2024-2025学年新教材高考数学空间向量的数量积运算1练习含解析选择性必修第一册

PAGE9-空间向量的数量积运算（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知空间向量a,b满意a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=()A.0 B.22 C.4 D.83.(2013·天水高二检测)已知四边形ABCD满意:AB→·BC→>0,CD→·DA→>0,A.平行四边形 B.梯形C.平面四边形 D.空间四边形4.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()A.3 B.2 C.1 D.35.(2013·杭州高二检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是()A.45° B.60° C.90° D.120°二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)已知向量a与b的夹角是120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)=.7.如图所示,在几何体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为.8.如图∠BAC=90°,等腰直角三角形ABC所在的平面与正方形ABDE所在的平面相互垂直,则异面直线AD与BC所成角的大小是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN(2)求cos<BA1→(3)求证:A1B⊥C1M.10.(2013·济南高二检测)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求证:MN⊥CD.(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.11.(实力挑战题)如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方),问BC边上是否存在点Q,使PQ→⊥答案解析1.【解析】选A.a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|⇔cos<a,b>=1⇔<a,b>=0,即a,b同向,故是充分条件;当a与b反向时,不能成立,不是必要条件.2.【解析】选B.|2a-b|===4×1-4×0+223.【解析】选D.由题意知,BA→·BC→<0,CB→·CD→<0,4.【解析】选D.BD→=BF→∴BD→

22=(BF=BF→

22+FC→

22+CD→2由题意知,|BF→|=|FCBF→·FC→=|BF→=1×1×(-22)=-2FC→·CD→=∴BD→

22=3+2×(-∴BD=3-5.【解析】选B.设AB→=a,AC→=b,|a|=|c|=1,则|b|=2,EF→=EB→+BF→=12AB→BC1→=BC→+CC=-a+b+c,∴EF→·BC1→=(12a+12c)·=-12a2+12a·b+12a·c-12a·c+12b·=-12|a|2+12a·b+12b·c+12=-12+12a·b+0+12=12由题意知,<a,b>=45°,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=1×2×cos45°=1,∴EF→·BC1→==1+(2)∴cos<EF→,B=1222∴cos<EF→,BC∴EF与BC1所成的角为60°.6.【解析】b·(2a+b)=2a·b+b2=2|a|·|b|cos120°+|b|2=2×4×4×(-12)+42答案:07.【解析】AE→

2=(AB→+=|AB→|2+|BC→|2+|CE→|2+2(AB→·BC由题意知,|AB→|=|BC且AB→·BC→=AB→·∴AE∴AE的长为3.答案:3【举一反三】若将题条件中“BC⊥CD”改为“∠BCD=120°”,其他条件不变,结果如何?【解析】由本题解答知,AE→

22=|AB→|2+|BC→|2+|CE→|2+2(A∵|AB→|=|BCAB→·BC→=BC→·CE→=|BC→|·|CE=1×1×cos60°=12∴AE→

2故AE的长是2.答案:28.【解析】设正方形ABDE的边长为1,∵AD→=AB→+AE→,∴AD→·BC→=(AB→+AE=AB→·AC→-AB→

22=0-1+0-0=-1,|AD→=A=1+2×0+1=2|BC→=A=1-2×0+1=2∴cos<AD→,BC→>=∴<AD→,BC→>=120答案:60°9.【解析】(1)由题可知,BA=2,BA⊥AN,∴BN→

22=(=BA→

22+2=(2)2+2×0+12=3,∴BN=3.即BN→的长为(2)∵BA1→=BA→+AA1∴BA1→·CB1→=(BA→+=BA→·CB→+BA→·BB1=|BA→|·|CB→|·=2×1×(-22)+22|BA1=(2)2|CB1=12+2∴cos<BA1→,=36×5(3)∵A1B→=AC1M→=12(∴A1B→·C1M→=12(A1A=12(A1A→·C1A1→+A1A→由题意知,A1A→·C1AAB→·C1A1→=|AB→|·|=2×1×cos135°=-1,AB→·C1B1→=|AB→|·|=2×1×cos45°=1,∴A1B→·C1∴A1B→⊥C1M→,即A10.【证明】(1)设AB→=a,AD→=b,则MN→=MB→=12AB→+=12AB→+AD→-12(=12AB→+AD→+=12(AD→+AP→)=1∴MN→·CD→=12(b+c=-12(a·b+a·c∵四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,∴a⊥b,a⊥c,∴a·b=a·c=0,∴MN→·∴MN→⊥CD(2)由(1)知,MN⊥CD,MN→=12(b∵PD→=AD→-AP∴MN→·PD→=12(b+c)·=12(|b|2-|c|2∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,∴PA=AD,∴|b|=|c|,∴MN→·PD→=0,∴MN→⊥∵CD,PD⊂平面PCD,且CD∩PD=D,∴MN⊥平面PCD.【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为0,详细方法是:(1)先确定两个向量为两直线的方向向量.(2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量.(3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为0,得出两个方向向量垂直.(4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直.11.【解题指南】由PQ→⊥QD【解析】假设存在点Q(Q点在边B