高中数学人教课标A版必修2-高二数学热点问题十八讲 公开课教学设计课件资料

第一讲《几何体的表面积与体积问题》热点解析

空间几何体的表面积与体积问题是高考中的热点问题之一,主要考查柱、锥、

台、球的体积和表面积，常与三视图、球等问题结合考查.20

热点1.考查几何体的表面积H—20--I

正（主）视图例（左）视图

例L已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可

得这个几何体的表面积是.

分析：由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积.

俯视图

解：依题意，此几何体为如图的四棱锥产力颇，且底面4腼为边长为20cm

的正方形，侧面故）垂直底面/腼，△”的高为20cm,故这个几何体的表面积S

=202+^X20X20+^X20X2嗦+2X^X2OX1琉=600+200（小十洞（加），故

填答案600+200（^2+^/5）cm2

总结：以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行

恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

配套训练L若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积

等于（）

A.y/3B.2

C.2^3D.6

考点2.考查几何体的体积

例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等功三

角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）

A.4小B.4

C.2#D.2

分析：根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解.

解：由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以K=^=^X2y/3X2X3=

2小,故选C.

总结：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形

状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.

配套训练2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）

2816„4,

A.-B.-ITC.+8D.127

ooO

热点3.考查几何体的展开与折叠

例3.如图1,在直角梯形/比》中，ZADC=90°,CD//AB,AB=\,AD=CD=2,将

沿47折起，使平面力〃入平面4%,得到几何体力8G如图2所示.

（1）求证：6灶平面45；（2）求几何体的比的体积.

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明故垂直于平面/切内的两条相交线即可；

（2）利用体积公式及等体积法证明.

⑴证明：在图中，可得/仁及从而〃+初=麻，故4密取/C的中点0,

连接〃。，

则D0LAC,又平面平面ABC,平面平面ABC=AC,DOa平面ADC,从而DO

_L平面加GJ.DOYBC,——jC

又ACLBC,ACOD0=0,.•.犯1平面____

（2）解：由⑴可知，比为三棱锥胡切的高，比±2啦，以,》=2,

11厂4、历4、伤

=三酸3•BC=~X2X2而=U~,由等体积性可知，几何体DABC的体积为里.

O«JO«J

总结：（1）有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形（折前的平面图形和折叠后的空间

图形）各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变；（2）研究几何体表面上两点,

的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离

问题.0；

配套训练3.已知在直三棱柱48。心G中，底面为直角三角形，ZACB=90°,L%/

价=6,8C=S=*,P是的上一动点，如图所示，则b+9的最小值为.A'

考点4.考查与球有关的计算问题

例4.⑴正四棱锥A4吃的侧棱和底面边长都等于2平,则它的外接球表面积是

（2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的

表面积为•

分析：（1）求外接球的表面积，首先需要求出此球的半径，然后根据球的表面积公式计

算；（2）球心位于上、下底面中心连线的中点处，再结合图形求表面积.

解：（1）设正四棱锥的外接球半径为此顶点。在底面上的射影

:=卜2m2.2=2,'ai

Z.PgylP#_0#=N2m2—22=2.又曲=04。。=如=2,由此可知Q2,

于是S球=4n#=16兀.

(2)三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心a、&的连线的中

点。处，连接a氏60、0B,其中仍即为球的半球必由题意知：。8=|、华=华，所

以半径*=(f)+(当^尸=碧，所以球的表面积5=4五川=用且.

总结：以各几何体的外接球、内切球为命题点进行考查是高考考查的重要内容，在备考

中要牢记一些典型几何体的侧面积和体积的计算公式，以及各几何体的棱长与它的内切球、

外接球的半径之间的转换关系.

配套训练4.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为小,则其外接球的表面积

是.

总之，空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要

熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几

何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技

巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间儿何体面

积和体积计算难点的关键.

第二讲三视图问题中的热点回顾

空间几何体的三视图问题，是高中数学中的重要内容，由于这部分内容能够很好地考查

学生的空间想象能力以及分析解决问题的能力，因此成为近年来高考立体几何问题中的命题

新趋势.为了把握热点，明确高考命题的方向，本讲三视图的热点问题回顾如下，供学习时

参考.

热点L考查三视图的概念问题

例1.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图

所示，则该几何体的俯视图为（）

中『EB

正住明图侧也）视图

CD

解析：C.由正（主）视图可知去掉的长方体在正对视线的方向，从侧（左）视图可以

看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C.

点评：本题主要考查柱体的三视图画法，解题的关键在于正确掌握三视图的概念，特别

要几何体的三视图之间的关系，要注意理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

跟踪训练1.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的

（填入所有可能的几何体前的编号）.

①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱

热点2.考查由三视图求体积问题

例2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积

为.

解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图

可知该几何体的高为1,结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的

直四棱柱，所以该几何题的体积为丫=$11=-（l+2）x2xl=3,故填3.

2

点评：正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体

底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3,宽为2,高为1

的长方体的一半.

跟踪训练2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

A.2B.1C.-D.一

33

热点3.考查由三视图求面积问题

例3.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()

A.372B.360C.292D.280

解析：选B.该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于

下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.

S=2(10x8+10x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.

点评：本题主要考查简单组合体的三视图问题以及把三视图

转化为直观图的能力.

跟踪训练3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图

I

所示,则其表面积等于__________.--------------工

!■—»—*—i—l

热点4.考查由三视图求长度问题

例4.如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出

了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条

棱的长为.

解析：由三视图可知，此多面体是一个底面边

长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底

面的四棱锥，所以最长棱长为A/22+22+22=273.

点评：本题主要考查三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查识图能力以及由三视图

还原几何体的能力.

跟踪训练4.图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何

体的三视图，则力=cm.

总之，以上四个方面是空间几何体的三视图的热点问题，务必熟

练掌握.另外，空间几何体的三视图还可以和其他问题交汇考查，但由

于所学内容的限制，本讲暂不涉及.

第三讲透视线面平行问题的两大热点

线面平行问题包括直线与平面平行的判定与性质，它是高考所必考的2大热点问题.本

讲结合近年来的高考试题就线面平行问题的2大热点回顾如下，供学习时参考.

热点1.考查线面平行的判定

例1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEJ_AC,EF〃AC,AB=J5,

CE=EF=1.

求证：AF〃平面BDE.

分析：要证明AF与平面BDE平行，根据线面平行的判定定理，关键是要找AF与平面

BDE内的某条直线平行，将“线面”平行问题转化为“线线”平

行问题来证明.

证明：设AC与BD交与点G,YEF//AG,且EF=1,AG=，AC=1,

2

四边形AGEF为平行四边形，...AF〃EG,又：EGu平面BDE,

AF(Z平面BDE,，AF〃平面BDE.

评注：本题主要考查线面平行的判定定理的掌握情况，属于难度中等的题目，其中证明

AF与EG平行是解决问题的关键.

例2.在四面体ABCD中，CB=CD,ADA.BD,且E,F分别是AB,BD的中点，求证:

直线面ACO.

分析：根据线面平行的判定定理，在面ACO内找一条直线

和直线EF平行即可，而E,F分别是AB,BD的中点，所以联想到

三角形的中位线定理.

证明：..飞尸分别是AB8D的中点.

，EF是AABD的中位线，EF//AD,

・”尸〃心面设0,ADu面ACD,二直线EF〃面ACD.

评注：本题主要考查线面平行的判定定理的掌握情况，属于容易的题目，其中三角形中

位线定理是解决问题的关键.

热点2.考查线面平行的性质

例3.如图，若。是长方体ABC。—A4GA被平面EFGH截去几

何体EFGHBg后得到的几何体，其中E为线段4片上异于的点，F为线段8片上异

于用的点，且EH〃AR,则下列结论中不正确的是（）

A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形

C.。是棱柱D.A、B、C均不正确

分析：本题是基于线面平行的性质来考查棱柱与棱台的概念的.

解：：因为EH//44,而AA//4G，•••所以EH//B©，又E”u平面BCC画,

所以E”〃平面BCC,B,,又E”u平面EFGH,平面EFGHc平面

BCC】B\=FG,EH〃FG,故EH〃FG〃Bg,所以选项A、C正确，故选D.

评注：本题考查空间中直线与平面平行的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻

辑推理能力.

例4.设有直线m、n和平面&、△.且mu〃，nuP

a（3=1,若01〃a,11〃&,则直线m、n的位置关系为（）

A.m//nB.m、n相交C.m〃n或m、n相交D.无法确定

分析：根据线面平行的性质定理，不难得出直线m、n的位置关系.

解：'.'m//a,a（~\P—I,mu0同理n〃l,二!!!〃!!.

评注：本题主要考查直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过

这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.属于容易题.

总之，只要紧紧抓住线面平行的判定与性质的实质，不论问题如何变换，都可以做到得

心应手，举一反三的目的.

第四讲空间距离问题的三大热点

空间距离的概念及其计算是立体几何的重要知识点，也是高考所必考内容之一，立体几

何中的距离，主要包括：点到平面的距离；异面直线的距离：直线与平面的距离等.尽管这

些距离的含义各不相同，但都可以通过适当的手段最终转化为平面上的两点之间的距离来计

算.其基本方法和步骤是：①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图

形内计算.简单地说：求空间距离都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明

于运算之中.本讲就近年来高考中有关距离问题的三大热点例谈如下，供复习时参考.

热点1.求点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂

足，求这类问题通常可运用转化法与等体积法.

例1.如图，正三棱柱ABC-A4G的所有棱长都为2，。为中点.

•.•正三棱柱中，平面A8CJ_平面

AO_L平面

连结B0，在正方形BBCC中，。。分别为

BC,Cq的中点，Bt0±BD,ABt±BD.

在正方形中，平面4玩).

<II)△48。中，BD=AD=R=卡，S^BCD=1•

在正三棱柱中，&到平面BCC4的距离为上.

设点C到平面ABD的距离为d.

S“BD

.•.点C到平面ABD的距离为日.

小结：本题（H）中主要考查点到平面的距离的求法，这里采用的是等体积法，这种方

法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.当然，本题

还可以采用转化法和向量法，请同学们自己思考.

热点2.求异面直线的距离

此类问题主要考查异面直线的距离的概念及其求法，一般只要求掌握已给出公垂线段的

异面直线的距离的求法，如果异面直线的公垂线段不易作出，则往往采用转化的方法，将其

转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离，从而得以解决.

例2.已知三棱锥S-ABC,底面是边长为4后的正三角形，棱SC的长为2,且垂

直于底面.E、。分别为BC、A8的中点，求CD与SE间的距离.

分析：由于异面直线切与跖的公垂线不易寻找，所以设法

将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步

转化成求点到平面的距离.

解：如图所示，取劭的中点E连结牙；SF,CF,

.•.£77为438的中位线，，石厂〃8,，8〃面5七/7,0

.•.8到平面SEE的距离即为两异面直线间的距离.

又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为力，由题意知，BC=46,D、E、尸分别是

AB、BC、劭的中点，

/.CD=276,EF=-CD=y[6,DF=j2,SC=2

2

・i/11门"11行c2百

••CFF—-----EF•DF-SC---------<6-v2-2=------

S332323

在RtASCE中，SE=4SC2+CE-=273

在RtASCF中，SF=yISC2+CF2=V4+24+2=V30

又；EF=y[6,S2EF=3

由于匕^£-=匕.四=:小雌]〃，即:3-〃=孚，解得6=孚

故切与V间的距离为2叵.

3

小结：通过本例可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程，即化归的过程.

热点3.求直线到平面的距离

此类问题，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

例3.如图，在棱长为2的正方体AG中，G是AA的中点，求被到平面G5Q的距

离.

分析：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离

的方法求解.

解：,/BD//平面GB[D],

8。上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求

点。平面的距离，

B]£)i_LAG，_LA」，二与。]，平面AACC1,

又：BDu平面GB、Dx

二平面AACG，6夕。「两个平面的交线是01G,

作OH±QG于H,则有O”，平面GB|Q,即0H是0点到平面的距离.

在AOiOG中，SAQQG=；・0|O-AO=g2&=VL

又SAO℃=LOHO\G=L-6OH=M,:.OH=侦.

ZA<Z|2]23

2/ft

即加到平面G。。的距离等于詈.

小结：当宜线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面之间的距

离.所以求线面之间的距离关键是选准恰当的点，转化为点面之间的距离，这种求法称之为

直接法，即直接作出距离的方法.也可以先转化为点面距离，再运用等体积法求出距离，这

种求法称之为间接法，即间接求出距离的方法.

总之，求空间距离时，一般是由面面之间的距离转化为线面之间的距离；线面之间的距

离转化为点面之间的距离：点面之间的距离转化为点线之间的距离；再由点线之间的距离

转化为平面上的两点之间的距离来计算.

第五讲两条直线位置关系问题考点透视

两条直线的位置关系问题是解析几何中的重要内容,是学习直线和圆以及直线和圆锥曲

线位置关系的基础，是高考所必考的重要知识点之一，高考中通常以选择题或填空题的形式

出现，难度中等偏下.本讲就两条直线位置关系问题考点透视如下，希望对同学们的学习有

所裨益.

考点1.由两直线平行或垂直求参数问题

例1.(1)若直线《2x+my+l=0与直线七y=3x—1平行，则根=.

(2)已知两条直线y=x-2和y=(a+2)x+l互相垂直，则。=.

一.一22

解析：(1),直线/,：y=3x—1的斜率0=3,且/]〃/,,，＜=鼠，-=3,m=—-.

m3

(2)•.•直线y=x-2的斜率匕=1,直线y=(a+2)x+l的斜率a=。+2,则由

女*2=—1得1«。+2)=—1,a=-3.

点评：本题主要考查由两条直线平行或垂直，求参数问题，解题时务必掌握：两条直线

有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它

们平行,即=且仇X%；如果两条直线的斜率分别是匕和&2,则这两条直

线垂直的充要条件是占的=-1.当然，也可能出现已知两条直线重合，求参数的问题.

考点2.两条直线的夹角问题

例2.已知等腰直角三角形ABC中，C=90°,直角动BC在直线2x+3y-6=o上，顶点

A的坐标是(5,4),求边AB所在的直线方程.

解析：•••/ABC=45°,由两条直线的夹角公式，得一1匚-J=l,:3=i

1+.Z的“

.•.扇=-5或。=],；.八8边所在的直线方程为:丫-4=](X—5)或y—4=-5(X

一5),即x—5y+15=0或5x+y—29=0.

点评：本题利用等腰直角三角形的性质，得出NABC=45°,再利用夹角公式，求得直

线AB的斜率,进而求得了直线AB的方程.当然也可能出现一条直线到另一条直线的角(简称

为“到角”)的问题.

考点3.两条直线的交点问题

例3.直线y=kx+3k-2与直线与：x+4y—4=0的交点在第一象限，则实数k

的范围为.

n-nk

y=kx+?)k-24Z+1

解析：由，

x+4y—4=0lk-2

4A+1

12-12&

,2

•.•两直线的交点在第一象限：.<4k+1«—VkV1.

7

即当*2<k〈l时，两直线的交点在第一象限.

7

点评：两直线的交点在第一象限，可以解两直线的方程组成的方程组，求出交点坐标,

让横坐标大于0,纵坐标大于0,而后解不等式组即得k的范围.类似的可以出现两直线的交

点在其它象限或坐标轴上，求参数的范围问题.

考点4.两条直线的对称问题

例4.已知直线L:x+my+5=0和直线b:x+ny+p=0,则L、丑关于y轴对称的充要条件是

5〃।]

A.-=-B.p=-5C.m=-n且p=-5D.—=一-且p=-5

mnmn

解析：直线L关于y轴对称的直线方程为(r)+my+5=0,即x-my-5=0,与L比较，.•.nF-n

且P=-5.反之验证亦成立，故选C.

点评：两条直线关于y轴对称，如果有斜率，也可以抓住这两条直线的斜率互为相反数,

直接选出答案C.当然两条直线的对称问题涉及的内容非常广泛，可能是直线关于直线对称,

也可能是直线关于点对称等，这些问题，学习时务必掌握.

考点5.两条直线的距离问题

例5.求与直线/：5x-12片6=0平行且到/的距离为2的直线的方程.

解析：设所求直线的方程为5X-12尸L0.在直线5xT2户6=0上取一点R(0,-),

2

点R到直线5x-12广炉0的距离为

T2x；+cic_6i|c_6|

=J-----,由题意得------=2.所以。=32或c=-20.

J52+(-12)213

所以所求直线的方程为5xT2刀32=0和5xT2尸20=0.

点评：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直

线的距离.即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离.当然，本题也可以直接运用两

条平行直线4和1的距离公式d=＞一区求解.

2

VA2+52

总之，只有熟练掌握以上考点，力争做到举一反三，触类旁通的目的，才能够为后续内

容的学习奠定坚实的基础，进而为以后夺取高考的胜利铺平了道路.

第六讲圆的方程问题在高考中的热点解析

圆的方程是解析几何中的重要内容，是高考所必考的重要知识点之一，高考中，基础题

一般以选择题或填空题的形式出现，中档题一般以解答题的形式出现，并常与直线方程或不

等式所表示的平面区域结合在一起考查，但随着命题的改革，也出现了一些以能力立意的交

汇型或创新型问题，本讲就近年来高考中所出现的与圆的方程有关的热点问题解析如下，供

复习时参考.

热点1.求圆的方程

根据条件,直接求圆的方程是一种最基本的题型，圆的方程有一般式和标准式两种形式,

这两种形式分别由不同的条件确定，但最主要的是要确定圆心与半径，圆心与半径一旦确定,

方程就确定了.

例1.在直角坐标系中，以0为圆心的圆与直线：x-0y=4相切，求圆0的方程.

解析：(1)依题设，圆。的半径r等于原点。到直线x-Jiy=4的距离，即

4CC

r=-j==2,所以得圆。的方程为V+y2=4.

热点2.求圆的切线方程

根据条件，求圆的切线方程首先要确定切线有没有斜率，如果没有斜率，则直接得出答

案；如果有斜率，则抓住圆心到直线的距离等于半径，运用待定系数法确定切线方程中的待

求参数，从而进一步确定圆的切线方程.

例2.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+3=0相切的直线的方程为()

2

(A)y=-3x或y=2x(B)y=3x或y=-4x(C)y=-3x或y=」x(B)y=3x或y=4x

3333

解析：由题意，所求切线方程过坐标原点且有斜率，设为y=丘，则由y=6与圆

x2+y2-4x+2y+|=0相切，得圆心(2,-1)到直线方程的距离等于半径半，由点到

直线的距离公式得毕坦=®,解得后=，或攵=—3,切线方程为

V17F23

y=-3x或y=gx,选A.

热点3.求与圆有关的参数

根据条件，求与圆有关的参数问题，范围非常广泛，涉及到点与圆、直线与圆以及圆与

圆的位置关系等，运用的方法主要是待定系数法.

例3.若直线y=kx+2与圆(X-2)2+(y-3)2=l有两个不同的交点，则k的取值范围

是.

解析：由直线y=4x+2与圆（x—2）z+（y—3）2=1有两个不同的交点，可得直线与圆的

位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即巴-3+2]<],解得ke（o,i）

热点4.求与圆有关的轨迹方程

根据条件，求与圆有关的轨迹方程，主要抓住求轨迹方程的一般步骤，同时考虑求轨迹

方程的具体方法（例4是直接法）.

例4.已知。。的方程是f+V-2=0,。。的方程是》2+,2-8%+10=0,由动点

P向。。和。。’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是,

解析：VOO-.Y+y2-2=0的圆心在原点（0,0）,半径为近；0（?：

_?+/-8无+10=0即为（X—4）2+9=6,圆心为（4,0）,半径为...由圆的切

线性质及勾股定理有：设动点P的坐标为（x,y）,则

.+y2—（可=«x_4）\y2_®,化简得x=g,即为所求动点尸的轨迹方

程.

热点5.圆的参数方程问题

圆的参数方程问题涉及到圆的普通方程与圆的参数方程之间的互相转化以及由圆的参

数方程迅速求出圆的半径和圆心坐标等问题.

例5.在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为卜='+3（参数teR）,圆c

b=3-r

的参数方程为F=（参数。[0,2加），则圆C的圆心坐标为_______,圆心到直

[y=2sin6+2

线1的距离为.

解析：将参数方程化为一般方程，得直线的方程为x+y-6=0,圆的方程为x2+（y-2）J4,

|4|

从而有圆心坐标为（0,2）,圆心到直线的距离d==242.

正

热点6.应用型问题

应用型问题是近年来高考命题所关注的热点问题之一，一般出现在概率和函数方面.而

关于圆的方程所出现的应用型问题以往并不多见，这说明应用型问题可能由传统型向其它方

面转变，这应该引起高度重视.

例6.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，

使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是

半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是

()

A.3B.4C.5D.6

解析：因为龙头的喷洒面积为36”“113,正方形面积为256,

故至少三个龙头.由于2R<16,故三个龙头肯定不能，

保证整个草坪能喷洒到水.当用四个龙头时，可将正方形均分四个

小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于

2R=12>8a,故可以保证整个草坪能喷洒到水，选B.

热点7.交汇型问题

在知识的交汇处命题是近年来高考命题的趋势所在,其中圆的方程可以很好地与平面区

域问题、向量问题等的交汇考查.

2x-y+2>0

例7.如果点P在平面区域—+上，点Q在曲线―+（y+2）2=1上，那

x+y-2<0

么|PQ|的最小值为（）

(A)V5-1(C)2V2-1(D)-\1^2—1

2x-y+2>0

解析：点尸在平面区域+140上，画出可行域

x+y-2<0

如图,

点。在圆/+（y+2）2=1上，那么的最小值为圆心（0,一2）到直线x—2y+l=0的距

离减去半径1,即为追一1,选A.

例8.在直角坐标系中，以0为圆心的圆与直线：x-Jiy=4相切，（1）求圆0的

方程

（2）圆。与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使1PA|、：P0|、|PB|成等比数列,

求丽•丽的取值范围.

解析：(1)依题设，圆。的半径「等于原点。到直线X-百y=4的距离，即

得圆。的方程为V+y2=4.

(2)不妨设4出0),B(X2,0),百〈巧.由一=4即得A(—2,0),8(2,0).

设P(x,y),由|刚,「0|,|尸耳成等比数列，得

22

J(x+2尸+)•J(x-2f+y?=x+y,

22222

即x-y=2.PA»PB=(-2-x,-y)»(2-x,-y)^x-4+y=2(y-l).

丁？+,2<4

由于点P在圆O内，故’由此得0«y2<].所以pW.p月的取值范围为

x1-y=2.

[-2,0).

当然，与圆的方程有关的问题还有许多，特别是交汇型问题和创新型问题，但是只要我

们熟练掌握了最基本的问题，那么，不论问题怎么变化，只要经过适当的转化，转化为我们

所熟悉的基本的问题，最后都可以得到顺利的解决.

第七讲直线和圆的方程问题热点透视

直线和圆的方程问题是解析几何中的重要问题，是高考所必考的重要知识点之一，一般

以选择题和填空题的形式出现，偶尔也会出现在解答题中，难度中等，考查的热点主要集中

在直线与圆的位置关系问题、圆的方程的求法以及直线与圆的交汇型问题等方面，下面以近

年来的高考试题为例，将其热点透视如下，供学习时参考.

热点一.考查直线与圆的位置关系问题

例1.若直线2+工=1与圆/+,2=1有公共点，则

ab

A.a2+b2<1B.a2+b2>1C.±+-^41D.二+321

a2b2a2b-

解析：设圆心(0,0)到直线±+上=1,即bx+ay-ab=o的距离为d,则€1=产1

ab7a2+b2LY

——+——21,选D.

a2b2

点评：本题主要考查运用几何法来判断直线与圆的位置关系.

考点说明：直线与圆的位置关系是高考的重要考点之一，除了几何法，有时也要用到代

数法，即直线方程与圆的方程联立方程组，由方程组的解的情况来确定直线与圆的位置关系.

配套练习1：若直线3x+4y+m=0=0与圆f+V—2x+4y+4=0没有公共点，则

实数，”的取值范围是—.

热点二.考查圆的方程的求法问题

例2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=O和无轴相切，则该圆

的标准方程是()

A.(x-3)2+[y—3=1B.(x-2)2+(y-1)2=1

C.(I)?+(y—3/=1D.(x—|)+(y—l)2=l

解析：由题意，设圆心为(a,l),则由已知得1=匚14g/7-3」1=1,二。=2(舍—]1)，选B.

点评：本小题是在圆与直线相切的位置关系上，考查圆的方程的求法.

考点说明：根据条件，求圆的方程是一种最基本的题型，圆的方程有一般式和标准式两

种形式，这两种形式分别由不同的条件确定，但最主要的是要确定圆心与半径，圆心与半径

一旦确定，方程就确定了.

配套练习2：已知圆C的圆心与点尸(一2,1)关于直线y=x+l对称.直线3x+4y-11=0

与圆C相交于A,8两点，且IA目=6,则圆C的方程为

热点三.考查直线与圆的交汇型问题

2x-y+2>0

例3.如果点P在平面区域<x—2y+lM0上，点。在曲线Y+(y+2)2=1上，那

x+y-2<0

么|PQ|的最小值为()

A.Vs—1B-卡7C.2V2—1D.V2—1

2x-y+2>0

解析：点75在平面区域,》-2丫+140上，画出可行域

x+y-2<0

如图，点。在圆/+(y+2『=1上，那么忙。的最小值为

圆心(0,-2)到直线x-2y+l=o的距离减去半径1,即为石一1,选A.

点评：本题主要考察在线性约束条件下，求两动点间距离的最小值问题，关键是抓住

圆心到平面区域内点的距离的最小值问题，而这一问题又可转化为圆心到直线的距离问题.

考点说明：在知识的交汇处命题是近年来高考命题的趋势所在，直线和圆方面的交汇

问题，一般与线性规划问题、向量问题等交汇考查.

配套练习3：在直角坐标系中，以0为圆心的圆与直线：x-6y=4相切，(1)求

圆0的方程

(2)圆。与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、PO|、|PB|成等比数列，

求方•丽的取值范围.

当然，与直线和圆的方程有关的问题还有许多，如：求与圆有关的参数问题，求圆的切

线方程问题等都是近年来高考所考查的重点，复习时也应该引起足够的重视.

第八讲集合与简易逻辑问题中的考点解析

集合与简易逻辑是高中数学的基础，是进一步学习数学的工具，在高考中，集合与简易

逻辑问题常以选择题、填空题的题型出现，有时也出现在解答题中，主要考查基本概念、基

本运算以及数形结合等数学思想，但不论以何形式出现，难度属于中等偏下.本讲就集合与

简易逻辑问题的考点解析如下，供复习时参考.

考点1.考查集合与集合间关系

例1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合齐{参

加北京奥运会比赛的运动员},集合於{参加北京奥运会比赛的男运动员}.集合小{参加北

京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是()

A.A(^BB.B^CC.A^B=CZZ2?UOA

解析：由子集、交集和并集的概念，不难得出答案D.

点评：解决集合与集合的关系问题时，要准确把握子集、真子集、交集和并集以及集合

相等的概念及性质.

考点2.考查集合的基本运算

这类问题主要是为了考查集合的基本概念和运算，常用的解题方法有定义法、列举法、

韦恩图法等.

例2.若A为全体正实数的集合，3={-2,-1,1,2},则下列结论正确的是()

A.AQ^={-2,-1}B.(^A)UB=(-℃,O)

C.AUB=(0,+oo)D.(匹4)”={-2,-1}

解析：«A是全体非正数的集合即负数和0,所以(。4)08={-2,—1},故选D.

点评：本题主要考查集合问题中的交集、并集和补集的运算，属于基础题.

考点3.考查集合与其它知识的交汇

这类问题通常以集合的运算为载体，与高中数学中的任何知识点交汇起来考查，但最常

见的是与不等式的解法交汇在一起考查.

例3.已知全集U=R,且A={x||x—1|>2},B={x|x?—6x+8<0},贝ijA)ClB等于

()

A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3)D.(-1,4)

解析：全集〃=/?,且4=3|卜-1|>2}=3》<一1或犬>3},8=卜|«-6升8<0}

={x|2<x<4},A(Cy/1)AB=(2,3],选C.

点评：本题以集合的交、补集运算为载体，将不等式的解法融于其中，这是集合问题的

常见考法，其中的不等式以一元二次不等式和分式不等式居多.

考点4.考查以集合为载体考查参数的范围

这类问题通常以集合的运算为载体，与参数的范围的考查融于其中，可以出现小范围内

的综合问题，难度中等.

例4.设aeR,二次函数/(x)=or2—2x—2a,若/(x)>0的解集为A,

B={x\\<x<3},Ap\B^(/),求实数。的取值范围.

解析：由f(x)为二次函数知令f(x)=O的解为—]2+，,々=：+,2+，

由此可知当<0,工2>0

(i)当a>0时,A={X|X<XI}U{X|A:>X2}

ACBH。的充要条件是％<3,即_L+/2+-V<3,解得

a\a7

(ii)当。<0时，A={x\xx<x<x2]

ACBR。的充要条件是超>1,即：+小2+*>1解得。<—2

综上，使AcB=。成立的a的取值范围为(-8,-2)口(9,+00).

7

点评：本题将不等式中的参数问题与集合运算结合考查，同时考查了分类讨论和数形结

合(利用数轴)的数学思想，不失为一道小范围内的综合题.

考点5.考查集合方面的创新问题

这类问题通常以集合为载体，给集合定义一种新的运算，解题时必须首先读懂题意.

例5.定义集合运算：A*8={z|z=wxeA,ye8}^A={l,2},B={0,2},则集

合A*8的所有元素之和为()

A.0B.2C.3D.6

解析：因为A*8={0,2,4},所以集合A*3的所有元素之和为6,故选D.

点评：集合方面的创新题是近年来高考命题的新趋势，主要考查对新问题，新概念以及

新情景的理解和运用.

考点6.考查集合语言与集合思想的应用

例6.记函数f（x）=的定义域为Ag(x)=lg[(x—a—1)(2a—x)](a<l)的定

义域为B.（l）求A；（2）若BqA,求实数a的取值范围.

解析：（1）2一色NO,得土二x<-l或x》l

1x+1

BPA=（—°°,—1）U[1,+°°]

(2)由(x—a—1)(2a—x)>0,得(x—a—1)(x—2a)<0.Va<l,/.a+l>2a,

.,.B=(2a,a+1).VBcA,；.2a2l或a+lW—1,即a》：或aW—2,而a〈l,

.••,WaVl或aW—2,故当BuA时，实数a的取值范围是（一8,-2）U[1，1]

2-2

点评：本小题主要考查集合的有关概念，分式不等式及一元二次不等式的解法等基础知

识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力.

考点7.考查逻辑联结词与复合命题真假的判断

例7.命题p：若a、bSR,则a|+|b|>l是1Kbi〉1的充要条件；

命题q：函数y=X-11-2的定义域是（-