专题26 正弦定理和余弦定理-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题26正弦定理和余弦定理（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】利用正、余弦定理解三角形 5【考点2】判断三角形的形状 6【考点3】和三角形面积有关的问题 7【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 10【培优篇】 11考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常见变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2023·全国·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．5．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．四、解答题6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.7．（2023·全国·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．8．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．10．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．11．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．12．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．考点突破考点突破【考点1】利用正、余弦定理解三角形一、单选题1．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江金华·三模）已知椭圆，、分别为其左右焦点，点M在C上，且，若的面积为，则（

）A． B．3 C． D．4二、多选题3．（2024·山东济南·三模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（

）A． B．面积的最大值为C． D．边上的高的最大值为三、填空题4．（2024·四川成都·三模）的内角的对边分别为，若且，则的值为四、解答题5．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且.(1)求的值；(2)若的面积为，求的周长.6．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．(1)求角；(2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．反思提升：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.【考点2】判断三角形的形状一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（

）A．为直角三角形 B．为锐角三角形C．为钝角三角形 D．的形状无法确定二、多选题3．（2021·黑龙江鸡西·模拟预测）在中，有如下四个命题正确的有（

）A．若，则为锐角三角形B．若，则的形状为直角三角形C．内一点G满足，则G是的重心D．若，则点P必为的外心三、填空题4．（2021·浙江宁波·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，若，则，三角形的形状为.四、解答题5．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.6．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．(1)判断的形状，并证明；(2)求的最小值．反思提升：1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【考点3】和三角形面积有关的问题一、单选题1．（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（

）A． B．2 C． D．42．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江西·二模）已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（

）A．B．C．的面积为D．在的外接圆上，则的最大值为三、填空题4．（2024·山东·二模）在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为．四、解答题5．（2024·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足.(1)求A；(2)若，求BC边上的高.6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知分别为内角的对边，．(1)求角A；(2)若的面积为，周长为6，求．反思提升：与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（

）A．3 B． C．5 D．3．（2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形二、多选题5．（21-22高一下·江苏南京·期中）三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有（

）A．a＝2，b＝3，c＝4 B．C． D．6．（2022·吉林长春·模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，以x轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，P，则下列说法正确的是（

）A．B．扇形的面积为C．D．当时，四边形的面积为7．（2024·广东肇庆·模拟预测）若的三个内角的正弦值为，则（

）A．一定能构成三角形的三条边B．一定能构成三角形的三条边C．一定能构成三角形的三条边D．一定能构成三角形的三条边三、填空题8．（2024·山东威海·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=．9．（23-24高三下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为；若，则的面积为．10．（2024·山东泰安·模拟预测）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且，则的面积为.四、解答题11．（2024·河南·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角；(2)若，求的值．12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且.(1)求的大小；(2)求的值.【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（

）A． B． C．12 D．15.2．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”中，准备修一条三角形健身步道，已知扇形的半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·宁夏银川·三模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，若正三角形的一