新教材人教A版必修第二册10.3.1频率的稳定性

10.3.1频率的稳定性

教材分析

本节?一般高中课程标准数学教科书必修二〔人教A版）第十章?10.3.1频率的稳定性?,

本节课主要关心同学熟悉频率与概率的关系，即大事的概率越大，意味着大事发生的可能性

越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；大事的概率越小，那么大事发生的可能性越

小，在重复试验中，相应的频率一般也越小。进一步让同学体会概率与统计的思想，开展同

学的直观想象、规律推理、数学建模的核心素养。

敬学目标导检心素兼

课程目标学科素养

A.通过试验让同学理解当试验次数较大1.数学建模：概率的应用

时，试验频率稳定在某一常数四周，并据2.规律推理：频率与概率的关系

此能估量出某一大事发生的频率.3.数学运算：频率与概率的计算

B.通过对实际问题的分析，培育使用数学4.数据抽象：概率的概念

的良好意识，激发学习爱好，体验数学的

应用价值.

敬学亶窿点

1.教学重点：频率与概率的区分和联系

2.教学难点：大量重复试验得到频率的稳定值的分析.

多媒体

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、探究新知

对于样本点等可能的试验，我们可以用古典概型公式计算有关大

事的概率，但在现实中，许多试验的样本点往往不是等可能的或者是

否等可能不简单推断，例如，抛掷一枚质地不匀称的骰子，或者抛掷

一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关大事的概率，我们需由学问回忆，提出

要查找新的求概率的方法.问题，引出频率与概

我们知道，大事的概率越大，意味着大事发生的可能性越大，率的关系问题。开展

在重复试验中，相应的频率一般也越大；大事的概率越小，那么大事同学数学抽象、直观

发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在学校，想象和规律推理的

我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估量核心素养。

概率，那么，在重复试验中,频率的大小是否就打算了概率的大小呢？

频率与概率之间究竟是一种怎样的关系呢？

什么是频率？

在相同的条件下重复n次试验，观看某一大事A是否消失，称n次

试验中大事A消失的次数n为大事A消失的频数，称大事A消失

A

nA

的比例〃

f(A)=为大事A消失的频率.明显，OW

nn

随机大事及其概率

重复做同时抛掷两枚质地匀称的硬币的试验，设大事A="一

个正面朝上，一个反面朝上”，统计A消失的次数并计算频率，再

与其概率进行比拟，我们讨论一下有什么规律？

历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：

数学家做硬币实聆统计表

正向18上次反向也上W：次敢的

试*召

ft0

a404020481SB22020

*

4002204820442046

tst-rrw

1OOOO49TO50215000

2400012012119HH12000

罗曼洛夫JR基00640396B94094140320

122~~261980

利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500

时各做5组试验，得到大事4=“一个正面朝上，一个反面朝上〃发

生的频数和频率力(A)(如下表)

序号〃=20频数频率〃=100频数频率n-500步®^洋细瞧题

1120.6560.56261一0.522

290.45500.50阪俞析，D潮板82

3130.65480.48

'的豳

470.35550.556

5120.6520.52和廉同学娄1学插舞9

规律推理的核心素

思索(1)同一组的试验结果一样吗?为什么会消失这种状况？至

养。

⑵随着试验次数的增加，大事A发生的频率有什么变化规律？

结论：

⑴试验次数n相同，频率f(A)可能不同，这说明随机大事发生的频

率具有随机性

(2)从整体来看，频率在概率四周波动.当试验次数较少时，波动幅度

较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度

并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.

大量试验说明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机大事A

发生的频率具有随机性，一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离

概率的幅度会缩小，即大事A发生的频率/(A)会渐渐稳定于大事A

n

发生的概率P(A).我们称频率的这共性质为频率的稳定性.因此，我们

可以用频率/(A)估量概率P(A).

n

对于给定的随机大事A,假如随着试验次数的增加，大事A发

生的频率f(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A),称为大事

n

A的概率，简称为A的概率。

频率与概率的区分和联系的剖析

(1)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的

重复试验得到的大事发生的频率会不同.

(2)概率是一个确定的数，是客观存在的,与每次的试验无关.

(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率会越来越稳定于

概率四周.在实际问题中，通常大事发生的概率未知，常用频率作为它

的估量值.

例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数，通过抽样调查

得知，我国2014年、2015年诞生的婴儿性别比分别为和113.51.

(1)分别估量我国2014年和2015年男婴的诞生率〔新生儿中男婴的

比率，精确至Uo.ooi)；通过实例分析，让

(2)依据估量结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的〃这个推断牢同学把握运用频率

靠吗？来计算大事概率，提

分析：依据“性别比〃的定义和抽样调查结果，可以计算男婴诞生的升推理论证力量，提

频率；由频率的稳定性，可以估量男婴的诞生率高同学的数学抽象、

解：(1)2014年男婴诞生的频率为数学建模及规律推

2015年男婴诞生的频率为理的核心素养。

由此估量，我国2014年男婴诞生率约为0.537,2015年男婴诞生率约

为0.532.

——«0.537

100+115.88

x0.532

100+113.51

(2)由于调查新生儿人数的样本特别大，依据频率的稳定性，上述对

男婴诞生率的估量具有较高的可信度，因此，我们有理由疑心“生男

孩和生女孩是等可能的"的结论.

由统计定义求概率的一般步骤

(1)确定随机大事A的频数nA；

(2)由/(A)=计算频率/(A)(n为试验的总次数)；

nn

(3)由频率/(A)估量概率P(A).

n

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机大事发生

的可能性的大小，它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率

向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机大事的概

率.

例2.一个嬉戏包含两个随机大事A和B,规定大事A发生那么甲获胜，

大事B发生那么乙获胜，推断嬉戏是否公正的标准是大事A和B发

生的概率是否相等。

在嬉戏过程中甲发觉：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到

1000次时，自己才300次，而乙却胜了700次，据此，甲认为嬉戏

不公正，但乙认为嬉戏是公正的，你更支持谁的结论？为什么？

解：当嬉戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5;当嬉戏玩了1000

次时，甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为07依据频率的稳定性，

随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对

10次嬉戏，1000次嬉戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们

更情愿信任1000次时的频率离概率更近，而嬉戏玩到1000次时，甲、

乙获胜的频率分别是和0.7,存在很大差距，所以有理由认为嬉戏是不

公正的.因此，应当支持甲对嬉戏公正性的推断

思索1:气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的

降水概率是90%.假如您明天要出门，最好携带雨具“，假如其次天

没有下雨，我们或许会埋怨气象台预报得不精确?????，那么如何理

解“降水概率是90%”?又该如何评价预报的结果是否精确????？

呢？

提示：降水的概率是气象专家依据气象条件和阅历，经分析推断得

到的.对“降水的概率为90%"比拟合理的解释是：大量观看发觉，

在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨.

只有依据气象预报的长期记录，才能评价预报的精确?????性.假如

在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里,大约有90%的

确下雨了，那么应当认为预报是精确?????的；假如真实下雨的天数

所占的比例与90%差异较大，那么就可以认为预报不太精确????？.

例3.某篮球运发动在同一条件下进行投篮练习,结果如下表：

投篮8101520304050

次数

进球681217253239

次数

进球

频率

(1)计算表中进球的频率；

(2)这位运发动投篮一次，进球的概率约是多少？

(3)这位运发动进球的概率是0.8,那么他投10次篮肯定能投中8

次吗？

解析：概率约是

不肯定.投10次篮相当于做10次试验，每次试验的结果都是随机的,

所以投10次篮的结果也是随机的.

思索2.公元1053年，大元帅狄青奉旨，率兵征讨侬智高.由于士兵

士气不高，很难取胜,为了提高士气，出征前，狄青拿出一百枚“宋元通

宝〃铜币，向众将士殷殷许愿：“假如钱币扔在地上，有字的一面会

全部向上，那么这次出兵可以战胜敌人！〃在千万马的注目之下，狄

青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚向上.立

刻，全欢呼雀跃，将士个个认定是神灵保佑，战斗必胜无疑.事实上,

铜币正反面都是一样的！同学样想一下，假如铜币正反面不一样，那

么这一百枚铜币正面全部向上的可能性大吗？

思索3.假如某种彩票的中奖概率为1/1000,那么买1000张这种彩票

肯定能中奖吗？(假设该彩票有足够多的张数.)

不肯定。买1000张彩票相当于做1000次试验，由于每次试验的结

果都是随机的，所以做1000次的结果也是随机的。

虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试

验次数的增加，即随着买的彩票张数的增加，大约有1/1000的彩票

中奖。

买1000张彩票中奖的概率为：(999)

1-------------a0.6323

UoooJ

三、达标检测

通过练习稳固本

1.（多选题）蛤出卜列四个命题.火中正确的命胭仃（）节所学学问，通过同

，做1。。次•他巾的试虬结果51次出现八面朝匕因纥出现正直聚学解决问题，开展同

51学的数学抽象、规律

100

推理、数学运算、数

B♦机3件发生的轴率就同这个的机事件发生的假专

学建模的核心素养。

C.撤挪收fIMI次.有点数是1的二果有IX次.则出境1点的热率是

D随机*竹发'1的装率不定是这个甑机中fl发生的概斗

帽机0FA.混用了・军，M事的区别,牧A（lift；

41B.川南了蟆率,糙率的卜胤故B错误;

时i（.广|小）..！'攻丁|的"限（IX：：..，..,1，'小/；星-

止确

011）,就t山慨手的估H+,依Drd.

故迸:CD.

答案CD

2.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明（）

A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品肯定有1件

B.该厂生产的10000件产品中合格的产品肯定有9999件

C.合格率是99.99%,很高，说明该厂生产的10000件产品中没有

不合格产品

D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

［答案］D

3.为了估量水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出

肯定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，

然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，

再从水库中捕出肯定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，

假设有40尾，依据上述数据，估量水库中鱼的尾数为________.

【解析】求2000尾鱼占水库中全部鱼的百分比一

求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比->

依据二者的关系列等式一求解，估量水库中鱼的尾数25000

4.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随

机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：这

100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.

一次性购物数1至5至9至17彳f及以

13至16件

量4件8件12件上

顾客数(人)X3025y10

结算时间(分/

123

人)

11)求x,y的值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.

M,[25+y*-10-55.

解：⑴由得ZB.'

[*+30=45.

所以x=15,y=20.

(2)设大事A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟〃，

大事Ai为“一位顾客一次购物的结算时间为分钟"，

大事A2为“一位顾客一次购

物的结算时间为3分钟"，

所以P(A)=P(Ai)+P(A2)=史+12=03