第5章8 正切函数的图像与性质-人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型练习（机构专用）

正切函数的图像与性质

考向一正切函数的定义域

1、函数〃力=一212115一()的定义域为()

A.{xxwZ乃+——、keZ、B.\x\xk+—,keZ

54l4

C.^x\x=k/r^--7i,kGZ>D.{x尤工左乃+一,ZcZ

14

【答案】A

yrjr3

【解析】解不等式x——工一+/:%,keZ,得xwk乃+一〃，keZ,

424

因此，函数/(x)=-2tan(x-?)的定义域为,xxRbr+1■乃次ez|

故选：A.

【备注】别忘了&eZ。

2、求下列函数的定义域

⑴尸儡；⑵尸坨什龙).⑶…吟一)

【答案】(1)\x\x^--+k^SLx^—+k^,keZ>

42

(2)'x\k7r--<x<K7c^--,KeZ>

37r

(3)<xx^k7t-\----,xeR,keZ>

4

1+tanxw0

1.1

解析：(1)由不等式〈71.,解得《用工/-^+~^/万+左肛kGZ

X^—+K7l

2

V3-tanx>0

7171

(2)由不等式71,,解得＜幻攵万一5＜工＜攵乃+1,攵eZ)

X^—+K7r

2

JIjl334万

(3)由不等式---x于一+kji,keZ,解得〈工工工女乃+^—R.keZ>

424

3、与函数y=tan2x+?的图像不相交的一条直线是()

7t71一冗71

A.x——B.y=—C.x=—D.y=—

2288

答案：C

解析：若直线与函数y=tan2x+?的图像不相交，则说明函数y=tan2x+?的自变量取不到的值,

TTTT

所以使得2x+2=2+Z万，AwZ的值为所求。

42

考向二正切函数的图像，单调性与值域

1、设函数/(x)=tan住一£,作出函数在一个周期内的简图.

12JJ

【答案】

【备注】注意画图像之前先求函数的定义域。

3兀3兀

2、函数网，y=tanx,y=tan(—x),在(一二，」)上的大致图象依次是下图中的

22

)

A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③

【答案】C

【解析】

y=\tarv(\对应的图象为①，y=taivc对应的图象为②，y=tan(~x)对应的图象为④，尸”凶对应

的图象为③.故选C.

3、函数y=Ja的单调递增区间为.

.乃冗冗

A.(女乃+?B.左乃十一C伙乃，%)+一)D伙乃，々江+一］

422

【答案】C

（Q

4、函数y=tan2犬-、的单调递增区间是（）

7tkn5)攵乃

A、——+——，——+——(左eZ

L122122Jv'

’7tk兀5兀kn\,,

B、一一+'-一•+——\{keZ)

I122122r

C、一■—+k7r,—+kK(k&Z)

1212y'

ni2%./.7、

D^----FZ/T,------FK71[kEZ)

、63)

答案：选B

解析：由E—，V2x—9桁+恭，)，得与一*VxV竽+含攵£Z),所以函数於)=tan(2x—的单调递增

区间是作一看竽+曲(AGZ).

5、函数y=|tanx|在(一生当)上的单调递减区间为.

答案：(一方o],国兀

解析:

作出y=|tan_r|的示意图如图，观察图象可知，y=|tanx|在（一去要）上的单调递减区间为（一冬。卜已兀

6、若函数y=tanox在（一万,乃）上是递增函数，则①的取值范围是

【答案】（0,；］

【解析】由于数y=tanox在（一肛幻上是递增函数，所以。〉0.由一兀<*<兀，则一。无<<on,由

'71

%兀----<一〃;兀co<-k+—

jrTT22

正切函数的递增区间可知：kit——<a）x<kn.+—,所以，，<i,由于G>0,

22.71

K7i+—>CO71CDk—

22

故取％=0，所以0V69W—.

2

717171

0<—<—<—,

872

8、设函数yu）=t陪兰）

（1）求函数,/U）的定义域和单调区间;

（2）求不等式一iguHm的解集•

【答案】⑴定义域是，xxER,且x/^~+2kn,kGZ

单调递增区间是（・《+2s*I万+2我乃卜ez；（2）解集是卜弓71+2匕r<X<4^TI+2kjr,k€zL

63

X兀冗

【解析】（1）由5—石彳5+E（kGZ）,

/D5兀

得灯石+2E(Z£Z),

所以函数40的定义域是

UxER,+2kn,fcez'

兀X靠完

由一■~+kn<----<—+E(keZ),

冗5口

得—"--F2ICK<X<-卜2E(左£Z).

所以函数7（x）的单调递增区间是（一g+2kn,等+”h）

（攵金Z）.

,冗x冗冗

(2)由一Igtan得一7"+A：7t<-—--<—+kn(keZ).

解得3+2ES+2攵兀(攵eZ).

o3

所以不等式一的解集是

冗4冗

x工+2k冗,kH

D□

兀

9、函数ktanx-e0,-的值域是

【答案】[0,1]

71

【解析】因为函数y=tanx在xw0，z单调递增,

所以Nmin=tan°=°，jnlax=tan=1,故函数的值域为[0,1].

【备注】可以采用数形结合的方法进行求解。

1°、函数〃x)e(x+台在-我上的最小值为一

【答案】-1

【解析】利用整体法，先求出X+二TT的范围，可以得到这个正切型函数在此范围内单调递增，则函数的最

12

小值为/(.q)=tan[.q+t)=Tl

11、求函数y=tan2x+tanx+1的值域.

一3)

【答案】:,十8

L4)

【解析】=则y=*+.+l=(f+g+^>-1,

所以y=tan2；r+tanx+l的值域是［，+00).

故答案为：-»+°°j.

考向三正切函数的周期性，奇偶性与对称性

x

1、函数)，=12115是()

7T

A.周期为2〃的奇函数B.周期为一的奇函数

2

C.周期为7的偶函数D.周期为2〃的偶函数

【答案】A

T=—=2TT

【解析】1,即周期为2乃，

2

=-tan1',即函数为奇函数

本题正确选项：A

2、己知函数f(x)=2tan(a玄+工)(a>0)的最小正周期是3.则。=.

6

【答案】-

3

【解析】函数f(x)=2tan(a衣+工)(〃>0)的最小正周期是3,则3=二，得“=」,

6a7r3

所以函数/(X)=2tan玄+生).

■JTJT(7T\

3、函数/(x)=tans(o>0)的相邻两支截直线y=一所得线段长一，则/二的值

44<4；

【答案】0

n71

【解析】函数图象的相邻两支截直线产了所得线段长为“

7T

J函数/(%)的周期为一，图象如下:

4

由一=—得co=4,.*./(x)=tan4x,'.f(—)=tann=O.故答案为：0.

co44

4、（多选）下列函数中是奇函数的是（）

_..2020^-、

A、/(x)=sin(---+x)B、f(x)=sin(---+x)

C、＜(x)=tan(20；"+x)八，/、/2020万.

D、f(x)=tan(——---Fx)

答案：BCD

2019万7i

解析：A./(x)=sin(------+x)=sin(l009TT+—+x)=cosx,为偶函数，所以A错误;

22

B./(x)=sin(空二+x)=sinx,为奇函数，所以B正确

2019TT7171

C.f(x)=tan(——---i-x)=tan(1009^+—+x)=tan(5+x),为奇函数，所以C正确；

G八G八

D.f(x)=tan(一J^+x)=tanx,为奇函数，所以D正确。

k冗

备注：若丁=41211(①x+p)为奇函数，则有°=-^(ZEZ).

5、已知/（x）=tan（x+m）-sinx为奇函数,且m满足不等式相2一加一2＜（）,则相的值为

71

答案：0,y

解析：因为/(X)是奇函数，所以机=耳#eZ,

TT

又加2—加一2<0,所以一1<加<2,所以〃7的可能取值为0,

JT

6、函数y=tan(2x--)的对称中心为________.

4

答案：］,+(,()卜eZ)

解析：•.•2x-9=W(ZeZ);.x=W+J,

4248

y=tan(2x-£)的对称中心是I-?+V，°WeZ).

4<48J

备注：正切函数y=tanx的对称中心是(亨，0)(&eZ)，最后别忘了上eZ。

TT

7、函数/(x)=tan(x+z)的图象的一个对称中心是()

6

A.(―,0)B.(―,0)C.(于0)D.(石,0)

【答案】A

k冗

【解析】由正切函数的对称中心(一,0),(keZ)可以推出/(X)对称中心的横坐标满足

2

%+-=—^x=--+—(A:eZ),带入四个选项中可知，当女=1时，x=工.

62623

故是图像的一个对称中心，选A.

(K\

8、下面哪个点不是函数y=tan2x+-图像的对称点(

\2)

A.(0,0)B-r°

【答案】C

乃、jrk

(2x+,的对称中心横坐标满足：2x+-=-7t,

解得：x=-7r--(keZ},

44

令攵=1可得：x=0,则选项4中的点是函数的对称点；

7T

令％=2可得：x=一，则选项8中的点是函数的对称点；

4

令人=3可得：x=I，则选项。中的点是函数的对称点；

2

k7TTT(71

注意到x=—万一一=一没有整数解，故二,0不是函数的对称点.

443<3)

故选：C.

9、已知函数y=tan(2x+p)的一个对称中心为信0),则夕可以是()

71_7171_71

A--6B6C--12DT2

答案：A

考向四正切函数的综合应用

7T

1、已知函数/(x)=2tan(x+1)+1.

(1)求/(x)的定义域；

(2)求/(x)的周期;

(3)求f(x)的单调递增区间.

jr

【答案】(1){x\x^-+k7r.kEZ}

6

(2)T=/r

(3)］一,乃+Z乃+攵乃j,(ZEZ)

冗\4jr

(%+§J+1可得：x+—^kn+—,k^Z

即x^—+k7TykeZ,.*./(x)的定义域为{x|xw2+女%,女GZ}；

66

⑵周期T=f=万，.•./(X)的周期为乃；

5

(3)由+kn<x+—<一•bZ万可得：——兀+k7V<X<一•卜k兀，keZ.

23266

单调增区间为卜|%+版"5+引，(keZ).

2、己知函数/(x)=tan[<yx+?J(@>0)的最小正周期为

(1)求。的值及函数〃x)的定义域;

(2)若/3,求sinacosa的值.

7171

【解析】(l)•.•7=-=一，，0=2,

(D2

又因为y=tanx的定义域为《可刀/^+左肛Aez1,所以2x+(?

4

.sinacosatana33

sin6Zcosa=——--------------=——；-------=------=—

sirra+cos.atarra+19+110

sinx

3、已知函数/(x)

|cosx|,

(1)求函数/(无)的定义域；

(2)用定义判断函数〃力的奇偶性；

(3)在［-凡句上作出函数“X)的图象.

【答案】(1)<xx^k7r+^,kezy,(2)奇函数，见解析；(3)见解析

71

【解析】(1)由cosx。0,得xw攵乃+―(keZ),

2

所以函数/(X)的定义域是〈XX。版■+^MGZ..

(2)由(1)知函数/(x)的定义域关于原点对称,

sin(-x)

因为〃f)=二二手=一"力'所以/(可是奇函数・

ICOS(-X)|

7171

tanx,---<x<—

(3)/(x)=,22

TC_ixTC

-tanx,-7i<x<——或一〈冗«乃

22

所以/（x）在［-肛句上的图象如图所示,

4、下列函数中，同时满足以下三个条件的是（）

①在（0卷

上为增函数；②最小正周期为2万；③是奇函数.

xX

A.y=tanxB.y=cosxC.y=-tan-D.y=tan-

【答案】D

【解析】对于A选项中的函数y=tanx,该函数在（0,5］上为增函数，最小正周期为万，且为奇函数，

A选项中的函数不符合条件；

对于B选项中的函数y=cosx,该函数（0,上为减函数，最小正周期为2%,且为偶函数，B选项中

的函数不符合条件；

对于C选项中的函数y=—tan^，当0<x<］时，0<5</，则该函数在（0，上为减函数，最小正

工=2万

周期为J,且为奇函数，C选项中的函数不符合条件；

2

对于D选项中的函数y=tan^,该函数在上为增函数，最小正周期为2»，且为奇函数，D选项

中的函数符合条件.

故选：D.

5、已知函数〃x)=5tan(2x+00＜夕＜5,其函数图像的一个对称中心是3,0,则该函数的单调

递增区间可以是()

A.

【答案】D

(7T\ITk.7l

【解析】；77,0为函数的对称中心：.2x—+(p=—,k&Z

1.12