专题04 基本不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题04基本不等式（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 2【考点突破】 10【考点1】利用基本不等式求最值 10【考点2】基本不等式的综合应用 13【考点3】基本不等式的实际应用 20【分层检测】 27【基础篇】 27【能力篇】 33【培优篇】 36考试要求：1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.知识梳理知识梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．7．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为．考点突破考点突破【考点1】利用基本不等式求最值一、单选题1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是（

）A． B．1C．2 D．二、多选题3．（2023·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为4．（2023·山东烟台·三模）已知且，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为4三、填空题5．（2023·辽宁大连·三模）已知，且，则的最小值为.6．（2020·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是.反思提升：1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【考点2】基本不等式的综合应用一、单选题1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．2．（21-22高一上·河南商丘·期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·河北保定·二模）如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（

）

A．的大小为 B．面积的最小值为C．长度的最小值为 D．点到的距离可以是4．（2021·全国·模拟预测）已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（

）A．的最小值为2 B．面积的最大值为C．直线的斜率为 D．为钝角三、填空题5．（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为．6．（2021·湖北襄阳·一模）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．反思提升：(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.【考点3】基本不等式的实际应用一、单选题1．（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年2．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（

）A． B．76cm C．94cm D．二、多选题3．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（

）A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多4．（2023·河北唐山·三模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体．底面长方形中，，上棱长，且平面，高（即到平面的距离）为，是底面的中心，则（

）A．平面B．五面体的体积为5C．四边形与四边形的面积和为定值D．与的面积和的最小值为三、填空题5．（2021·黑龙江大庆·三模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）里.6．（21-22高三上·湖北·阶段练习）拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则，的最大值为.反思提升：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·北京西城·二模）设，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023·山东滨州·二模）已知直线与圆相切，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．23．（2023·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北·模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4二、多选题5．（2023·吉林白山·一模）若正数a，b满足，则（

）A． B． C． D．6．（22-23高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．77．（2021·江苏南通·一模）已知，，则（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则．9．（2023·辽宁沈阳·二模）已知，则的最小值是．10．（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是.四、解答题11．（2023·广西南宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)若，则；(2).12．（9-10高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【能力篇】一、单选题1．（2022·河北石家庄·二模）已知，则x､y､z的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（

）A．为常数 B．的值可以为：C．的最小值为3 D．的最小值为三、填空题3．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，其中，，若，则的最小值为．四、解答题4．（2022·山西晋中·模拟预测）已知，，且.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)证明：.【