深圳市2017-2018年高二年级下册期末统考数学试题含解析

深圳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末统考数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

—/(x-2),x>2

1.已知函数,则函数g(x)=xf(x)-1的零点的个数为()

1-|X-1|,A:<2

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

由g(x)=xf(x)-1=0得f(x)=-,根据条件作出函数f(x)与h(x)=’的图象，研究两个函数

XX

的交点个数即可得到结论.

【详解】

由g(x)=xf(x)-1=0得xf(x)=1,

当x=0时，方程xf(x)=1不成立，即x#0,

则等价为f(X)=-,

X

当2Vx<4时，OVx-2W2,此时f(x)=—f(x-2)=—(1-|x-2-l|)=—-—|x-3|,

3333

当4VxW6时，2Vx-2W4,此时f(x)=—f(x-2)=—[—-—|x-2-3|]=--—|x-5|,

333399

作出f(x)的图象如图，

则f(1)=1,f(3)=-f(1)=-,f(5)=-f(3)=-,

3339

设h(x)，

x

则h(1)=1,h(3)=-,h(5)=->f(5),

35

作出h(x)的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，

即函数g(x)的零点个数为3个，

故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本

题的关键.

2.若向量满足回=网=2,&与/，的夹角为60，贝!等于（）

A.272+73B.C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

将卜+H平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.

【详解】

因为=|a|+2|a||z?|cos60°+|/?|=4+4+4=12,所以,+。|=2班,

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算"+丁。|这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去

计算模长.

3.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量》（单位：万件）的函数关系式为

y=-3丁+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

A.13万件B.11万件

C.9万件D.7万件

【答案】C

【解析】

解：令导数<=罚+81>0,解得0<x<9；

令导数y'=-x2+81VO,解得x>9,

所以函数y=-gx3+81x-234在区间（0,9）上是增函数，

在区间（9,+8）上是减函数，

所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C.

4.已知点A,8是抛物线C：V=4x上的两点，且线段过抛物线。的焦点/，若的中点到y

轴的距离为2,则|AB|=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用A3中点横坐标来求得弦长.

【详解】

设A（%，X）,B（x2,y2）,贝！=玉+1+々+1=玉+々+2，而A8的中点的横坐标为左卢=2,

所以|A4=4+2=6.故选C.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思

想.

5.如图，用K、Ai、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且Ai、A2至少有一个正常工作时，

系统正常工作，已知K、Ai、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为（）

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

【答案】B

【解析】

Ai、A2同时不能工作的概率为0.2x0.2=0.04,所以Ai、Az至少有一个正常工作的概率为1一0.04=0.96,

所以系统正常工作的概率为0.9x0.96=0.864.故选B.

考点：相互独立事件的概率.

6.179°是。

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】

【分析】

利用象限角的定义直接求解，即可得到答案.

【详解】

由题意，179°=180°-1\所以179°表示第二象限角，故选B.

【点睛】

本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础

题.

7.函数/(%)=x3_3/-9X+1有()

A.极大值-1,极小值3B.极大值6,极小值3

C.极大值6,极小值-26D.极大值-1,极小值-26

【答案】C

【解析】

【分析】

对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.

【详解】

根据题意，/'(X)=3X2-6X-9=3(%+1)(X-3),故当xe(―s,—1)时，/'U)>0；

当xe(—l,3)时，/'(%)<0；当xc(3,+s)时，尸(x)>0.故"X)在x=—l处取得极大值

/(-1)=6；在x=3处取得极小值/(3)=—26,故选C.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.

x=A/F+1

8.参数方程广«为参数)表示什么曲线()

卜=1-2〃

A.一个圆B.一个半圆C.一条射线D.一条直线

【答案】C

【解析】

分析：消去参数t,把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形.

x=s/t+1

详解：参数方程厂。为参数)，

卜=1-2〃

消去参数t,把参数方程化为普通方程,

2（x-l）+（y-l）=0（x>l）,

即2x+y-3=0（x21）,

它表示端点为（1,1）的一条射线.

故选：C.

点睛：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范

围，是基础题.

22

9.已知椭圆］+q=l,则以点4（1,1）为中点的弦所在直线方程为（）

A.2x+y-3=0B.4x-5y+9=0

C.5尤一4y+9=0D.2x-y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】

利用点差法求出直线A8的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程.

【详解】

22

解:设以点为中点的弦与椭圆］+宁=1交于点A5,%）,3（无2,%），则%+%=2,X+%=2,

卜…-1

24

分别把点A,B的坐标代入椭圆方程得：22，

-2।%―

---------1---------——11

［24

两式相减得：（…）（…）+（%+为）（…10,

24

（玉—

x2）+，2%—0，

「•直线AB的斜率左=^^=—2,

Y.—X.

二以点M（l』）为中点的弦所在直线方程为：y-l=-2（x-l）,即2x+y—3=0,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题.

291+3x<0

10.设函数f（x）='~，若/（a）=4,则实数a的值为（）

1-log2x,x>0

【答案】B

【解析】

分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.

,、2a-1

详解：因为/(。)=4,所以2+3=4或^fl-log主,a=4

''a<0a>0

I<

1(1,

Cl——ci——1

所以<2或<8。—

«<0a>08

选B.

点睛:求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，

切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

11.函数f(x)=f3—2犬+4x,当x目―3,3]时,有/(%)N括—14加恒成立,则实数m的取值范围是

()

A.(-3,11)B.(3,11)C.[2,7]D.[3,11]

【答案】D

【解析】

【分析】

2

要使原式恒成立，只需祐-14mWf(x)min,然后再利用导数求函数f(x)=-(-2X+4X的最小值即可.

【详解】

因为f(x)=-x3-2X2+4X,XG[-3,3]

2

所以f'(x)=-3x?-4x+4,令f'(x)=0得x=§或x=—2,

因为该函数在闭区间[-3,3]上连续可导，且极值点处的导数为零，

所以最小值一定在端点处或极值点处取得，

■240

而f(-3)=-3>f(-2)=-8,f(—)=—,f(3)=-33,

327

所以该函数的最小值为-33,

因为f(x)2m2-14m恒成立，

只需m2-14mWf(x)min,

即m2-14mW-33,即m2-14m+33W0

解得

故选C.

【点睛】

本题考查了函数最值，不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函

数在闭区间上的最值问题，因此我们只要从端点值和极值中找最值，注意计算的准确，是基础题

12.若［％-J］的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为

【答案】B

【解析】

由题意知：C；=a^D=15,所以“=6,故(％—；)"=(%-；)6,令x=l得所有项系数之和为

(4=匕

264

二、填空题：本题共4小题

13.一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否

则为不中奖，则中奖的概率为.

2

【答案】y

【解析】

试题分析：口袋中五个球分别记为V2,a,b,c从中摸出两球的方法有：

L2;La;l,b；l,c；2,a;2,0;2,c;a,0;a,c;0,c共10种,其中颜色相同的有l,2;a,ZJ;a,c;hc共四种，有古典

42

概率的求法可知2=历=^.

考点：古典概率的求法.

14.已知圆G：(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2：(x—3y+(y—4)2=9,M,N分别是圆J,Cz上的动点，

P为X轴上的动点，则1PM+|7W|的最小值_____.

【答案】5a-4

【解析】

【分析】

求出圆G关于x轴对称圆的圆心坐标A,以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,

即可得到|PM|+|P^|的最小值.

【详解】

如图所示，圆G关于光轴对称圆的圆心坐标A(2,-3),以及半径1,

圆G的圆心坐标为(3,4),半径为3,

所以归M+|尸N|的最小值为圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，

即J(3-2)2+(4+3)2-(1+3)-572-4.

本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把的最

小值转化为圆A与圆G的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与

运算能力，属于中档试题.

15.有〃个元素的集合的3元子集共有20个，则〃=.

【答案】6

【解析】

【分析】

在〃个元素中选取3个元素共有C：种，解C：=20即可得解.

【详解】

在几个元素中选取3个元素共有C：种，解C：=20得〃=6,故答案为6.

【点睛】

本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.

16.在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率

为一

【答案喋

【解析】

【分析】

先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率

公式求结果.

【详解】

从10件产品中随机抽取2件产品有Cl=45种方法；

其中恰好含1件二等品有=16种方法；

因此所求概率为二

45

故答案为：—

45

【点睛】

本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为a的直线I过点A(2,1).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为p=2sin。，直线I与曲线C分别交于P,Q两点.

(1)写出直线I的参数方程和曲线C的直角坐标方程.

(2)求|AP|・|AQ|的值.

x=2+tcosa

【答案】(1)\;x2+y2=2y；(2)3

y=i+tsma

【解析】

【分析】

(1)由直线/的倾斜角与所过定点写出直线/的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲

线。的直角坐标方程，即可得到答案.

(2)将直线/的参数方程代入曲线。的方程，得到关于/的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及，的

几何意义，即可求解尸卜|人。的值.

【详解】

⑴由题意知，倾斜角为a的直线I过点A(2,1,

x=2+tcosa

所以直线I的参数方程为，.(t为参数)，

y=1+/sina

因为p=2sin。，所以p2=2psin。，

把y=psine,x?+y2=p2代入得x2+y2=2y,

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.

(2)将直线I的参数方程代入曲线C的方程，得t2+(4cosa)t+3=0,

设P、Q的参数分别为tl、t2,由根与系数的关系得

ti+t2=—4cosa,titz=3,且由A=(4cosa)?—4x3>0,

所以|APHAQ|=|tiHtz|=3.

【点睛】

本题主要考查了直线的参数方程的求解，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，

其中解答中熟记互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能

力，属于基础题.

18.已知函数/(x)=2alnx-x2.

⑴讨论函数/(尤)的单调性；

(2)当a>0时，求函数/(%)在区间(Ie?)上的零点个数.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)先对函数/(九)求导，分别讨论。40,«>0,即可得出结果；

(2)先由(1)得a>0时,函数/(x)的最大值/'(%)111ax=/(&)=。(1114-1),分别讨论0(喙-1)<0,

a(lna—1)=0,a(lna—1)>0,即可结合题中条件求出结果.

【详解】

解:(1)/(x)=2alnx-x2,/./,(%)=2(。%),

x>0

当时'/'(X)=2(a%)<0,

、伉CH2(a—x2}一2(%—+

当Q>0时，1_____L=__1______△_____L，

xx

当o<x<&时，rw>o;当X>G时，r(x)<o

.•.当aWO时，/(x)在(O,y)上单调递减；

当a>0时，/(九)在(0,6)上单调递增，一在(、万,+可上单调递减.

(2)由⑴得/=/(6)=a(lna—1),

当a(lna-1)<0,即0<a<e时，函数/(九)在(H)呐有无零点；

当a(lna—1)=0,即a=e时，函数/(%)在(0,”)内有唯一-零点

又l<&=J;<e2,所以函数/(%)在(Ie?)内有一个零点；

当a(lna_l)〉0,即a〉e时，由于/(1)=_1<0,/(&)=a(lna_l)>0,

/(/)=2aln(e2)_/=4a-e4=(26-e2*2«"+e2),

_4

若26—e2<0,即e<a<］时，/(e2)<0,由函数单调性知

三王€(0,6)使得/(%)=0,mx2c(G,e2)使得/(w)=0,

故此时函数/(%)在(Le?)内有两个零点；

_2

若2&—e220,即&2券〉—时，/(e2)>0,

且/(&)=2aln&-e=a-e>0,/(1)=-1<0,

由函数的单调性可知/(%)在。,弧)内有唯一的零点，在内没有零点，从而“X)在(11)内只

有一个零点

综上所述，当ae(O,e)时，函数/(力在(H)内有无零点；

-4、

当——,+oo时，函数/(九)在(14)内有一个零点；

.4)

(4A

当〃£e,--时，函数“X)在(1,/)内有两个零点.

\4)

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等,

属于常考题型.

19.已知函数/(%)=:dn(jr+l)+(g-a)%+2-a,a^R.

(1)当x〉0时，求函数g(x)=/(x)+ln(x+l)+gx的单调区间；

(2)当aeZ时，若存在x20,使不等式/(无)<0成立，求。的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)2

【解析】

分析：(1)求出g'(x),分两种情况讨论。的范围，在定义域内，分别令g'(x)>0求得》的范围，可得

函数g(x)增区间，g'(x)<0求得x的范围，可得函数g(x)的减区间；(2)问题等价于

如(％+1)+y+2,-dn(x+l)+-x+2问题转化为求出a>〃(x).,利用导

a>------------------h(x\=---------------,x>0'/min

x+1、7x+1

数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出力(司的最小值，从而求出。的最小值即可.

详解：(1)解：/(x)=xln(尤+l)+[g—a)x+2—a(尤>0)

/.g'(x)=ln(x+l)+2-a(x>0)

.,.当2—a20即aW2时，8'(%)>0对］€(0,”)恒成立

此时，g(x)的单调递增区间为(o,y),无单调递减区间

当2-。〉0,即。〉2时，由g'(x)>0,得x>e"-2—i,由g'(x)<0,得0<充(e"<—1

此时，g(x)的单调递减区间为(0,尸2—1),单调递增区间为(e“-2—L+S

综上所述，当时，g(x)的单调递增区间为(0,口)，无单调递减区间;

当a>2时,g(x)的单调递减区间为(0,#2-1),单调递增区间为

(2)解：由/(x)vO,得：(x+l)a>xln(%+l)+；%+2

当行。时，上式等价于心止"I士

x+1

Axln(x+l)+—x+2

令/'(%)=——-T2一(转0)

Ji-IJ-

ln(x+l)+x-^

据题意，存在谊0,使/(x)<0成立，则只需a>〃(x)11Mh\x)=

(x+琰

3

令〃(x)=ln(x+l)+x-],显然〃(x)在[0,+。。)上单调递增

31

而M0)=_,<0,/z(l)=ln2-->0

3

二存在％e(0,1),使〃(与)=°，BRln(x0+l)=--x0

又当不«0,%)时，”(x)<0,〃(％)单调递减，当xe(%,+8)时，”(%)>0,〃(可单调递增

.,.当了=%时，〃(九)有极小值(也是最小值)

x0ln(x0+l)+1x0+2+

hx=h=-(^+1)--+4

,t(LM=0

n5+15+1九0十,

*//即％+le(l,2),.•./+1+—i—e2,万)，

G

%)+19

又且aeZ,・•・4的最小值为2.

点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合

分析问题和解决问题的能力，属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，

而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式，

求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三

层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结

合，设计综合题.

20.在平面直角坐标系X0V中，椭圆。：5+与=1（4＞人＞0）的焦距为2,且过点

（1）求椭圆。的方程；

3

（2）P,M,N是。上不同的三点，若直线PM与直线PN的斜率之积为-二，证明：M,N两点的横坐

标之和为常数.

【答案】（1）工+匕=1（2）见解析

43

【解析】

【分析】

（1）直接用待定系数法可得方程；

（2）设P,M,N三点坐标分别为（/,力），（%,%）,（xN,yN）,设出直线PM方程，联立椭圆，求证

/+均为常数即可.

【详解】

（1）由题意椭圆。：£+4=1（。＞人＞0）的焦距为2,且过点（企,必），

3

所以c=l,2?_,

/+记=1

解得a=2,b=y/3)

22

所以椭圆。的标准方程为—+^=1

43

(2)设P,M,N三点坐标分别为(如,»),(xM,yM),(xN,yN),

设直线PM,PN斜率分别为kvk2,则直线PM方程为y—力=6(x—七,)

(22

-------1--------=1

由方程组43消去九

xx

y-yP=K(-p)

得(3+4kj)_8k\(k[Xp—yp)x+4k^Xp_Sk^xpyp+4yj_12=0

由根与系数关系可得：%“+%=8可工%)

3+4后

4上8%,尸3xp

3+%

同理可得：%=8喝:J

▼773

又左］.左2——_7

4

_842的马—力)_6xp+8勺丁尸

故/-3+%——4好+3

_63+幽丹

则l46+3「

4k；Xp-8左iyp-3xp_

3+%一』

从而%+xM=0

即M,N两点的横坐标之和为常数

【点睛】

本题主要考查椭圆的相关计算，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，意在考查学生的转化能力,

分析能力，计算能力，难度较大.

23n

21.已知A：=56C：,H.(1-2x)"=a0+aYx+a2x+a3x++anx.

(1)求n的值;

⑵求＞争++会的值.

【答案】⑴15.(2)-1

【解析】

【分析】

n\

⑴根据父=彳菽’c：=,即可求解A：=56C；,即可求得答案;

(2)采用赋值法，令x=l求出所有项系数的和，再令x=0,求%,即可求得答案.

【详解】

⑴A：=56C：

«(«-l)(n-2)(?i-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7654321

整理可得：("5)(〃-6)=]

90

即〃2—11〃—60=0,

故5-15)(九+4)=0

解得：〃=15或〃=—4(舍去)

(2)由(1)n=15

(1—2%)15=a。+d^X+4%2+/d+...+

令x=0,可得%=1

令xj可得(1一2夕=%+畀生++翡

ao+-y+|r+L+|]f=0

可得争$+L+翡=-L

【点睛】

本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，属于基础题.

22.5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB,比4G网络的传输速度快数百

倍.举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成.随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、

游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来.某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解

决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人.现

在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直

方图(每组的频率视为概率).

(1)从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；

(2)研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%,请你估

计这个分数的值；

(3)已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专

业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发

人员的人数.

【答案】(1)0.1；(2)77.5；(3)540人.

【解析】

【分析】

(1)由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；

(2)根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；

(3)样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为

120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的

研发人员的人数为180人，由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数

【详解】

解：(1)由题意可知，样本中随机抽取一人，

分数小于50的概率是1—(001+0.02x2+0.04)x10=0.1,

所以估计总体中分数小于50的概率0.1

(2)根据频率分布直方图，

第六组的频率为0.04x10=0.4,第七组频率为0.02x10=0.2,

此分数为80-(0.3-0.2)4-0.04=77.5

(3)因为样本中不低于70分的研发人员人数为400X(0.4+0.2)=240人，

所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,

又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，

所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120v1=180人，

1QQ

故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200x--=540人

400

【点睛】

本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题.

深圳市重点名校2018-2019学年高二下学期期末统考数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个

项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（）

A.24种B.30种C.36种D.72种

【答案】B

【解析】

【分析】

首先对甲、乙、丙、丁进行分组，减去甲、乙两人在同一个项目一种情况，然后进行3个地方的全排列即

可得到答案.

【详解】

先将甲、乙、丙、丁分成三组（每组至少一人）人数分配是1,1,2共有=6种情况，又甲、乙两

人不能到同一个项目，故只有5种分组情况，然后分配到三个不同地方，所以不同的安排方式有5团=30

种，故答案选B.

【点睛】

本题主要考查排列组合的相关计算，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力，难度不大.

2.已知集合A={x|y=J_%2+x+6,xGZ},B={y|y=J^sin（x+。）},则ADB中元素的个数为（）

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个

数即可.

【详解】

集合A满足一£+x+620,（x-3）（x+2）＜0,—2＜xW3,；.A={-2,-1,0,1,2,3},B=［一括，

小1,所以ACB={-2,—1,0,1,2）,可知APB中元素个数为5.

【点睛】

本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.

3.已知函数〃x）=，，8（耳=1!1；+；的图象分别与直线丁=加（加＞0）交于4,3两点，贝!的最

小值为（）

A.2B.2+In2D.2e-ln—

2

【答案】B

【解析】

/\（加，［1］

2m9

由题意，A［lnm,m）,B2e,m,其中，2e~^>Inm且用〉°，所以=2丁一万_历根.

k

\X--1

令y=2e>5—法，冗>0,贝Uy'=2e2—，V为增函数.

x

令y，=o,得

所以0<x<1•.时y'<0,%〉3时丫'>0,

所以y=2e'<—历羽x>0在［°，g［上单调递减，在Q，上单调递增.

所以x=工时,|AB|.=2+贬2.

21\rrnn

故选B.

点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本

题中有以下几个难点：

（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；

（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.

4.已知随机变量X服从正态分布N（4,l）,且P（尤>5）=0.1587,则P（3（尤<4）=（）

A.0.6826B.0.1587C.0.1588D.0.3413

【答案】D

【解析】

分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以x=4为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的

区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值.

详解：•••机变量X服从正态分布N（4,l）,,

P(x>5)=0.1587,

1—0.1587x2

/.P(3<x<4)==0.3413.

2

故选：D.

点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率,

属基础题.

5.已知函数/⑴=三+20nx-日，若x=2是函数/（%）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）

A.-oo,——B.C.(0,2]D.[2,+oo)

I4

【答案】A

【解析】

【分析】

由于（X）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根.

【详解】

解：•.•函数"X）的定义域是（0,+oo）

.、e\x-2）2k（e*-而2）（九一2）

••j（%）=­、~-+---k=------3-------，

XXX

・・・X=2是函数/（X）的唯一一个极值点

・・・x=2是导函数/'（%）=0的唯一根，

；・ex-kx2=0在（0,+8）无变号零点，

即左=乌在>0上无变号零点，令g（x）=乌,

XX

因为g'（x）=e'。—2）,

x

所以g（x）在（0,2）上单调递减，在x>2上单调递增

2

所以g（x）的最小值为g（2）=?,

2

所以必须左WJe,

4

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数的导函数确定极值问题.对参数需要进行讨论.

6.某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18,然后再

从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2个连续的号，从30到36个号中选出1

个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为（）

A.2000元B.3200元C.1800元D.2100元

【答案】D

【解析】

第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从

30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有15x10x7=1050注，故至少要

花1050x2=2100,故选D.

"2

„一-2x+<7,X<1

7.设函数f(x)=/(x)=4,,,,,若函数f(x)的最大值为-1,则实数a的取值范围为

-log2(x+l),x>l

()

A.(-°°,-2)B.[2,+8)C.(--1]D.(-8,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】

考虑x2l时，f(X)递减，可得f(X)4-1,当X<1时，由二次函数的单调性可得f(x)max=l+a,由

题意可得1+aW-l,可得a的范围.

【详解】

当时，f(x)=-logi(x+1)递减，可得f(x)Wf(1)=-1,

当且仅当X=1时，f(X)取得最大值-1；

当x<l时，f(x)=-(x+1)I+l+a,当x=-1时，f(x)取得最大值1+a,

由题意可得1+a^-1,解得aW-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.

8.mY=()

A.9B.12C.15D.3

【答案】A

【解析】

分析：直接利用排列组合的公式计算.

3x2

详解：由题得团―G=4x3-一r=12—3=9.故答案为A.

2

点睛：(1)本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)

排列数公式：A^=n(n-1)(n-m+l)=n'-{n,me”，且相<〃).组合数公式：C；="=

(n-m)lA：

n(n-l)(n-m+1)n!

—r-------(neN,meN且加«〃)・

lx2xxmm-[n—m)!9

9.在直角坐标系九Oy中，一个质点从A(q，4)出发沿图中路线依次经过Bl%,%),。(外,。6)，。(%,外)，

,按此规律一直运动下去，则。2015+々2016+々2017=()

A.1006B.1007C.1008D.1009

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

分析：由题意得，即q=1,%=L%=-1,tz4=2,tz5=2,tz6=3,6^=—2,%=4,...,观察前八项，得到数

列的规律，求出即可.

详解：由直角坐标系可知，

A（l,l）,B（-l,2）,C（2,3）,D（-2,4）,E（3,5）,F（-3,6）,

即q=l,tz2=1,%=—l,a4=2,%=2,々6=3,%=—2,6^=4,

由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，

且都等于所在的项数除以2,

则4016=1008,

每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，

每组的第一个数为其组数，

每组的第一个数和第三个数是互为相反数，

因为2016+4=504,

贝！14oi5=—5。4,%以7=505,

%015+“2016+“2017=—5°4+1008+505=1009,故选D.

点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个

别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.常见的归

纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要

细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）

形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

10.已知i是虚数单位，复数z满足(l+，)z=-2，，则忖=()

A.72B.1-zC.2D.1

【答案】A

【解析】

分析:先根据已知求出复数z,再求|z|.

2

详解：由题得z=RT之亏=二=j'W|z|=#+(-l)=V2.

故答案为A.

点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)复数

22

z=a+bi(a,beR)的模।z|=^a+b-

11.由曲线y2=x,y=V所围成图形的面积是()

140

A.-D.

3T

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算交