ABC。，AB=6，BC=\,

上4=2,E为PD的中点.

(1)求cos〈正，丽〉的值;

(2)在侧面内找一点N,使NE_L平面尸AC,并求出N到AB和AP的距离.

146

【解析】(1)在四棱锥P-A3co中，底面ABCD为矩形,

侧棱%_L底面A3CD,AB=£,BC=\,PA=2,E为尸。的中点.

以A为原点，45为x轴，AO为y轴，"为z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(51,0),P(0,0,2),B4,0,0),

AC=(73,1,0),PF=(6,0,-2),

AC.PB33币

cos(AC,PB)=

辰H丽|""x/7IT

(2)设在侧面内找一点N(a,0,c),使NEL平面R4C,

1一1

D(0,1,0),E(0,一，1),NE=(-a,一，l—c),

22

AP=(0,0,2),AC=(x/3,l,0),

NE・AP=2Q—c)=。A

”_______i，解得〃=—,c=l,

NE•AC=-y/r3a+-=06

2

,0,1),

.•・N到AB的距离为1,N到AP的距离为火.

6

24.如图，直三棱柱ABC-A4G底面AABC中，C4=CB=1,ZBC4=90。，棱M=2,M是4与

的中点.

(1)求cos<44，西〉的值；

(2)求证：.