高中数学14 三角恒等变换、三角函数的应用（重难点突破）解析版

专题14三角恒等变换、三角函数的应用

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1同角三角函数的基本关系式：sin2^+cos2^=l,tan6=与应，

COS。

2正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

3和角与差角公式

sin(«±p)-sinacos(3±cosasinB;cos(cr±/?)=cosacos/3^-smasin/?;

/c、tana±tan£.,、2.,-・

tanta±p)=--------------—・(zsina±cosa)=1±2sinacosa

1+taneztanp

asina+Z?cosa=y/a2+b2sin(a+(p)(0由点(。力)的象限决定，tan^9=­).

a

3二倍角公式及降塞公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a-cos2or—sin26Z=2COS2a—\=l-2sin2a

-2tana

tan2a=-------；-.

1-tana

.21-cos2a21+cos2a

sina-------------,cosa=------------

22

4三角函数的周期公式

函数y=sin（ox+e）,（A,3,0为常数，且A#=0）的周期T=^；~~-；

TTTT

函数丁=1211（②工+0），xw%r+—,ZeZ（A,3,0为常数，且A#=0）的周期T=—

2Ico

三角函数的图像：

三'重难点题型突破

重难点题型突破1和差公式的化简及求值

例1.(1)(2019•山东高一期末)cosl00c'os20-cos80°si〃20°=()

11

A0R百r

222n2

【答案】A

【解析】

由诱导公式cosl0°c»s20-cos80°si〃20°=cosl00cos20’一sin10°s，〃20°

cos\0°cos2(T-sin10°5m20°=cos(l0°+20°)=cos30°=彳，所以选择A

(2).(2018•广东高一期末)sin49°sin190+cos19°sin41°=()

1173

A.-B.一一C.—D.

222T

【答案】C

【解析】

=sin(19°+41°)^^

sin49°sinl9o+cosl9°sin41o=cos41osinl9o+cosl9°sin41o

故选：c.

【变式训练1-11(1).(2019•兰州市第五中学高一期末)sin15°=()

A.B,C.也+2

444。・亨

【答案】B

【解析】

sin(60°-45°)=sin60°cos45°-sin45°cos60°=---------

故选：B

(2).已知tan(o+6)=],tan]〃一?J=；,那么tan(a+?)=()

【答案】C

【解析】

因为a+7=(a+Z?)_(£_?J,所以

tan((z+/?)-tan^--J

]+tan(a+/7)tan('-f)22

故选:C

例2.（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tana=3,则sin（2a+'）=（）

4334

A.——B.--C.一D.

555

【答案】A

cos2cz-sin2a1-tan2a4

【解析】sin2a+—=cos2a=cos2a-sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5

故选Ao

【变式训练2-1】、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知

a£(0,—G(一万,0),)

A,昱B.

3

【答案】C

［解析］因为aw(0,g),,e(-g,0),所以a+gwjg,斗］,j-又

224\44；42<42j

,乃、1八”…兀(兀兀、

cos(aH—)=—>0,所以a+,

434U2)

c°s(a+EA?71.兀(3

4

=cosa+勺cos兀B兀B

+sin«+—sin

I44-7I4jW—5

=L立+迪*=述，故选c。

33339

重难点题型突破2二倍角公式与半角公式的顺用与逆用

例3.（2020•河南省安阳市高三一模（理）已知cos（2019万+二）=一孝，则si畤-2a）=（）

7557

C-a-

A.9-B.9-9-9-

【答案】C

Fy[^2

【解析】由cos(2019;r+a)=——1可得cos(;r+a)=———，cosa--y

sin(---2a)=cos2a=2cos2cr-1=2x——1二一二。

299

【变式训练3-1】、（2020•安徽省淮北市高三一模（理）已知锐角a满足sin[a+]）=#,则tan2a=

（）

A.-72B.—2夜C.25/2D.V2

【答案】B

【解析】sinfa+-V—^cosa=—,因为a是锐角，所以有

I2）33

./:2—v6sinarr2tana、后

sina=71—cosa-——=>tana=----=v2=>tan2a=------；­=-2,2。

3cosa1-tan^a

【变式训练3-2】、（2020,广西师大附属外国语学校高三一模（理））已知Q终边与单位圆的交点

产且sina•tana<0,则Jl-sin2a+j2+2cos2a的值等于()

11c

A.-B.--C.3D.—3

55

【答案】C

34

【解析】。为第二象限角，且si〃a=—,cosa=一一,原式二

\sina-cosa\+2msa|=siiwc-3cosa-3。

重难点题型突破3辅助角公式的应用

例4.（2020届湖北省高三模拟）函数/（X）=6COS（2X-］）+COS（乃+2x）的单调增区间为（）

A.------卜km—Fk/r,keZB.------卜km—卜k/r,kJZ

63_36

万757r7ip

C.-------Fk/Cy------Fkjr9kRZD.-------FK,7ly------FK7TfkeZ

12121212

【答案】A

【解析】函数/（%）=百4'osI2元——)+a、os(乃+2x)

r-TC

—\/3cos(---2x)-cos2x

2

=6sin2x-cos2x

兀

=2sin(2x一一),

6

A7t7t71

令-----F2k7C<2x---<—I-2k兀,kez；

262

,7C7C

斛得----l-k7C<x<--Fk7t,k£Z；

63

jrJI

所以f(x)的单调增区间为[---+kn,—+kn],keZ.

63

故选Ao

【变式训练4-1】、（2020•福建省厦门市高三质检（理）已知函数/（x）=sinx（cosx—sin尤）+g.

（1）求/（x）的单调递减区间；

7i57r

【答案】（1）%乃H—,k7tH---,kwZ.

88

【解析】

(1)/(x)=gsin2x-g(l-cos2x)+；=(sin2x+cos2x)=2^sin(2x+?)，

yrTTSirjr3兀

由2&兀+—W2x+—<2&兀+——,kEZ,得女兀+—W&兀+一,

24288

jr57r

所以/(X)的单调递减区间为k7T+-,k7T+^-,keZ；

8o

【变式训练4-2】、已知函数/（x）=且〃0)=7，

（1）求〃x）的解析式;

（2）已知g（x）=f-2x+m-3,若对任意的玉e[0,;r],总存在占-2,回，使得/（玉）=8（々）成

立，求”的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2sin[j；(2)[-1,3]

【解析】⑴因为〃0）=-1，

解得。=1,b=—.

2

使+立sinx+6sinx-cosx=

122J

万jr5万('JT\1

(2)因为XW[O,;T],所以x—qe——,所以sin[x-qje—y,l,则/(x)€[—1,2].

g(x)的图象的对称轴是x=l.

①当—2(加<1时，g(x)min=g(m)=7/一加—3,g(x),0ax=g(—2)=加+5,

-2<m<\

则，加2一加一34一1,解得一i4m<i,符合题意；

771+5>2

②当14屋4时，gGL=g(l)=m-4,gGL=g(-2)=m+5,

1<m<4

则—4<一1,解得14加工3,符合题意；

771+5>2

771-4

③当机>4时，=.?(1)=-g(x)1mx=g(m)=m2一相一3，

>4

则〈机一44一1,不等式组无解，综上，加的取值范围是［-1,3］。

nr-m-3>2

重难点题型突破4五点法作图

例5.(2020届四川省成都市高三第二次诊断)已知函数〃x)=sin(2x+')则函数"X)的图象的对称

轴方程为()

%£fZ乃Z

万

X--4K€B-万+-G

AC.4

11£

/%ZD攵Z

X-肛E+G

2--2-4

【答案】C

【解析】由己知，/(x)=cos2x,^-2x=k7r,k&Z,得x=；4肛AeZ.,故选C。

【变式训练5-1】、(2020届安徽省合肥市高三第二次质检)函数

/(x)=Asin(6yx+o)|4＞0,口〉0,0＜。＜5)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是()

TT

A.函数/(好的图象可由y=Asinox的图象向左平移w个单位得到

6

7T

B.函数f(x)的图象关于直线X=§对称

n7i

C.函数f(x)在区间一上是单调递增的

D.函数/*)图象的对称中心为1三一五,0(ZeZ)

【答案】D

【解析】由图象可知A=2,f(0)=1,

71

Vf(0)=2sin(p=l,且0V9〈耳,

兀

：.(p=一,

6

71

f(x)=2sin(coxd—),

6

Vf(―)=0且为单调递减时的零点,

57171〜

(O'---1—=兀+2k/v,k£Z,

126

24&

/.69=2H----,keZ,

5

由图象知T=—>2x1j,

G)12

/12

/.co<—,

5

又・・・(0>0,

Aco=2,

71

Af(x)=2sin(2xH—),

•.•函数f(x)的图象可由y=Asiniox的图象向左平移2TT个单位得,

.'A错，

jrjrjrtCTT

令2x+—=—+4万，keZ,时称轴为*=一+——，则B错，

6262

71

令2x+7e，则xe则C错,

4k兀兀

令2xH—=k;t,k£Z,则x=------，则D对,

6212

故选Do

例6.(2019•石嘴山市第三中学高一月考)已知函数＞=3位“2工一5

717乃

(1)用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在的图象.(请先列表，再描点，图中每个小矩

OO

7t

形的宽度为；

12

(2)请描述上述函数图象可以由函数y=sinx怎样变换而来？

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)由题意，因为—,—],所以2x—；w[0,2用，

663

列表如下:

兀542411万7%

X

672T~6

c兀兀37c

2x----0n2n

37T

y=3sin(2x-^)030-30

描点、连线，得出所要求作的图象如下:

■rr兀

(2)把丫=5皿》的图象向右平移1个单位，可得y=sin(x-gO的图象；

1JI

再把所得图象的横坐标变为原来的5倍，纵坐标不变，可得y=sin(2x-§)的图象;

TT

再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y=3sin(2x-1)的图象;

【变式训练6-1】、(2018•全国高一课时练习)已知函数f(x)=J5sin(2x+彳)

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间上的图象(只作图不写过程).

JI

【答案】(1)兀.，k/c+—,k7i+,kwZ(2)见解析

oo

【解析】(1)T=：=7L

令2kju+坐2x+42k;r+涂，k£Z,

715

贝ij2k7r+-r<2x<2k7c4--7i,kEZ,

44

TI5

得k;r+市x0k兀+葭，keZ,

J函数f(x)的单调递减区间为kn+/kJT+|Tr]kez.

⑵列表：

TI35

271

2x+-4j71271r

3n5n7n9n

XTT"a"T

f(x)=-\/2sin^2x+^

00

描点连线得图象如图:

重难点题型突破5三角函数的实际应用

例7.（2020•全国高一课时练习）电流强度/（A）随时间f（s）变化的关系式是/=5sin（100m+。］,则当

，=」一$时，电流强度/为（）

200

A.5AB.2.5AC.2AD.-5A

【答案】B

【解析】

当才=—时,J.I八八I乃](乃])u)1-2.5(A).

LI=5csin10()4x-----F—=5sin——I——=5cos—=

200(2003)1^23)3

故选：B.

【变式训练7-1】、（2020•浙江高一课时练习）设y=/«）是某港口水的深度）（米）关于时间f（时）的

函数，其中既I24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间f与水深丁的关系：

〃时03691215182124

y/米1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观察，函数y=/C）的图像可以近似地看成函数y=Z+Asin（&+0）的图像.下面的函数中，最

能近似表示表中数据间对应关系的函数是()

7t

A.y=12+3sin—t/w[0,24]

6

B.y=12+3sin工，+乃]/£[0,24]

(6)

兀

C.y=12+3sin—t,ZG[0,24]

D.y=12+3sin[^7+9j£[0,24]

【答案】A

【解析】

在给定的四个选项中，我们不妨代入1=0及，=3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是

选项A,故选A.

四、课堂定时训练（45分钟）

1.（2020届四川省泸州市高三二诊）已知tana=L,则cos2a的值为（）

2

1343

A.一B.--C.-D.-

5555

【答案】D

,,2,1-1

_cos-cr-sin-a1-tanaA3lf,

【解析】COS2a=--------=-=-----=―丰=1,故选D。

cos-a+sina1+taira+£5

4

sina

2.（2020届江西省九江市高三第二次模拟）已知1-----=2,则tan。=（）

1+cosa

434

A.一B.--C.-D.2

343

【答案】A

入.aa〜a

2sin—cos——2tan—

sma，？a八oA4

【解析】；,=zz=tan=2,.•.tana-------故选A。

1+cosa2cos2l-tan2^3

22

3.（2020届河南省洛阳市高三第二次统考）已知角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终

边上有一点尸（一3,4）,贝！Jsin2c=（）.

1224168

A.——B.---C.—D.—

252555

【答案】B

43

【解析】因为终边上有一点「（一3,4）,所以sina=g,cosa=一一,

4

/.sin2a=2sinacosa=2x—x故选B。

5

4.（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）已知函数"x）=2sin（5+0）+》（6y>O）,

/（工+x）=/（二—x）,且生）=5,则b=（）

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

【答案】B

【解析】函数/（x）=2sin®x+0）+b®>O）,

若/（g+x）=/（g—x）,则/（x）的图象关于x=£对称，

888

77

又于（一）=5,所以2+匕=5或-2+6=5,

8

所以人的值是7或3,故选B。

5.（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）已知a为锐角，且Jjsin2a=2sina，则cos2a等于

（）

22cl4

A.-B.-C.—D.--

3939

【答案】C

【解析】因为2gsinacosa=2sina，

sinaw0,所以cosaT

21

所以cos2。=2cos~7a-l=——1=——,故选C。

33

6.（2020•浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asm（cox+（p）+Z?（A>0,69>0）,则8时的温度大约为C（精确到19）.

O68101214二时)

【答案】13

【解析】

由图像可得Z?=20,A=10,，T=14—6=8,

2

T=16=——■co=—~,y-lOsin—x+*]+20.

s818)

•.・最低点坐标为(6,10),

10sinf^x6+^j+20=10,得sin[今+Q]=-1

333

于是2—-\r(p--7i+2kn{kGZ),：.(p=—兀+兀(keZ),取°二—乃，

4244

...y=10sin[/x+：;r)+20.

当％=8时，y-lOsin(乃+(万］+20=20-5>/2«13.

故答案为：13

7.(2020•上海静安•高一期末)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

y=3sin—x+(p+4.

16)

(1)求人的值；

(2)求这段时间水深(单位：m)的最大值.

【答案】(1)%=5：(2)这段时间水深的最大值是8m.

【解析】

(1)图知：为加=2，因为八仙=一3+%，

所以一3+攵=2,解得：k=5.

⑵Nmax=3+后=3+5=8.

所以，这段时间水深的最大值是8”.

8、(2019•江门市第二中学期中)已知函数/(尤)=J5sin(2x-7).

(1)求函数/(x)的最小值和最大值及相应自变量x的集合；

(2)求函数/(X)的单调递增区间；

(3)画出函数y=/(x)区间［0,句内的图象.

34

【答案】(1)最大值为0,取得最大值时相应X的集合为＜工％=二-+左巴ZeZ＞；

O

最小值为一夜，取得最小值时相应X的集合为＜xx=—*+k乃,kez｝；

JIJ乃

(2),keZ,、(3)图象见解析.

o8

【解析】

jrjr^TT

(1)/(x)的最大值为血，当2x—j=1+2br,即x=w+br时，等号成立,

37r

，/(x)取得最大值时相应X的集合为｛xx=-^-+k%,ZeZ-

O

/(X)的最小值为一及，当2%—?=-5+2版■,即x=-2+版■时•，等号成立，

,八X)取得最大值时相应X的集合为，xx=-^+k7T,keZ^

TTTTTTTT377

(2)由+215<2x---<—+2%乃求得+k7r<x<——+k兀,

24288

437r

...)(X)的单调递增区间是一7+攵乃，P+攵乃，kwZ

OO

(3)列表：

c冗7171347万

2x----0兀

4"7~2~2T

兀3万517%

X071

TTT

/W-100-V2-1

“X)图像如图所示:

9.(2020・镇原中学高一期末)己知tan(a-0=,，tan且a,£e(O,/r),求2a一-的值

27

3万

【答案】-二

【解析】

tanP~~~>tan(a_/?)=g,

11

]_

r,、itan(a-£)+tan£?7

tana=tan」(a—6)+4]=---——