人教A版必修第二册923总体集中趋势的估计学案

9.2.3总体集中趋势的估量

新课程标准新学法解读

结合实例，能用样本估量总体的集

阅读教材并通过复习回忆学校学

中趋势参数(平均数、中位数、众

习的众数、中位数、平均数的概念，

数)，理解集中趋势参数的统计含

明确它们的统计含义.

义.

课前篇•自主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点众数、中位数、平均数

在频率分布

特征量含义

直方图中的表达

取最高的小长方形底边中点的

众数消失次数最多的数据

横坐标

将数据按从大到小或从小

把频率分布直方图划分为左右

到大的挨次依次排列，处在

中位数两个面积相等的局部，分界线与

最中间位置的一个数据(或

%轴交点的横坐标

最中间两个数据的平均数)

每个小长方形的面积乘以小长

平均数样本数据的算术平均数

方形底边中点的横坐标之和

［重点理解］

1.众数、中位数、平均数的理解

(1)一组数据中，某个数据消失的次数称为这个数据的频数，遭

失次数最多的数据称为这组数据的众数.

说明：假如有几个数据消失的次数相同，并且比其他数据消失的

次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；假设一组数据中，

每个数据消失的次数一样多，那么认为这组数据没有众数.

(2)假如二组数有奇数个数,且依据从小到大排列后为修，处…，

%2/1，那么称第+1为这组数的中位数；假如一组数有偶数个数，且依

据从小到大排列后为期，％2,…，％2〃，那么称赵掾皂为这组数的史

（3）假如给定的一组数是修，％2,…，/，那么这组数的平均数为

X亍之01土松土•二土3疝.

众数、中位数、平均数都是刻画“中心位置〃的量，它们从不同

角度刻画了一组数据的集中趋势.

2.众数、中位数、平均数的比拟

名称优点缺点

①它只能表达样本数据中很

①表达了样本数据的最大集

众少的一局部信息；

中1八占、、，・

数②无法客观地反映总体的特

②简单计算

征

①不受少数几个极端数据

中（即排序靠前或靠后的数据）

位的影响；对极端值不敏感

数②简单计算，便于利用中间

数据的信息

代表性较好，是反映数据集任何一个数据的转变都会引

平

中趋势的量.一般状况下，起平均数的转变.数据越

均

可以反映出更多的关于样本“离群〃，对平均数的影响

数

数据全体的信息越大

［自我排查］

1.一组数据：85,88,73,88,79,85,其众数是（）

A.88B.73C.88,85D.85

答案：C

解析：该组数据85,88,73,88,79,85有两个众数，它们是88,85.应

选C.

2.数据一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位数和众数各是

)

A.6和6B.3和6

答案：A

解析：•.•从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6,

二.中位数是6:消失的次数最多，众数是6,应选A.

3.一组数据从小到大排列为一1Q4,X,6,15,且这组数据的中位

数是5,那么这组数据的众数为()

A.5B.6C

答案：B

解析：由题意得;(4+%)=5,得％=6.

4.一组数据0,2,%,4,5的众数是4,那么这组数据的平均数是

答案：3

解析：•.•数据0,2,X,4,5的众数是4,，X=4,

二.这组数据的平均数是gx(0+2+4+4+5)=3.

5.一组数据1,10,5,2,%,2,且2<%<5,假设该数据的众数是中位

2

数的1倍，那么该数据的平均数为.

答案：4

2

解析：依据题意知，该组数据的众数是2,那么中位数是2苜=3,

2+x

把这组数据从小到大排列为1,2,2,X,5,10,那么丁=3,解得x=4,

——1

所以这组数据的平均数为％(1+24-2+4+5+10)=4.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1众数、中位数、平均数的计算

［典例1］（链接教材第203页例4）（多项选择）某篮球队甲、乙两

名运发动练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下

所示：

甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26

乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11

那么下面结论中正确的选项是（）

A.甲的极差是29B.乙的众数是21

C.甲的平均数为21.4D.甲的中位数是24

［答案］ABC

［解析］把两组数据按从小到大的挨次排列，得

甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37

乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23

故甲的最大值为37,最小值为8,那么极差为29,所以A正确;

——1

乙中消失最多的数据是21,所以B正确；甲的平均数为％甲=正（8+

12+13+20+22+24+25+26+27+37)=,所以C正确；甲的中位

数为京22+24)=23,故D不正确.

［巧归纳］平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是依据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将

这组数据按从小到大或从大到小的挨次排列，再依据各自的定义计

算.

［练习1］1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人,

95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各

有1人，那么该小组成果的平均数、众数、中位数分别是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

答案：C

解析：从小到大列出全部数学成果：

75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,观看知众数和中位数均为85,计算得

平均数为87.

2.一组数据%1，%2,%3,%4,%5的平均数是2,那么另一组数据

2修一3,2%2—3,2即一3,2%4—3,2%5—3的平均数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

解析：由于一组数据Xi,X2,X3,X4,X5的平均数是2,所以另一

组数据2即一3,2%2—3,2%3—3,2%4—3,2%5—3的平均数为2X2—3=1.

应选A.

研习2平均数、中位数、众数的应用

［典例2］（链接教材第205页例5）据了解，某公司的33名职工

月工资（单位：元）如下:

职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员

人数11215320

工资110001000090008000650055004000

⑴求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

（2）假设副董事长的工资从10000元提升到20000元，董事长的

工资从11000元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数

又是多少（精确到元）？

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合

此问题谈一谈你的看法.

［解］（1）平均数是：7=4000+

7000+6000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+1333=5333（元）.

中位数是4000元，众数是4000元.

（2）平均数是=4000+

26000+16000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+2212=6212(元).

中位数是4000元，众数是4000元.

(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水

平，由于公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差异较大，这样

导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的

工资水平.

［巧归纳］众数、中位数、平均数的意义

(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心

值〃，其中众数和中位数简单计算，不受少数几个极端值的影响，但

只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但

受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；

(2)当一组数据中有不少数据重复消失时，其众数往往更能反映

问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.

［练习2］如表是五班级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成

果(单位：次)：

一班1933262928333435333320

二班2527292829302935293029

(1)这两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？

(2)你认为哪个数表示两个班的成果更适宜？

解：(1)一班平均数：

(19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30)X1=

333口1=30.27(次)，

一班数据从小到大排列为：

19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,35,

所以一班中位数为33次，

33消失的次数最多，众数是33次；

二班平均数：

(25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29)X1=

320X1=29.09(次)，

二班数据从小到大排列为：

25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,35,

所以二班的中位数是29次，

29消失的次数最多，所以二班的众数是29次.

(2)运用平均数表示两个班的成果更适宜.

研习3利用频率分布直方图估量总体的集中趋势

［典例3］某校从参与高二班级学业水平测试的同学中抽出80名

同学，其数学成果(均为整数)的频率分布直方图如下图.

⑴求这次测试数学成果的众数；

(2)求这次测试数学成果的中位数.

7Q_|_QQ

［解］(1)由题干图知众数为一丁=75,那么这80名同学的数

学成果的众数为75分.

(2)由题干图知，设中位数为％X(%—70),所以％七73.3,即这80

名同学的数学成果的中位数为73.3分.

［母题探究］1.［变设问］假设本例的条件不变,求数学成果的平均

数.

解：由题干图知这次数学成果的平均数为：处詈XX10+

50+5060+7070+8080+90

-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+

90+100八

一2一XX10=72(分).

2.［变设问］假设本例条件不变，求80分以下的同学人数.

角星:分数在［40,80)内的频率为：(0.005+0.015+0.020+0.030)*10

=0.7,所以80分以下的同学人数为80X0.7=56.

［巧归纳］用频率分布直方图估量众数、中位数、平均数

(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；

(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左

右两个面积相等的局部的分界线与z轴交点的横坐标称为中位数；

(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心〃，等于频率分

布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

［练习3］某校为了解全校高中同学五一小长假参与实践活动的

状况，抽查了100名同学，统计他们假期参与实践活动的时间(单位:

小时)，绘成的频率分布直方图如下图.

频率

0.15

a

0.12

1012实验活动时间〃卜时

(1)求这100名同学中参与实践活动时间在6〜10小时内的人数;

(2)估量这100名同学参与实践活动时间的众数、中位数和平均

角翠：(l)100X［1-(0.04+0.12+0.05)X21=58(^),

即这100名同学中参与实践活动时间在6〜10小时内的人数为

(2)由频率分布直方图可以看出最高矩形底边中点的横坐标为7,

故这100名同学参与实践活动时间的众数的估量值为7小时.

由(0.04+0.12)X2=0.32,(0.04+0.12+0.15)X2=

0.62,0.32<0.5<0.62,

得中位数才满意6<K8.

由0.32+Q—6)X0.15=0.5,

得片7.2,

即这100名同学参与实践活动时间的中位数的估量值为7.2小

由(0.04+0.12+0.15+Q+0.05)X2=1,

解得a=0.14,

X2XX2XX2XX2XX2X11=7.16（小时）.

课后篇•根底达标延长阅读

1.数据一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位数和众数各是

()

A.6和6B.3和6C

答案：A

解析：•.•从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6,

二.中位数是6:消失的次数最多，众数是6,应选A.

2.在一次中同学田径运动会上，参与男子跳高的17名运发动的

成果如表所不：

成果(单位：m)

人数23234111

分别求这些运发动成果的众数、中位数与平均数.

解：在17个数据中，1.75消失了4次，消失的次数最多，即这

组数据的众数是1.75.袁里的17个数据可看成是按从小到大的挨次排

列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中

位数是1.70；

这组数据的平均数是X3+-Xl)=,17)^1.69(m).

故17名运发动成果的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70

m,1.69m.

课后自读方案

［标准解答］用样本平均数估量总体平均数

［例如］（2020福建莆田高一检测）国家环保部发布了新修订的?

环境空气质量标准?，其中规定，居民区中的PM2.5年平均浓度不得

超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/

立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的

24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组另IJPM2.5（微克/立方米）频数（天）频率

第一组(0,15]4

其次组(15,30]12y

第三组(30,45]8

第四组(45,60]8

第五组(60,75]