高考数学二轮复习 不等式教学案(教师)

2013高考数学二轮复习精品资料专题05不等式教学案（教师版）

【2013考纲解读】

从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且

多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低。

了解不等式（组）的实际背景；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，通过函数

图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，

对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；会从实际情境中抽象出二元一次不等式

组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境

中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；了解基本不等式的证明过程，会用

基本不等式解决简单的最大（小）值问题。学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析

和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力。

【知识网络构建】

7I性质、两数大小比较I一|不等式的证明不

等

—•元二次不等式|一|简单■的分式不等式|一式

的

一|二元一次不等式（组|简单的线性规划|—应

川

一「基本不等式[4值定理一

【重点知识整合】

1.不等式的基本性质

2.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结

合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据

参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集.

3.基本不等式

不等式痂笄（30,匕>0）称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其他不等式

有：a+b>2>Jab（a96>0）；出江工^?（abER）；1~「⑷6>0）；x+-

ab

>2（X>0）5三+&2（而>0）等.

4.二元一次不等式（组），和蔺单的线性规划

（1）线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最忧解等；

（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数

的几何意义确定其取得最忧解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.

【高频考点突破】

考点一不等式的解法

一元二次不等式ax+bx-\-c>0（或<0）（aWO,/=方一420>0）,如果a与ax+bx~\~c同

号，则其解集在两根之外；如果a与异号，则其解集在两根之间.简言之：同

号两根之外”异号两根之间.即水矛1或X>X2=（X—矛1）（X—X2）〉O（X1<X2）；X1）（X

—X2）<0（矛〈1意・

例L已知函数f^x）=ex~l,g（x）=-l+4x—3.若有f（a）=g（6）,则6的取值范围

为（）

A.[2-^2,2+J2]B.(2-^2,2+72)

C.[1,3]D.(1,3)

解析：函数f(x)的值域是(一1,+8),要使得f(a)=g(6),必须使得一9+46—3>

一1.即I)—46+2<0,解得2—

答案：B

【变式探究】解关于x的不等式a/-(a+l)x+l〈O(a〉O).

解析：因a>0,原不等式化为

(x-l)(x—3V0，

Ci

对应方程(X—l)(x—0=。的两根为1和1

①当031时，:>1,/.1<X<^5

②当a=l时，成不等式可化为(x-1)X0,无解；

③当0>1时，11,.,.L<XVL

aa

综上所述：

当031时，解集为｛xleg｝；

当a=\时，解集为。；

当0>1时，解集为｛x：<x<l｝.

【方法技巧】

(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是等价转化为整式不等式(一般为一元

二次不等式)求解.

(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原

因.确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解.

考点二线性规划

实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来.它还是

一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下：

(1)根据题意设出变量，建立目标函数；

(2)列出约束条件；

(3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值；

(4)从实际问题的角度审查最值，进而作答.

例2.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆

载重量为6吨的乙型卡车”某天需送往/地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运

送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡

车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，

可得最大利润z=0

A.4650元B.4700元

C.4900元D.5000元

〃10x+6/72

x+j<12

解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车p辆，则〈2x+Z19,目标函数z

=450x+350y,画出可行域如图，当目标函数经过2(7,5)时，利润z最大，为4900元

答案：c

【变式探究】当变量x,〕满足约束条件A+3JW4时，z

=x-3j•的最大值为S,则实数，”的值是

()

A.—4B.-3

C.-2D.-1

解析：作出可行域，平移直线x-3j=。，可知当目标函数经过直线;「=、与1=加的交

点(加，也)时，取得最大值，由加-3加=8,得加=7.

答案:A

【方法技巧】解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数

形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，

整点问题要验证解决.

考点三基本不等式

基本不等式：与土》，获.

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们

的积有最大值.

例3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则

V

平均仓储时间为d天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备

O

费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

()

A.60件B.80件

C.100件D.120件

解析：若每批生产X件产品，则每件产品的生产准备费用是缚，存储费用是5,总

x8

的费用是晒+注2、/则q=20,当且仅当陋=1时取等号，即x=80.

XQ\1XQX8

答案：B

【变式探究】设OVaVA,则下列不等式中正确的是()

I-a-\-bI-a~\-b

A.a<b<yjab<---B.a<y]ab<--<b

I—a+bi—b

C.ab<b<—--D.yfab<a<一~―<.b

解析：代入a=l,6=2,则有0<a=l<q蔡=/</"=L5<6=2,我们知道算术

平均数十与几何平均数M瓦的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可.

答案：B

【难点探究】

难点一一元二次不等式的解法

例1.已知0：xoGR,渥+1WO,<7：xGR,入2+”+1〉0.若/^<7为真命题，则实数7

的取值范围是()

A.(—8,—2)B.[—2,0)

C.(-2„0)D.[0,2]

【答案】C

【解析】为真命题，等价于0,g均为真命题.命题。真时，水0；命题。为真时，

/=序一4〈0,解得一2〈水2.故p/\q为真时，一2〈水0.

难点二基本不等式的应用

例2.设x,j为实数，若4*：+尸+寸=1,则2x+j•的最大值是_______.

【答案】坐【解析】方法1：•..4二+产+9=1,

4

(2x+y>—3q=h即(2x+y)2—=1,

.•.(2x+)>-n4口，解之得(2x4•福,即2x+j/胆等号当且仅当2x=y>0,

即*=喀，)=返时成立.

1UJ

方法2：令I=2X+F则1=1-2X,代入4必+)=+与=1,得61'—3rv+S—1=0,由于

x是实数，故」=9广一2%—1)沙，解得浅，即一半■图，即：的最大值也就是2x

+j的最大值，为净.

方法3：化已知4X:+VC+A.,J=1为.2x+｝二+当令2v+^)=cosa,小^y=sma,

mil3V15.mil.,,.1,3,Vis-Vio.,xJVIO

则p=—^s:na,则2x+j=2x+p+p=cosa-l--—sma=——s:nia+p)<——.

【点评了本题是一个典型条件最值问题，已知条柞实际上是一条曲线的方隹，目标就是当

点(x,y)在这条曲线上变化时，求线性目标函数£=2x+y的最大值，在本题的各个解法中

注意方法2,这是解决这类试题的一个通用方法.使用基本不等式求二元函数最值时一定要

注意等号成立的条件，在求解过程中尽可能的只使用一次基本不等式，如果使用两次基本不

等式则需要验证两次不等式是否等号成立的条件相同，如果两次不等式等号成立的条件产

生矛盾，则求解结果就是错误的.使用基本不等式求最值有时需要进行适当的变换(变换已

知条件和求解目标，常数代换等).

难点三线性规划问题的解法

~x+y22,

例3.已知。是坐标原点，点/（—1,1）,若点“（X,力为平面区域｛xWl,上的

一个动点，则应•源勺取值范围是（）

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[0,2]D.[-1,2]

【答案】C【斛析】画出不等式组表示的平面区域〔如图），又怎,员/=一工+/，取目标

函数二=-x+y,即丁=x+z,作斜率为1的一组平行线.

当它经过点C（LD时，z有最小值，即〜=-1+1=0；当它经过点5（Q,2）时，z有最

大值，即二3=-0+2=2.

..•二的取值范围是电2%即届•日做取值范围是电2],故选C.

【点评】在线性约束条件下，线性约束条件所表示的区域一般是一个多边形区域或者

一个以直线为边界的无限区域，如果目标函数是线性的，则可以根据目标函数的几何意义确

定目标函数取得最大值和最小值的位置,如本题中的目标函数z=—x+y变换后即尸x+z,

则目标函数z的几何意义即直线y=x+z在y轴上的截距,截距最大（小）时的位置就是目标

函数取得最大（小）值的位置，在一些含有参数的线性规划问题中这个思想显得更为重要。

【历届高考真题】

[2012年高考试题】

1.12012高考真题重庆理2】不等式士的解集为

2x+l

【答案】A

【解析】原不等式等价于（X—l）（2x+l）<0或X—1=0,即—g<x<l或x=l,所

以不等式的解为—工<x«l,选A.

2

2.12012高考真题浙江理9】设a大于0,b大于0.

A.若2a+2a=2b+3b,则a>bB.若2"+2a=2'+3b,则a>b

C.若2J2a=2-3b,贝lja>bD.若2a-2a=a'-3b,贝！Ia<b

【答案】A

【解析】若2"+2?=I'+%,必有2"+2a>2?.构造函数：〃x)=2，+2x,则

r(x)=2，ln42>(恒成立，故有函数〃x)=2'+2x在x>0上单调递增，即a>6成立.其

余选项用同样方法排除.故选A

3.12012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需

耗A原料1千克、3原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，3原料1千克。每

桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，

要求每天消耗A、3原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙

两种产品中，公司共可获得的最大利润是()

A、1800元B、2400元C、2800元rD、3100元

【答案】C.

【解析】设生产无桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z,

x+2y<12

2x+y<12

则约束条件为《x〉0,目标函数为Z=300x+400y,

y〉0

当目标函数直线经过点M时z有最大

x+2y=12

值，联立方程组,得M(4,4),代入目标函数得z=2800,故选C.

2x+y=12

x+2y>2

4.12012高考真题山东理5】已知变量满足约束条件，2x+y<4,则目标函数

4x-y>-1

z=3x-y的取值范围是

33

(A)[——,6](B)[——,-l]

22

3

(C)[-1,6](D)[-6,-]

2

t答案】A

【解析】做出不等式所表示的区域如图

z=3x-j得］=3x-z,平移直线y=3x,由图象可知当直线经过点E(2,0)时，直线

j=3x-z的截距最小，此时z最大为z=3x-j=6,当直线经过C点时，直线截距最大,

此时Z最小，由<；■,解得「一2,此时z=3x-v=2-3=-±,所以

I2x+y=4_22

［丁=3

z=3x-j的取值范围是选A

x-y<10

5.12012高考真题辽宁理8】设变量x,y满足<0<x+yW20,则2x+3y的最大值为

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

【答案】D

【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55,故选D

J<2

6.12012高考真题广东理5】已知变量x,y满足约束条件<x+y21,则z=3x+,y的最

x-y<l

大值为

A.12B.11C.3D.-1

【答案】B

【解析】画约束区域如图所示，令z=0得j=-3x,化目标函数为斜截式方程

y=-3x+z得，当x=3,j=2时，Zw=11，故选B.

8.12012高考真题江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投

入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜

的种植面积（单位：亩）分别为

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

【答案】B

x+y<50

［解析］设黄瓜的种植面积为x,韭菜的种植面积为y，则有题意知1.2x+Q.9y<54,

x,y>0

x+y<50

'_9

即《4x+3y<180,目标函数z=0.55x4x+0.3x6y-1.2x-0.9y=x+—y,作出可行

x,y>0"

域如图，由图象可知当直线经过点E时，直线

y=-10+10的解决最大，此时z取得最大值，由[%+y“=50，解得[x=30，选

9914x+3y=180[y=20

B.

9.12012高考真题湖北理6】设Q,0,C,羽y,z是正数，且4+/+，=］0,

x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,贝!J"+"+'

x+y+z

3

A.-B.-C.-D.

4324

【答案】C

【解析】由于（/+/+（：.）（/+］二+z：）23v+E+cz）：

等号成立当且仅当g=2=£=，：则a=txb=tyc=tz,r:(x24-y:+z:)=10

xyz

所以由题知312：又@=色=£=°+*,所以4+6+<="12,答案选C.

xyzx+y+zx+y+z

x+y-3<0

10.12012高考真题福建理9］若函数y=2x图像上存在点（x,y）满足约束条件<x-2y-3>0,

x>m

则实数m的最大值为

13

A.一B.1C.一D.2

22

【答案】B.

当直线％=机经过函数y=2r的图像与直线

x+y—3=0的交点时，函数y=2,的图像仅有一个点在可行域内，有方程组

x-\-y-3=0

得X=l,所以〃2«1。

11.［2012高考真题山东理13】若不等式巨—4|<2的解集为｛无阵尤〈3卜则实数

k=.

【答案】k=2

［解析］由％-4怪2可得24fcxs6,所以14txs3,所以。=1,故左=2.

\x>0

12.12012高考真题安徽理11］若xj满足约束条件：Q+2J23；则X-J的取值范

\2x+y<3

围为.

【答案】［-3,0］

t解析】约束条件对应AJ3C边际及内的区域：T(0,3\3(0；)C(Ll),则

r=x-ye[-3:0].

卜-”l20.

卜+V-3W0.

13.［2012高考真题全国卷理13］若x,y满足约束条件「：'则z=3x-y的最小值

为.

【答案】-1

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图

得y=3x—z,平移直线y=3x,由图象可知当直线经过点C(O,1)时，直线y=3x—z的

截距最大，止匕时z最小，最小值为z=3x-y=-1.

14.[2012高考江苏13](5分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b&R)的值域为[0,+oo),

若关于X的不等式f(x)<c的解集为("2,m+6),则实数C的值为

【答案】9.

【解析】由值域为[0，-◎，当-ac-5=0时有V=a--4b=0,即6=1-,

=-ax-b=x:^ax+—='.x+—.

4(2

不等式f(x)<c的解集为(加，m-6),-令-(-江-令==6,解得c=9.

15.[2012高考江苏14](5分)已知正数a2,c满足：

h

5c-3aWbW-a,clnbea+clnc,则一的取值范围是

a一

【答案】[e,7]o

【解析】条件

5c-Wb冤4-,c》*cl可化为：

3上+”5

CC

ab

-+-<4Ao

cc

b-

->ec

,c

设@=的y=2,则题目转化为:

cc

3x+y>5

x+y<4v

已知为y满足’，求上的取值范

y>exx

x>0,y>0

Ho

作出（Xy）所在平面区域（如图）.求出J=/的切

线的斜率e，设过切点尸北）的切线为尸2--肛加20），

贝IJ士_=曰;Jl=e-巴，要使它最小，须优=0。

毛x0飞

上的最小值在Pl*,No）处，为e.此时，点p4Jb）在产炉上一工5之间.

当（xy）对应点C时，产4r=["=207x=7xn.=7,

[y=5-3x[4v=20-12x-x

的最大值在C处，为7。

X

•••）的取值范围为[e,7],即2的取值范围是[e,71o

xa

x,y>0

17.【2012高考真题新课标理14】设羽y满足约束条件：<x-y2-1；则z=x-4的

、x+y<3

取值范围为

【答案】[一3s3]

【解析】做出不等式所表示的区域如图=x-2j得

y==xVz,平移直线1=白，由图象可知当直线经过点0(3,0)时，直线丁=白一：z

的截距最小，此时z最大为z=x-2j=3,当直线经过3点时，直线截距最大，此时二最

X-I'=-1X=1

小，由。..，解得',即3(1,2),此时z=x-2y=l-4=-3,所以

x+v=31，一。

-3<z<3,即z的取值范围是[-33]

[2011年高考试题】

x+2y-5>0

1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数阳y满足不等式组2x+y-7〉0,若羽y为整

x>0,y>0,

数，贝1|3x+4y的最小值是

(A)14(B)16(C)17(D)19

【答案】B

x+i，­A=0x=3

【解析】作出可行域，由L“二八得「，，为整数，所以x=4d=l,

|2x+y-7=0|y=l

2工2=3x4+4x1=16故选8.

2.(2011年高考浙江卷理科7)若。/为实数，则"O<aO<l”是a〈工或人〉工的

ba

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不

必要条件

【答案】A

］ag-l-L1ab-1］、"］、ab-1ab-1(qb-1);

【解析】々一一=-----或5_—=-----贝1」(z々__乂6__)=-----------=-_—

bbaababaab

因为0<ab<1所以--二--->0即(a——)(6--)>0于是(a——--)>0所以

abbaba

4<1或5>2成立，充分条件；

ba

反之a<-^,b>-成立，即=则

babbaa

,1k(，T)；

(<7--VXA*--)=——--<o

baab

故a5<0,不必要条件.故选A

3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足冈+田41,则x+2y的最大值和最小值分别

为

(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1

【答案】B

【解析】不等式凶+国41对应的区域如图所示,

当目标函数过点(0,-1),(0,1)时，分别取最小或最大值，所以x+2y的最大值和

最小值分别为2,—2.故选B.

11.(2011年高考江西卷理科3)若f(x)=।则/(x)的定义域为

JlogJ2x+l)

A.(—―,0)B.(—―,0].C.(——,+00)D,.(0,+oo)

【答案】A

【解析】要使原函数有意义，只须logI(2x+1)>0,即0<2x+1<L解得-。<X<0,

故选A.

12.(2011年高考江西卷理科4)若/(乃=必—2x—41nx,则尸(x)>0的解集为

A.(0,+oo)B.T,0)UQ,+8)C.(2,+oo)D.

(-1,0)

【答案】c

4?x2-2x-4

【解析】因为/(%)=2%-2——=-----------------，原函数的定义域为(0,+8),所以由

XX

/'(%)>0可得％2—%—2>0,解得％>2,故选C.

y>x

13.(2011年高考湖南卷理科7)设加>1,在约束条件<y<mx下，目标函数

x+y<l

z=x+冲的最大值小于2,则加的取值范围为

A.(1,1+72)B.(1+72,+oo)C.(1,3)D.(3,内)

答案：A

V=XV=XV=

解析：画出可行域，或分别解方程组，4”,b;得到三个区域

|j=wxlx+y=llx+v=l

端点血Ob—!--匚：/一I，当且仅当直线Z=x+»JJ过点,—1—：—一：时，z

[22);w+1w+1j；w+1w+ly

取到最大值Z=K^<2,解得物£(1』+、叵1。故选A

w+1

14.(2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系九0y上的区,域D由不等式组

0<x<^2

<y<2给定.若M(x,y)为D上动点，点A的坐标为(逝,1).则z=OM[M的最大

x<^2,y

值为()

A.472B.30C.4D.3

【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形

0ABCz^OMOA=\OM\\OA\cosZAOM^y/3\OM\cosZAOM^y/3\ON\t所以

就是求I°N|的最大值，|ON|表示OM在OA方向上的投影，数形结合观察得当点凶在点

B的地方时，l°N|才最大。

在AAOM中，OA=7722+1=V3,0B=J©+4=强,AB=2-1=1,r.cosZAOM=布+视二'=-72

2a/3a/63

zmax=V3*V6*|V2=4

，所以3所以选择C

15.(2011年高考湖北卷理科8)已知向量a=(x+z,3),5=(2,y-z),S.a±b,若*,y满足

不等式国+卜区1,则z的取值范围为

A.[―2,2]B.[—2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

答案:D

解析：因为，■!"»,故£石=0,即2(x-z)-3(j-z)=0,可得z=2x+3y,又因为

|X|+|T|<1,其图像为四条直线X-J=LX-J=L-X-J=L-X-J=1所围成的正方形面，由

线性规划可计算得当x=Oj=l时，z=3x-3j取到Z==3,当x=Oj=-l,取到=-3,

所以选D.

16.(2011年高考湖北卷理科9)若实数a力满足a20,620,且曲=0,则称a与5互补，记

(p(a,b)=^Ja2+b2-a-b,那么夕(a,A)=O是。与b互补的

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析：由？(2方)=0,即Ja：-方：-a-匕=0,故Ja：-6：=a-b,则a-匕*0,化简得

cr~bz=(a~b'y,BPab=O,故a-匕20且ab20,贝Ua20)20且ab20,故选C.

二、填空题：

1.(2011年高考浙江卷理科16)设羽y为实数，若4k+/+孙=1,则2x+y的最大值

【答案】率

【解析】4x?+y2+4号，-3号=1,

73)32x+vn5?

1=(2x+4-…，>(2x+y)2-4(二^，)-=q(2x+y)2

..2x+y&---,故2x+j的版大值为—--

55

2.(20H年高考天津卷理科13)已知集,合

A=e7?||x+3|+|x-4|<9j-,B=|xe7?|x=4?+--6Je(0,+oo)j,则集合

Ac3=_____

【答案】{x|-2W}

【解析】因为，>0,所以4r+：N4,所以8={xe&x2-2},由绝对值的几何意义可

得A={xeK|-4WxW5},所以={x|-2<x<5}.

，，1Vi、

3.(2011年高考湖南卷理科10)设％,yeR,且孙/0,贝！|x~H---+4y2的最小

1y人工)

值为.

答案：9

解析：由尤,yeR,且肛w0可知：x2>0,y2>0,.,.x~y2>0,贝ij

X2+4丫！+4y2[=l+4+4x2y2+—>5+J

4%2y21V=5+4=9(当

rJU)%，\口

且仅当4Vy2=一:时，取到等号)。故填9

xy

4.(2011年高考广东卷理科9)不等式|^-+l|-|.x-3|>0的解集是.

【解析】{x|x21}。由题得|x+l闫X—3|(x+1)2>(x-3)2x>1所以不

等式的解集为｛x|x»l｝。

5.(2X)11年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系X。〉中，过坐标原点的一条直线与函

2

数7•(%)=—的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是

X

【答案】4

jy=kx

t解析】设坐标原点的直线方程为n=阳左＞0),则由P」F2解得交点坐标为

(空,回)、(一旦,用),即为P、Q两点，所以线段PQ长为

y+於“J2gM=4,当且仅当k=l时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.

三、解答题：

1.(2011年高考广东卷理科21)(本小题满分14分)

A.在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L,:丁=工公实数p,q满足p2—例之0,

4.

xi,X2是方程方-px+夕=0的两根,记夕(p,g)=max{M,民|}。

1

(1)过点9)(pow0)作L的切线教y轴于点

B.证明：对线段AB上任一点Q(p,q)有9(°,q)=煤；

.(2)设M(a,b)是定点，其中a,b满足a'Tb〉。,a=0.过M(a,b)作L的两条切

线//，切点分别为E(PI，：PI2),E'(P2，；P22),//与y轴分别交与F,F'。线段EF上异

于两端点的点集记为X.证明：M(a.b)50出|〉田|09(0,。)=甲

(3)设D={(x,y)|yWxT,y2!(x+1)2--}.当点(p,q)取遍D时，求°(p,q)

44

的最小值(记为夕皿街)和最大值(记为0侬)-

11,

【解析】解：(1)证明：切线/的方程为y=—

VQMq)eA5有0他q)=小尸=也

+

当Po>0时,0<P<Po,于是9(p,q)=。P；~-=-y=

当Po<。时,Po<P<0,于是9(PM)=-+；°。==W」.

(2)lx,l2的方程分别为y=：P]X—1药j=”小》一(仄一

求得h工交点M(a,b)的坐标(「二，：，竽),由于『-46>0,aH0,故有

Pi1*1PiI-

1)先证：A/(a：6)wxpP]|>|p：].

(=)设Af(a力)wX.

当Pl>0时：0<当：P：<R=>0<Pl+p：<2pi今已忸%I•

当PlV。时<一、­<0=2pi<Pl+0<0=Pl]>1小I.

(u)设||>|%I,则I匹l<1=>一1<&<1=>0<"I+必<2.

PiPiPi

当Pl〉0时,0<Pl；，2<Pl；当Pl<0时,P[<B；，2<1.

注意到M(a,圻在/1上，故M(a,b)eX.

2)次证：M(a,b)eX(p(a,b)='.

(n)己知M(a,A)eX,利用(1)有0(a,b)=丹

（二）设夕（。/）=将^,断言必有|B|>|「?|.

若不然，IA|<|必I•令丫是4上线段石户'上异于两端点的点的集合，

由己证的等价式1）M（a,A）cK再由（1）得夕（。/）=将！/号,矛盾。

故必有|pj>|必|.再由等价式1）,W）用

综上，M（a,b）eXo|p}|>|2I。<P（a,b）=四'

(3)求得y=x-1和y=g(x+；的交点Q(0:-1\Q(2」)

而y=x-1是L的切点为(2」)的切线，且与y轴交于2(05-1),

由(1)V0(Rq)e线段QQ,有5>4)=1.

,1、541,5

当Q(pq)wZ1v=［(x+l)._：(04x«2)Btg=；(p+l)._j

---KP)=dp：q)