河南省洛阳市2024-2025学年高一数学上学期期末试题含解析

Page14河南省洛阳市2024-2025学年高一数学上学期期末试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可求得结果.【详解】.故选：D3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简利用充要条件的定义可以判定.【详解】化简得，因为时，；而时，不肯定得出.故“”是“”的充分不必要条件故选：A4.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．实行中间变量法，利用转化与化归思想解题．5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】.故选：C.6.若，则的值是（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.详解】由,.故选：D7.下列关于函数，的单调性叙述正确的是（）A.在上单调递增，在上单调递减B.在上单调递增，在上单调递减C.在及上单调递增，在上单调递减D.在上单调递增，在及上单调递减【答案】C【解析】【分析】先求出函数的一般性单调区间，再结合选项推断即可.【详解】的单调增区间满意：，即，所以其单调增区间为：，同理可得其单调减区间为：.由于，令中的，有，，所以在上的增区间为及.令中的，有，所以在上的减区间为.故选：C8.已知，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.【详解】，所以，，不为1的状况下：，函数与函数的单调性相同，ABC均不满意，D满意题意.故选：D【点睛】此题考查函数图象的辨析，依据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.9.函数的部分图象如图，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最终依据时取最大值1，求得，即可得解．【详解】解：依据函数的图象可得：函数的周期为，∴，当时取最大值1，即，又，所以，故选：C．【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象视察实力，属于基本学问的考查．属于基础题.10.已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简洁推断即可.【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.故选：B.【点睛】本题考查函数零点问题，驾驭三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.11.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的单调性，可得出，分、两种状况解不等式，综合可得出原不等式的解集.【详解】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.且，当时，由可得，则；当时，由可得，则.综上所述，不等式的解集为.故选：C.12.已知，为锐角，，，则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，依据正弦的差角公式绽开计算即可.【详解】∵，，∴，又∵，∴，又，∴，∴，，∴故选：A.二､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】【分析】结合幂函数定义，采纳待定系数法可求得解析式，代入可得结果.【详解】为幂函数，可设，，解得：，，.

故答案为：.【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采纳待定系数法求解函数解析式，属于基础题.14.已知函数，若，则___________.【答案】0【解析】【分析】由，即可求出结果.【详解】由知，则，又因为，所以.故答案：0.15.计算：______．【答案】【解析】【分析】依据幂的运算法则，根式的定义计算．【详解】．故答案为：．16.水车在古代是进行浇灌引水的工具，是人类的一项古老的独创，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，一个水斗从点动身，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满意，当秒时，___________.【答案】【解析】【分析】求出关于的函数解析式，将代入函数解析式，求出的值，可得出点的坐标，进而可求得的值.【详解】由题意可知，，函数的最小正周期为，则，所以，，点对应，，则，可得，，，故，当时，，因为，故点不与点重合，此时点，则.故答案为：.三､解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简集合A，B，再利用交集运算求解；（2）依据，化简集合，再依据求解.【小问1详解】解：∵，∴，∴集合.∵，∴，∴集合.∴.【小问2详解】∵，∴.∵，∴，解得.∴实数a的取值范围是.18.已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）用括号中的正确条件填空.函数的图象可以用下面的方法得到：先将正弦曲线，向___________（左，右）平移___________（，）个单位长度；在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的___________（，2）倍，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的___________（，2）倍，最终再把所得曲线向___________（上，下）平移___________（1，2）个单位长度.【答案】（1），（2）左，，，2，上，1【解析】【分析】（1）依据降幂公式、二倍角的正弦公式及两角和的正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求周期，由正弦型函数的单调性求单调区间;（2）依据三角函数的图象变换过程求解即可.【小问1详解】，∴函数的最小正周期.由，得：，，∴的单调递减区间为，.【小问2详解】将的图象向左平移个单位，得到的图象，在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，最终再把所得曲线向上平移1个单位长度，即可得到函数的图象.19.甲地到乙地的距离大约为240，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测试，收集到了该车型的每小时耗油量Q（单位：）与速度v（单位：）（）的数据如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）从甲地到乙地，该型号的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【答案】（1）最符合实际的模型为①，理由见解析（2）从甲地到乙地，该型号的汽车以80的速度行驶时能使总耗油量最少【解析】【分析】（1）依据定义域和单调性来推断；（2）依据行驶时间与单位时间的耗油量得到总耗油量的函数表达式，再求最小值的条件即可.【小问1详解】依题意，所选的函数必需满意两个条件：定义域为，且在区间上单调递增.由于模型③定义域不行能是.而模型②在区间上是减函数.因此，最符合实际的模型为①.【小问2详解】设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有.∵，，∴，它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为，且，∴当时，y有最小值.由题设表格知，当时，，，.∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少.20.已知函数(且)的图象恒过点A，且点A在函数的图象上.（1）求的最小值；（2）若，当时，求的值域.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】(1)依据对数函数恒过定点(1，0)求出m和n的关系：，则利用转化为基本不等式求最小值；(2)利用换元法令，将问题转化为二次函数求值域问题即可.【小问1详解】∵，∴函数的图象恒过点.∵在函数图象上，∴.∵，∴，，∴，，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4.【小问2详解】当时，，∵在上单调递增，∴当时，，令，则，，在上单调递增，∴当时，；当时，.故所求函数的值域为.21.如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据三角函数的定义结合二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值；（2）利用协助角公式可得，结合角的取值范围可求得的取值范围.【小问1详解】解：由三角函数的定义，可得，当时，，即，，【小问2详解】解：，，，所以，，，则，则，即的取值范围为.22.已知函数（且）.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）函数的定义域为，且满意如下条件：存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“二倍函数”.若函数是“二倍函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，对随意的，恒成立，利用参变量分别法结合指数函数的值域可求得实数的取值范围；（2）分析可知在定义域内单调递增，由“二倍函数”的定义可知关