高中数学人教A版必修二 章末综合测评及答案

高中数学人教A版必修二

章末综合测评（一）空间几何体

（时间120分钟，满分150分）

一'选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（2016•兰州高一检测）下列说法中正确的是（）

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

【解析】A不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球

的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但

侧棱与底面的棱不一定相等；B正确.

【答案】B

2.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序

号是（）

【导学号:09960037]

①②③④

图1

A.①②B.②③

C.③④D.①④

【解析】正方体的三视图都相同，都是正方形，球的三视图都

相同，都为圆面.

【答案】D

3.（2016•成都高二检测）如图2,A'B'CD'为各边与坐标轴平

行的正方形A3CQ的直观图，若A'B'=3,则原正方形ABCQ的面

积是（）

【解析】由题意知，ABCQ是边长为3的正方形，其面积S=9.

【答案】A

4.（2016•泰安高二检测）圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周

长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84兀，则圆台较小底面圆的半

径为（）

A.7B.6

C.5D.3

【解析】设圆台较小底面圆的半径为r,由题意，另一底面圆的

半径R=3r.

所以S倒=兀（/-+尺）/=4口*3=84兀，解得r=7.

【答案】A

5.如图3所示的正方体中，M.N分别是441、CG的中点，作四

边形D\MBN,则四边形OiMEV在正方体各个面上的正投影图形中,

不可能出现的是（）

【解析】四边形OiMBN在上下底面的正投影为A;在前后面上

的正投影为B;在左右面上的正投影为C;故选D.

【答案】D

6.已知底面边长为1,侧棱长为啦的正四棱柱（底面是正方形的直

棱柱）的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）

【导学号：09960038）

32兀

A.B.47r

3

4兀

C.2兀D.T

【解析】正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中

点，所以球的半径r=个（乎）+惇］2=1,

47r47r

球的体积.故选D.

【答案】D

7.如图4所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底

面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面

去截这个几何体，则截面图形可能是（）

图4

A.①②

C.①④D.①⑤

【解析】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为①，当不

过上、下底面的中心时，截面图形为⑤，故D正确.

【答案】D

8.（2016.郑州高一检测）一个多面体的三视图如图5所示，则该多

面体的表面积为（)

图5

A.21+小B.18+小

C.21D.18

【解析】由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示.

因此该几何体的表面积为6义（4一号+2义坐义（也产21+小.

【答案】A

9.若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径

相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为（）

【导学号：09960039]

A.戏:2B.小：2

C.小：2D.3：2

【解析】设圆锥底面半径为r,高为/z,

则V球=,兀修＞=上兀尸,V椎=；兀片儿

11r

由于体积相等，.•.1兀/3=铲户力，'.h=2,

.,.Sa=4T^^1=Ttr2,S锋=专7i户,S银：5球=小：2.

【答案】B

10.已知三棱锥S-A8C,D、E分别是底面的边AB、AC的中点，

则四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的体积之比为（）

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：4

【解析】由于。、E分别为边AB、AC的中点,

..,SAADE1

所以六=不

S样呢BCED3

所以，

S&ABC不

又因为四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的高相同.

所以它们的体积之比也即底面积之比，为3：4.

【答案】C

11.（2016•深圳高一检测）如图6是某几何体的三视图，则该几何

体的体积是（）

图6

A.26B.27

-57

C.~YD.28

【解析】由三视图知，该几何体由棱长为3的正方体和底面积

9.IQ57

为5，高为1的三棱锥组成，所以其体积丫=33+]*5*1.

【答案】C

12.已知三棱锥S-A6C的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是

边长为1的正三角形，SC为球。的直径，且SC=2,则此棱锥的体积

为（）

A.平

申6B6

C坐D米

【解析】由于三棱锥S-A8C与三棱锥0-A8C底面都是△ABC,

。是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，

所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.

在三棱锥O-A3c中，其棱长都是1,如图所示,

【答案】A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在

题中的横线上)

13.一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆

心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为cm.

【解析】如图，过点A作ACLOB,交08于点C.

在RtzXABC中，AC=12cm,3c=8—3=5cm.

.".AB=^/122+52=13(cm).

【答案】13

14.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为$,52,体积分别为％,

L.若它们的侧面积相等，且3=*则乎的值是________.

024V2

【导学号：09960040】

【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为八，-2和。1,hi,

,5i9^7tn9.n3

由瓦，，得病=不则行二

由圆柱的侧面积相等，得2口的1=2几厂2力2,

即八也=「2版所以访=就=方一亍

3

-

2

15.（2016・太原高一检测）若各顶点都在一个球面上的长方体的身

为4,底面边长都为2,则这个球的表面积是.

［解析］长方体的体对角线长为，22+22+42=2#,

球的直径是2R=2册，

所以R=,，

所以这个球的表面积5=4兀（#）2=24兀

【答案】24兀

16.（2016•马鞍山高一检测）在棱长为a的正方体ABCD-A\BxCxDx

中，所是棱A3上的一条线段，且E/=b（*a）.若。是CO上的动点,

则三棱锥QQEF的体积为.

DiCi

AEFB

图7

［解析】VQ-DiEF=VDX-QEF=^S^QEFDDX

=gx；bXaXa=

【答案】

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图8所示，四边形A8CD是一个梯形，

CD//AB,CD=BO=\,△40。为等腰直角三角形，。为A3的中点,

试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.

【导学号：09960041]

y

A0Bx

图8

【解】在梯形ABCD中，AB=2,高0。=1,由于梯形ABCD

水平放置的直观图仍为梯形，且上底CQ和下底A3的长度都不变，如

图所示，在直观图中，

、历

O'D'=]1QD,梯形的高力E'=乎，于是梯形A'B'CD'

的面积为：X（l+2）义申=¥.

Z4o

18.（本小题满分12分）一个半径为1的球体经过切割后，剩余部

分几何体的三视图如图9所示，求剩余几何体的体积和表面积.

正视图侧视图

俯视图

图9

【解】如图，该几何体是把球的上半部分平均分为4份后，切

.442

去相对的两部分后剩余的几何体，体积丫=铲一针Xg=7T,

2।97r

表面积S=4TT—4TTX-o4-7471X3X2=VZ.

19.（本小题满分12分X2016•河源市高一检测）已知一个圆柱的侧

面展开图是边长为6兀和8兀的矩形，求该圆柱的表面积.

【解】如图所示，以A3边为底面周长的圆柱时，底面圆半径八

6兀

=五=3,高h\=8n,所以S表=2兀1+2"1历=2加32+2兀・3-8兀=18兀+

487r2.

4,——~~）。

61r

1

IT---------c

87r

以。边为底面周长的圆柱时，底面圆半径丁=高几,

Ar2=Z7T4,/?2=6

所以S表=2兀6+2兀r2力2

=2n:-424-27r-4-67r

=32兀+487r2.

综上，所求圆柱的表面积是48兀2+32兀或48兀2+18兀

20.（本小题满分12分）（2016・临沂高一检测）如图10所示，正方体

ABCD-A'B'CD'的棱长为a,连接A'C,ND,A'B,BD,

BC',CD,得到一个三棱锥.求：

图10

⑴三棱锥A'BC'。的表面积与正方体表面积的比值；

⑵三棱锥A'-8C'。的体积.

【解】（1）：ABCQ-A'B'CD'是正方体，.•.六个面都是正方

形，

二.A'C=A'B=A'D=BC=BD=CD=y/2a,

s三枝雄=4X^-X（啦4=2小a,S正方体=6次，

.S三棱椎、/5

S正方休3,

（2）显然，三棱锥A'-ABD.C-BCD、D-A'D'C,B-A'B'C'

是完全一样的，

V三棱维A'-8（?D=V正方体—4V三棱椎A，-ABD

=/—4X；X,层Xa=gq3.

21.（本小题满分12分）（2016・中山高二检测）如图11所示，在边长

为4的正三角形A3C中,E,尸依次是ABAC的中点,

FGLBC,D,H,G为垂足，若将△A8C绕4。旋转一周，求阴影部

分形成的几何体的体积.

【导学号：09960042]

.4

BHDGC

图11

【解】所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，

由已知可得圆柱的底面半径为1,高为小,圆锥底面半径为2,高

为25

所以Vffl^=1-7r-22-2-\/3=^^7r,

V圉柱=氏12.小=小瓦,

所以所求几何体的体积为

8s

V=V圆锥-V圆柱=3兀-、/r3兀

5s

一3兀

22.（本小题满分12分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融

化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m,高4m.养

路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：

一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4

m（底面直径不变）.

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？

【解】（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m,

则仓库的体积：

V]=1•义兀X（与）X4=.

如果按方案二，仓库的高变成8m,

则仓库的体积：

1fl2Y288,

V2=gX兀X[司-X8=^-7T（m3）.

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m,半径为8m.圆锥

的母线长为Z=^/82+42=4A/5,则仓库的表面积51=71X8X44=32小

7T（m2）.

如果按方案二，仓库的高变成8m.圆锥的母线长为/=对转=

10,则仓库的表面积S2=7rX6><10=607T(m2).

(3)S2<Si,

方案二比方案一更经济.

章末综合测评（二）点、直线、平面之间的

位置关系

（时间120分钟，满分150分）

一'选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若a,。是异面直线，直线c〃a,则c与8的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.异面或相交

【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与人异

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列说法不正确的是（）

A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线

都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

【解析】A、B、C显然正确.易知过一条直线有无数个平面与

已知平面垂直.选D.

【答案】D

3.（2015•太原高二检测油，12,/3是空间三条不同的直线，则下列

命题正确的是（）

A.ZI_L/2,l21h=l\〃h

B.I山2,

C./]〃/2〃/3=/l，b,b共面

D.h,I2,，3共点=/1，I2,b共面

【解析】对于A,通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点

出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B,因为所以/1,/2所

成的角是90°,又因为/2〃瓦所以/1,/3所成的角是90。，所以

故B对；对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；

对于D,例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错.故选B.

【答案】B

4.设a、为两条直线，a、£为两个平面，则正确的命题是（）

【导学号：09960089]

A.若a、。与a所成的角相等，则

B.若a//a,b〃1a〃£,则

C.若aUa,bup,a//h,则a〃£

D.若b工B，a_L£,贝!Ja_l_b

【解析】A中，a、匕可以平行、相交或异面；B中，a、》可以

平行或异面；C中，a、£可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016•山西山大附中高二检测）如图1,在正方体4BCD-431GQ1

中，E、F、G、H分别为44|、A3、BBi、BC的中点，则异面直线

与G”所成的角等于（）

图1

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【解析】如图，连接48、8G、4G,则AI3=8G=AIG,

JLEF//MB.GH//BC\,

所以异面直线EF与G"所成的角等于60°.

【答案】B

6.设I为直线,a］是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,/〃£,则a〃4

B.若I邛,贝lja〃£

C.若1〃B，则a〃£

D.若l//a,则以夕

【解析】选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交，

故选项A错误；选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项

B正确；选项C,由条件应得a_L夕，故选项C错误；选项D,/与£

的位置不确定，故选项D错误.故选B.

【答案】B

7.（2015•洛阳高一检测）如图2,△ADB和△AQC都是以。为直角

顶点的等腰直角三角形，且NR4C=60。，下列说法中错误的是（）

A.AD±¥®BDC

B.J_平面ADC

C.QC，平面48。

D.平面ABD

【解析】由题可知，ADLBD,ADLDC,所以ADJ_平面8DC,

又△A3。与△4OC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB

=AC,BD=DC=^AB.

又N8AC=60°,所以△ABC为等边三角形，故BC=AB=@BD,

所以N3QC=90°,即8Z）J_QC.

所以3£）J_平面AQC,同理DCJ_平面A3D

所以A、B、C项均正确.选D.

【答案】D

8.正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12,

底面对角线的长为2加，则侧面与底面所成的二面角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2小，高为3,在底面

正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，

根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan8=小

（设。为所求平面角），所以二面角为60。，选C.

【答案】C

9.将正方形A3CQ沿BD折成直二面角，加为CQ的中点,则ZAMD

的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如图，设正方形边长为a,作AOA,BD,则AM=

\/AO2+OM2=yl(孚J+(5>=2a,

又AD=a,DM=j,：.AD2=D1^+AM2,：.ZAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形A8CD中，若AB=3,BC=4,B4_L平面AC,且用

=1,则点尸到对角线8。的距离为（）

A夸

WD呼

【解析】如图，过点A作AE_L8D于点已连接PE

•.•附，平面ABC。，BDU平面ABCQ,

：.PA±BD,.•.8D，平面出E,

：.BD工PE.

.…A3A。12»,

,AE=~BD~=~5,抬=1，

：.PE=

【答案】B

11.（2016•大连高一检测）已知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱与底面垂

直，体积为本9底面是边长为小r~的正三角形.若P为底面4SG的中

心，则%与平面A3C所成角的大小为（）

【导学号：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D.30°

【解析】如图所示，尸为正三角形AiBC的中心，设O为△ABC

的中心，由题意知：PO_L平面ABC,连接OA,则NB4O即为"与平

面ABC所成的角.

在正三角形ABC中，AB=BC=AC=0,

则S=乎义响2=^,

VABC-A\B\Ci=SXPO=^,.•.尸0=小.

叉AO=*■义小=1,

P0

.'.tanZPAO=^=y[3,：.ZPAO=60°.

A。

【答案】B

12.正方体ABCO-AiBGU中，过点A作平面A8D的垂线，垂

足为点”.以下结论中，错误的是（）

A.点”是△AiBD的垂心

B.AHJ_平面CBDi

C.A”的延长线经过点G

D.直线A”和881所成的角为45。

ClBx

D

【解析】因为A〃_L平面AiBD,

BDU平面A\BD,

所以又8O_LA4i,且4“nA4i=A

所以80,平面441”.又47/U平面AAiH.

所以A]"_L3£）,

同理可证

所以点”是△48。的垂心，A正确.

因为平面4山。〃平面CBxDx,

所以AHJ_平面CBDi,B正确.

易证AG_L平面A山。.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂

直，所以AG和A”重合.故C正确.

因为44i〃8Bi,所以N4A”为直线AH和3囱所成的角.

因为NAAi”W45°,所以N4A"W45°,故D错误.

【答案】D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在

题中的横线上）

13.设平面a〃平面4、Cea,B、D",直线AB与CD交于

点S,且点S位于平面a,夕之间，AS=8,BS=6,CS=12,则50=

Aqrs

【解析】由面面平行的性质得AC〃3。，隹=黑，解得SQ=9.

DOOU

【答案】9

14.如图3,四棱锥S-ABCD中，底面A8CD为平行四边形，E是

SA上一点，当点E满足条件：________时，SC〃平面

BAC

图3

【解析】当E是SA的中点时，

连接EB,ED,AC.

BC

设AC与80的交点为0,连接E0.

四边形ABCD是平行四边形，

...点。是AC的中点.

又E是S4的中点，

，0E是△SAC的中位线.

OE//SC.

•.•sea平面石3。，0EU平面E3C,

...SC〃平面EBD.

【答案】E是SA的中点

15.如图4所示，在正方体ABCQ-A1SGO1中，M,N分别是棱

A4i和43上的点，若是直角，则NGMN等于.

图4

【解析】:囱。」平面A1A8B,

MNU平面AiABBi,

：,B\C\LMN,又NBiMN为直角，

ABiMlW,而3iMG3]G=3i.

.•.MN_L平面MBG,又A/GU平面MBG,

：.MN±MCi,：,ZCiMN=90°.

【答案】90°

16.已知四棱锥P-A3CQ的底面A3CQ是矩形，朋，底面43CQ,

点、E、尸分别是棱PC、PO的中点，则

①棱AB与PD所在直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCQ的面积大于△雨3的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线.

以上结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【解析】由条件可得平面PAD,

J.ABVPD,故①正确；

若平面P3CL平面ABCD,由PB±BC,

得尸8,平面ABC。，从而出〃P3,这是不可能的，故②错；&PC。

=^CDPD,S^PAB=^ABPA,

由A3=CO,PD＞必知③正确;

由从尸分别是棱PC、尸力的中点，

可得E尸〃C。，又AB〃CD,

：.EF//AB,故AE与8尸共面，④错.

【答案】①③

三'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图5所示，已知3c中，ZACB=90°,

SA，平面ABC,ADLSC,求证：AD，平面SBC.

【证明】VZACB=90°,

BC±AC.

又•.'SAI•平面ABC,

：.SA±BC,'：SAnAC=A,

.•.BC,平面SAC,：.BC±AD.

又门。，4。，SC^BC=C,

.•.AD_L平面SBC.

18.（本小题满分12分）如图6,三棱柱ABC481G的侧棱与底面

垂直，AC=9,BC=12,AB=15,A4i=12,点。是AS的中点.

图6

⑴求证：AC±BiC；

（2）求证：AG〃平面CQBi.

【证明】（1）：GCJ_平面A3C,ACiC±AC.

VAC=9,BC=n,AB=15,

：.AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

又3CnGC=C,平面BCGBi,

而BiCU平面BCC\B\,

：.AC±B\C,

(2)连接3G交囱C于。点，连接OD如图，VO,。分别为BG,

A3的中点，，。。〃入。］.又。力u平面CDB,ACg平面CDBi.，AG〃

平面CDBi.

19.(本小题满分12分X2016德州高一检测)某几何体的三视图如

图7所示，P是正方形A8CO对角线的交点，G是PB的中点.

(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；

(2)在直观图中，①证明：尸。〃面AGC；

②证明：面03。_1面46。.

图7

【解】(1)该几何体的直观图如图所示:

p

c

（2）证明：①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的

中点，O为3。的中点，所以OG〃fD

②连接PO,由三视图知，POL平面A8C。，所以AOLPO.

又A0_L30,所以AOJ_平面PBD

因为40U平面AGC,

所以平面P3Q，平面AGC.

20.（本小题满分12分）（2016•济宁高一检测）如图8,正方形A8CQ

和四边形4CEE所在的平面互相垂直，EF//AC,AB=&CE=EF=

（1）求证：A/〃平面3QE；

⑵求证：平面3QE

【导学号：099600911

【证明】（1）如图，设AC与8D交于点G.

E,

D』--------------

因为跖〃AG,且E尸=1,

AG=^AC=\,

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以〃EG.

因为EGU平面BDE,AFQ平面BDE,

所以Ab〃平面BDE.

（2）连接FG,

,CEF//CG,EF=CG=1,

四边形CEFG为平行四边形，

又♦：CE=EF=1,「.口CEFG为菱形，

:.EG1CF.

在正方形ABCD中，ACJ.BD.

•.•正方形ABCD和四边形ACE/所在的平面互相垂直，

J_平面CEFG.工BD±CF.

次，：EGCBD=G,：.CF1,平面BDE.

21.（本小题满分12分）（2015・山东高考）如图9,三棱台QE/J48c

中，AB=2DE,G,”分别为AC,的中点.

图9

(1)求证：〃平面FGH；

(2)若CF_L3C,AB±BC,求证：平面BCO_L平面EG”.

【解】(1)证法一：连接QG,CD,设CDnGF=M,连接

在三棱台。石广ABC中，AB=2DE,G为AC的中点，可得。尸〃GC,

DF=GC,所以四边形。FCG为平行四边形，则M为CQ的中点.又

”为8C的中点，所以M//〃3D又平面/G”，BD。平面FGH,

所以30〃平面FG".

证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF,”为BC的中点，

可得BH〃EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形，可得8E〃”?

在△A3C中，G为AC的中点，”为3C的中点，所以G”〃A3.又G”n“尸

=H,所以平面FGH〃平面A3ED因为BQU平面ABED,所以BD//

平面FGH.

(2)连接HE.

因为G,"分别为AC,8C的中点，

所以GH//AB.

由A8_LBC,得GHLBC.

又“为BC的中点，

所以EF〃HC,EF=HC,

因此四边形EFCH是平行四边形.

所以CF/IHE.

又CFLBC,所以HELBC.

灭HE,GHU平面EGH,

HECGH=H,

所以3cL平面EGH.

又8CU平面BCD,所以平面3CDJ_平面EGH.

22.(本小题满分12分)(2016・重庆高一检测)如图10所示，ABCD

是正方形，。是正方形的中心，POJ_底面A3CD,底面边长为mE是

PC的中点.

(1)求证：阴〃平面平面B4C_L平面8DE；

(2)若二面角石-3Q-C为30。，求四棱锥尸-45CD的体积.

【解】⑴证明：

连接OE,如图所示.

:。、E分别为AC、PC的中点，

OE//PA.

：OEU平面8DE,以@平面BDE,

...BA〃平面BDE.

•.•尸OJ_平面A3CD,J.POVBD.

在正方形ABCD中,BDA.AC,

又•.•POGAC=O,.•.8。_1平面抬。.

又：BDU平面BDE,：.平面PAC.L平面BDE.

(2)取0C中点/，连接EE

YE为PC中点，

EF为△POC的中位线，，EF//PO.

又平面ABCD,

.•.EF_L平面ABCD.

VOFA.BD,：.OELBD.

，/EOF为二面角E-BD-C的平面角，

，ZEOF=30°.

在RtAOEF中，

OF=；OC=；AC=^a,

：.EF=OFtan30°=%a,AOP=2EF=^ra.

126

**•Vp-ABCD=WX义

章末综合测评（三）直线与方程

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（2015・吉林高一检测）在直角坐标系中，直线小工一厂3=0的倾斜角是（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【解析】直线的斜率左=仍，倾斜角为60。.

【答案】B

2.（2015•许昌高一检测）若4—2,3）,5（3,一2）,业相）三点共线，则加的

值为（）

A-2B--2

C.-2D.2

—2—31

【解析】由R,J—，得加=/

3-（-2）J.2

2J

【答案】A

3.如图，在同一直角坐标系中，表示直线y=or与y=x+a正确的是（）

【解析】当。＞0时，A,B,C,D均不成立；当。＜0时，只有C成立.

【答案】C

4.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离是（）

【导学号:09960125]

A.瓦B.e

T屋

。26口26

【解析】5x+12y+3=0可化为10x+24y+6=0.

由平行线间的距离公式可得d=-f===y7.

\j]Q2+24226

【答案】C

5.(2015・大连高一检测)直线/i：(3—a)x+(2a-l)y+7=0与直线/2：(2a+l)x

+(a+5)y—6=0互相垂直，则a的值是()

A.—1B.：

C.gD.g

【解析】因为八_1_/2,所以(3—a)(2a+1)+(2。-1)(。+5)=0,解得a=£.

【答案】B

6.直线履一)，+1—3%=0,当女变动时，所有直线都通过定点()

A.(0,0)B.(0,1)

C.(3,1)D.(2,1)

【解析】由自一y+1-3左=0,得％(x—3)—(y—1)=0,

，x=3,y=\,即过定点(3,1).

【答案】C

7.已知A(2,4)与8(3,3)关于直线/对称，则直线/的方程为()

A.尤+y=0B.元—y=0

C.x+y—6=0D.x—y+1=0

4-3

【解析】kAB=：==-l,故直线/的斜率为1,

2—3

4B的中点为(|,习，

75

故/的方程为y—]=x-

即x—y+l=0.

【答案】D

8.已知直线/过点(1,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直

线/的方程为()

A.元+2y—5—0

B.x+2y+5=0

C.2x—y=0或九+2y—5=0

D.2x—y=0或x—2y+3=0

【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线/的方程为y=依，

把点（1,2）代入方程，得2=k,即女=2,所以直线的方程为2x—y=0;当直线在两

坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为我+2=1,把点（1,2）代入方程，得一

25

+g=l,即8=5，所以直线的方程为x+2y-5=0.故选C.

【答案】C

9.直线y=_r+3A-2与直线丫=一提+1的交点在第一象限，则后的取值范围

是（）

A（-”）B（一|,0）

「2「

C.（0,1）D.—11

y=x+3左一2,

【解析】由方程组，1,

产一小+1,

'12（1一女）

所以直线y=x+3左一2与直线y=—；x+l的交点坐标为（口，；",女"、

也曰0,

要使交点在第一象限，则4c

3A+2

、5〉0,

2

解得一铲%<1.

所以女的取值范围是（一|,1）.

【答案】A

10.经过点(2,1)的直线/到A(l,l)、8(3,5)两点的距离相等，则直线/的方程为

()

A.2x-y-3=0

B.x=2

C.2x—y—3=0或x=2

D.以上都不对

【解析】满足条件的直线/有两种情况：①过线段A3的中点；②与直线45

平行.

由4(1,1),8(3,5)可知线段的中点坐标为(2,3),

所以直线x=2满足条件.由题意知心B=；1=2.

3—1

所以直线I的方程为y~l=2(x-2),即2x-y—3=0,

综上可知，直线/的方程为x=2或2x—y—3=0,故选C.

【答案】C

11.等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A(0,4),则点8的坐标

可能是()

A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)

C.(4,6)D.(0,2)

【解析】设8点坐标为(x,y),

kAC-kitc=—1,

根据题意知＜

\BC\=\AC\,

3-4y-3

=

73—0x—T31,

•\/(x-3)2+(y—3)2=^/(O—3)2+(4—3)2,

解之,味尤=2。,,x=4,

或

J=6.

【答案】A

12.直线I过点P(l,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直

线方程是()

A.3x+y—6=0B.x+3y—10=0

C.3x—y=0D.x—3y+8=0

【解析】设直线方程为升5=1（。>0,〃>0）,

Clb=12,r_c

化为一般式为3x+y—6=0.

【答案】A

二'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线

上)

13.若直线/的方程为y—a=(a—l)(x+2),且/在y轴上的截距为6,则。=

Q

【解析】令x=0,得y=(a—l)X2+a=6,

【答案】I

14.已知点(m,3)到直线龙+厂4=0的距离等于啦，则根的值为.

【导学号：09960126)

|帆+3—41/—

【解析】由点到直线的距离得啦=啦.

解得机=—1,或，〃=3.

【答案】一1或3

15.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y—2=0的交点，且垂直于直线3x—

2y+4=0的直线方程为.

3犬4y—20

【解析】由方程组\\'得交点4-2,2),因为所求直线垂直于

2x+y+2=0,

2

直线3x—2y+4=0,故所求直线的斜率左=一于由点斜式得所求直线方程为y-2

2

=-g(x+2),即2x+3y—2=0.

【答案】2x+3y—2=0

16.已知A,3两点分别在两条互相垂直的直线2x—y=0和x+〃y=0上，且

线段的中点为P(0,与，则线段A8的长为.

【解析】直线2x-y=0的斜率为2,

x+ay=0的斜率为一;.

因为两直线垂直，

所以一：=一；,所以a=2.

所以直线方程为x+2y=0,线段AB的中点P(0,5).

设坐标原点为O,则|OP|=5,

在直角三角形中斜边的长度|A8|=