2.6对数与对数函数

2.6对数与对数函数课标要求精细考点素养达成1.理解对数的概念和运算性质2.灵活应用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用3.了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点4.知道对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数对数的运算通过指、对数互化,培养数学运算、逻辑推理、直观想象等素养对数函数的图象与性质通过掌握对数函数的图象及性质,培养直观想象、逻辑推理等素养对数函数应用通过对数函数的应用,提升逻辑推理、数学运算等素养1.(概念辨析)下列结论正确的是(填序号).

①函数y=log2(x+1)是对数函数;②若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN;③对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数;④函数y=ln1+x1−x与y=ln(1+x)ln(1x⑤当x>1时,若logax>logbx,则a<b.2.(对接教材)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(填序号).

①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1.3.(对接教材)若x>0,y>0,则下列各式中恒等的是().A.lgx+lgy=lg(x+y) B.lgx2=(lgx)2C.lgxn=lgxn D.lg4.(易错自纠)若函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=.

5.(真题演练)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1为偶函数,则实数A.1 B.0 C.12 对数的运算典例1(1)设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m的值为(A.10 B.10 C.20 D.100(2)计算:lg14-lg25÷100(3)计算:(1-log61.ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.2.对数运算的一般思路:(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;(2)将同底对数的和、差、倍合并;(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用;(4)利用常用对数中的lg2+lg5=1.训练1(1)已知lg2=a,lg3=b,则用a,b表示log56=.

(2)(2024·江苏淮阴四校联考)1986年4月26日,乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染,主要的核污染物为锶90,它每年的衰减率约为2.5%.专家估计,当锶90含量减少至初始含量的约1.6×109倍时,可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除,这一过程约持续().(参考数据:lg2≈0.301,lg975≈2.989)A.400年 B.600年C.800年D.1000年对数函数的图象与性质典例2(1)函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是().A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1(2)函数f(x)=loga(x+1)+3(a>0,且a≠1)的图象一定过定点.

(3)函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)与函数y=x22ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是().A BC D应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.训练2(1)函数f(x)=loga(xb)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则b=.

(2)(2023·浙江宁波适应性考试)若a2>a2(a>0且a≠1),则函数f(x)=loga(x1)的图象大致是().A BC D(3)已知函数f(x)=|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f对数函数的应用典例3(1)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为().A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(2)已知函数y=loga(1ax)在(1,2)上是增函数,则实数a的取值范围是().A.(1,2) B.[1,2]C.0,12 (3)已知函数f(x)=log12(ax2+6x+18).若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是;当a=12时,f(x)1.对于底数相同的指数幂或者对数式,可以通过指数函数或者对数函数的单调性比较大小;底数不同,指数相同的指数幂则可通过幂函数的单调性比较大小.对于底数和指数(或真数)都不相同的指数幂(或对数)的大小比较问题,一般可以通过与1或0的比较传递出大小关系;或者对式子结构变形,构造新函数,利用函数的单调性和运算性质即可求解.2.求基本初等函数的定义域就是要使得式子有意义,函数的定义域常用求法有:分式的分母不为零,偶次根式的被开方式不小于零,对数函数的真数大于零等.求基本初等函数的值域的常用方法有:单调性法、换元法、有界性法、图象法、判别式解法等.3.复合函数的单调性满足“同增异减”,特别注意单调区间包含于定义域.分段函数的单调性首先满足各段单调,然后考虑分界点处函数值的关系.训练3(1)已知a=ln22,b=ln33,c=ln66,则a,b,c的大小关系为(A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.b>c>a(2)若函数y=loga(x2ax+2)在区间(∞,1]上为减函数,则实数a的取值范围是.

训练4设函数f(x)=ln|2x+1|ln|2x1|,则f(x)().A.是偶函数,且在12,+∞上单调递增B.是奇函数,且在C.是偶函数,且在-∞,-12上单调递增D.是奇函数,且在反函数问题典例若关于x的方程x+log5x=4与x+5x=4的根分别为m,n,则m+n的值为().A.3 B.4 C.5 D.61.若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.2.在同一直角坐标系内,若两函数互为反函数,则图象关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f1(x)的图象上.3.若方程x+f(x)=k的根为x1,方程x+f1(x)=k的根为x2,那么x1+x2=k.训练已知x1是方程x·3x=4的根,x2是方程x·log3x=4的根,则x1x2=.

一、单选题1.函数y=loga(x1)+4的图象恒过定点P,则点P的坐标为().A.(2,4) B.(4,2) C.(1,4) D.(2,5)2.已知a=log23,b=log25,则log415=().A.2a+2b B.a+bC.ab D.12a+13.已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限,则a的取值范围是().A.(0,1) B.(0,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞)4.已知a=log0.040.08,b=log0.20.3,c=log23,则a,b,c的大小关系是().A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<b<a二、多选题5.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则下列结论正确的是().A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.4b·9b=4a·9c D.1c=26.设函数f(x)=|x2+3x|,x≤1,log2x,x>1,若方程f(x)+m=0有A.3 B.1 C.12 D.三、填空题7.若实数x满足不等式log2(x22x)>log2(x+4),则实数x的取值范围是.

8.已知f(x)=log12(x2ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是四、解答题9.已知函数f(x)=loga(2+x)+loga(4x)(a>0且a≠1)的图象过点(1,2).(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)求f(x)在[0,3]上的最小值.10.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2x).(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;(2)记函数g(x)=10f(x)+3x,求函数g(x)的值域;(3)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.11.设函数f(x)的定义域为D,若满足:(1)f(x)在D内是增函数;(2)存在[m,n]⊆D(n>m),使得f(x)