专题05 二次函数与一元二次方程、不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题05二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 7【考点1】一元二次不等式的求解 7【考点2】三个二次之间的关系 11【考点3】一元二次不等式恒成立问题 13【分层检测】 18【基础篇】 18【能力篇】 24【培优篇】 27考试要求：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.知识梳理知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是.三、解答题5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．6．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.(1)若是真命题，求对应的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.考点突破考点突破【考点1】一元二次不等式的求解一、单选题1．（2021·上海徐汇·一模）已知，条件：，条件：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题中的真命题有（

）A．当时，的最小值是3B．的最小值是2C．当时，的最大值是5D．若关于的不等式的解集为，则三、填空题5．（2021·四川绵阳·模拟预测）若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为．反思提升：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【考点2】三个二次之间的关系一、单选题1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（

）A． B．C． D．2．（2021·新疆·模拟预测）已知函数，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（20-21高一上·浙江台州·期中）若非负实数满足，则的最大值为.三、解答题4．（2022·江苏盐城·模拟预测）设函数．(1)若函数在上不单调，求a的取值范围；(2)对任意，都存在，使得成立，求a的取值范围．反思提升：1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【考点3】一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·江西九江·二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．二、多选题3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列几种说法中正确的是（

）A．若，则的最小值是4B．命题“，”的否定是“，”C．若不等式的解集是，则的解集是D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件4．（22-23高三上·山东枣庄·开学考试）下列说法正确的是（

）A．若不等式的解集为，则B．若命题，，则的否定为C．在中，“”是“”的充要条件D．若对恒成立，则实数的取值范围为三、填空题5．（2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是．6．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是．反思提升：(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（

）A．或 B．2或 C． D．2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，则（

）A． B．C． D．3．（2023·广东·模拟预测）若集合，，且，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（22-23高三上·江苏·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．8二、多选题5．（2022·广东佛山·一模）下列说法正确的是（

）A．命题：，的否定是：，；B．，是的充要条件；C．是的充分非必要条件；D．是命题：，恒成立的充分非必要条件6．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．7．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（

）A． B．集合的真子集个数是4C．不等式的解集是 D．的解集是或三、填空题8．（2021·河北石家庄·二模）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为.9．（22-23高一上·河北沧州·期中）若“”为假命题，则实数的取值范围为.10．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为．四、解答题11．（2022·山东济南·二模）已知函数(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．12．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且.(1)求a的值；(2)当时，恒成立，求m的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（

）A．为R上的增函数 B．无极值C． D．三、填空题3．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是．四、解答题4．（2022·上海青浦·一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.【培优篇】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二